Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
V = ∭ dV
m = ∭ ρ(x,y,z) dVLa integral triple extiende la acumulación a tres dimensiones. Con integrando 1 da el volumen; con una función de densidad da la masa. Esa distinción —volumen como caso particular de masa con densidad constante— es la que se generaliza a la probabilidad: la masa total de una densidad debe ser 1.
El coste crece con el cubo del refinamiento: una malla de 60 puntos por eje son 216 000 celdas para un cubo unitario. Ya en tres dimensiones la integración en malla empieza a ser cara, y en más dimensiones deja de ser viable.
Los cambios de coordenadas —cilíndricas, esféricas— simplifican regiones con simetría, al precio de introducir el jacobiano como factor: r en cilíndricas, r²sin φ en esféricas. Ese factor es el determinante de la clase 117 corrigiendo el cambio de volumen, y olvidarlo es el error clásico.
En probabilidad, la integral triple aparece al marginalizar una densidad conjunta de tres variables, y la normalización de la gaussiana multivariante es una integral de este tipo resuelta con un cambio de variable que diagonaliza la covarianza.
Volumen y masa de un cubo con densidad variable.
región: cubo unitario [0,1]³
densidad: ρ(x,y,z) = 1 + x
volumen numérico: 1.00000000 exacto 1 ✓
masa = ∭(1+x)dV = 1 + 1/2 = 1.5
masa numérica: 1.500000
error: 4.2e−07
malla: 60³ = 216 000 celdasVolumen y masa de un cubo con densidad variable.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/174-integrales-triples/lab.py
compmath run 174regionvolumen_aproximadovolumen_exactodensidadmasa_aproximadamasa_exacta_3/2error_masacoste{
"region": "cubo unitario",
"volumen_aproximado": 1.0,
"volumen_exacto": 1.0,
"densidad": "ρ(x,y,z) = 1 + x",
"masa_aproximada": 1.5,
"masa_exacta_3/2": 1.5
}Masa y centro de gravedad, marginalización de densidades conjuntas, normalización de distribuciones multivariantes y cálculo de momentos.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).