Inicio · Parte 00 — Pensamiento matemático desde cero

012 — Unidades y análisis dimensional

cero-absoluto clase 12 de 20 4 horas demostración dimensional_analysis

Convertir unidades es multiplicar por factores iguales a 1; las unidades se cancelan como factores algebraicos.

Fórmulas

1 = 1000 m / 1 km = 1 h / 3600 s
[velocidad] = L·T⁻¹

Desarrollo

El análisis dimensional trata las unidades como objetos algebraicos que se multiplican y se cancelan. Un factor unitario es un cociente entre dos expresiones de la misma cantidad —1000 m / 1 km— cuyo valor es exactamente 1, de modo que multiplicar por él cambia la unidad sin cambiar la cantidad. Encadenar factores unitarios convierte cualquier unidad en cualquier otra sin memorizar fórmulas.

La verdadera potencia del método no es convertir, es verificar. Antes de comprobar un solo número, el análisis dimensional detecta si una fórmula es imposible: una ecuación que iguala metros con segundos está mal, y eso se ve sin calculadora. En física esta comprobación es rutina; en modelado de datos se omite casi siempre, y de ahí salen features que mezclan escalas incompatibles.

El desastre más citado —la pérdida del Mars Climate Orbiter en 1999, donde un sistema trabajaba en libras-fuerza·segundo y otro en newton·segundo— es el ejemplo canónico de que declarar la unidad no es una formalidad. Ningún número estaba mal calculado; la interfaz entre dos sistemas no declaraba unidad.

En machine learning aparece disfrazado: estandarizar features es, en el fondo, convertirlas todas a una unidad común (desviaciones estándar) para que una distancia euclídea tenga sentido. La clase 288 muestra cómo cambia una predicción de k-NN si una variable se mide en una escala 100 veces mayor.

Ejemplo trabajado

Convertir 90 km/h a m/s encadenando factores unitarios.

90 km   1000 m    1 h        90 · 1000
----- × ------ × ------  =  ----------- m/s = 25 m/s
 1 h     1 km    3600 s        3600

Cancelaciones: km/km = 1, h/h = 1  → quedan m/s   ✓

Vuelta:  25 m/s × 3600 s/h × 1 km/1000 m = 90 km/h   ✓
Atajo verificado: dividir entre 3.6

Si el resultado hubiera salido en km²/h², el error estaría en la estructura del cálculo, no en la aritmética.

Qué calcula el laboratorio

Conversión de unidades como multiplicación por factores unitarios.

python classes/part-00-pensamiento-matematico-desde-cero/012-unidades-y-analisis-dimensional/lab.py
compmath run 012

Salidas del laboratorio (6)

velocidad_km/h
factor_1
factor_2
velocidad_m/s
vuelta_a_km/h
consistente

Muestra de la ejecución real

{
  "velocidad_km/h": 90.0,
  "factor_1": "1000 m / 1 km",
  "factor_2": "1 h / 3600 s",
  "velocidad_m/s": 25.0,
  "vuelta_a_km/h": 90.0,
  "consistente": true
}

Errores comunes

Multiplicar cuando había que dividir por el factor: siempre se comprueba qué unidad se cancela.
Mezclar sistemas (imperial y SI) sin declararlo en la interfaz entre módulos.
Comparar features de escalas distintas con una distancia euclídea sin estandarizar.

Dónde se usa

Interfaces entre sistemas, física computacional, y el preprocesado de datos: la estandarización de la parte 14 es análisis dimensional aplicado a estadística.

Idea rectora de la parte

Fracción exacta y decimal aproximado no son el mismo objeto computacional.

Error a evitar

Escribir 1/3 como 0.33 y arrastrar el error a todo el cálculo.

Conexión con IA

Toda métrica de un modelo (accuracy, loss, learning rate) es una razón, un porcentaje o una escala. Interpretarlas mal es el primer error de un practicante de IA.

Bibliografía de la clase

BIPM. The International System of Units (SI), 9ª ed., 2019 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Bureau International des Poids et Mesures (2026-08-19).
NASA. Mars Climate Orbiter Mishap Investigation Board Report, 1999 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en llis.nasa.gov (2026-08-19).

Archivos de la clase

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