Inicio · Parte 04 — Matemática discreta para computación
reflexiva: ∀a, aRa
simétrica: aRb ⟹ bRa
transitiva: aRb ∧ bRc ⟹ aRcUna relación es un conjunto de pares. Las tres propiedades clásicas se comprueban por separado y su combinación tiene consecuencias muy fuertes: si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, particiona el conjunto en clases disjuntas cuya unión es el total. No hay que demostrar la partición: se sigue de las tres propiedades.
El ejemplo canónico es la congruencia módulo n: x ≡ y (mod 3) si x − y es múltiplo de 3. Sus clases de equivalencia son los restos {0,1,2}, y esa partición es exactamente la estructura sobre la que se define la aritmética modular de la clase 098.
La utilidad práctica es de modelado. Cuando se decide que dos objetos son «el mismo» a efectos de un sistema —dos URLs que apuntan al mismo recurso, dos registros del mismo cliente, dos representaciones del mismo número racional—, se está definiendo una relación de equivalencia, y conviene comprobar que cumple las tres propiedades. Una relación de «similitud» que no es transitiva produce agrupamientos inconsistentes.
Ese fallo es real y frecuente: la deduplicación por umbral de similitud no es transitiva —A parecido a B y B parecido a C no implica A parecido a C— y por eso los algoritmos de agrupamiento por similitud necesitan una definición explícita de transitividad, como el cierre transitivo o el enlace completo.
Congruencia módulo 3 sobre {0,...,5}.
Relación: x ~ y si (x − y) mod 3 == 0
reflexiva: (x−x) mod 3 = 0 ✓
simétrica: si (x−y)≡0 entonces (y−x)≡0 ✓
transitiva: (x−y)≡0 y (y−z)≡0 ⟹ (x−z)≡0 ✓
→ es una relación de equivalencia
Clases de equivalencia:
[0] = {0, 3}
[1] = {1, 4}
[2] = {2, 5}
Disjuntas y su unión es todo el conjunto ✓Reflexiva, simétrica y transitiva: la receta de una relación de equivalencia.
python classes/part-04-matematica-discreta-para-computacion/085-relaciones-y-propiedades/lab.py
compmath run 085relacionreflexivasimetricatransitivaes_equivalenciaclases_de_equivalenciaparticiona_el_universo{
"relacion": "x ≡ y (mod 3)",
"reflexiva": true,
"simetrica": true,
"transitiva": true,
"es_equivalencia": true,
"clases_de_equivalencia": {
"0": [
0,
3
],
"1": [
1,
4
],
"2": [
2,
5
]
}
}Deduplicación de registros, normalización de datos, particiones de un conjunto, aritmética modular y clases de equivalencia de fracciones.
Los grafos de cómputo, la búsqueda en árbol y las GNN son estructuras discretas; el conteo sostiene la probabilidad que después usa todo modelo generativo.
9781475716450 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).