Clase 07 · Sistemas de amortización

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Parte 07 — Matemática financiera avanzada · Nivel: Avanzado — perfil analista · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Profundizar los sistemas de amortización de la Parte 1, clase 12, con las variantes que aparecen en operaciones profesionales: cuotas variables, amortización con reajuste, sistemas mixtos y estructuras con prepago. Esta clase entrega el criterio de estructuración y las tablas completas de cada sistema.

La Parte 3 comparó tres sistemas de amortización con cifras. Esta los generaliza, añade dos más y plantea la pregunta profesional: no cuál es más barato, sino cuál encaja con el flujo de caja del deudor, porque un sistema barato con cuotas que el deudor no puede pagar termina en incumplimiento.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Construir las tablas de los cinco sistemas de amortización principales.
2. Comparar su costo total, su perfil de cuota y su duración.
3. Estructurar un crédito según el perfil de flujo del deudor.
4. Modelar prepagos y su efecto sobre plazo y costo.
5. Analizar el comportamiento del saldo insoluto en cada sistema.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los cinco primeros términos son sistemas y el sexto, la medida que los compara con una sola cifra. La duración del crédito es esa medida: resume en un número cuándo se recupera el capital en promedio, y permite comparar sistemas que tienen calendarios muy distintos.

🧠 Modelo mental

Todos los sistemas amortizan el mismo capital y difieren en la velocidad:

velocidad de amortización:  alemán > francés > cuota creciente > americano
costo total de intereses:   alemán < francés < cuota creciente < americano
exigencia inicial de caja:  alemán > francés > cuota creciente > americano

Elegir sistema es decidir dónde poner el esfuerzo en el tiempo, y el costo total es la consecuencia aritmética de esa decisión, no un objetivo independiente.

📖 Desarrollo

1. Los cinco sistemas sobre un mismo caso

Capital 30 000 000, tasa 1,2 % mensual, 24 periodos.

Francés — cuota constante:

(1,012)^24 = 1,330872
cuota = 30 000 000 × 0,012 × 1,330872/0,330872 = 1 448 297

Alemán — amortización constante de 1 250 000:

Americano — solo interés de 360 000, capital al final:

interés total = 360 000 × 24 = 8 640 000

Cuota creciente al 1 % mensual:

VP = A × [1 − ((1+g)/(1+i))^n]/(i − g)
30 000 000 = A × [1 − (1,01/1,012)^24]/(0,012 − 0,01)
(1,01/1,012)^24 = (0,998024)^24 = 0,953675
30 000 000 = A × 0,046325/0,002 = A × 23,1625
A = 1 295 197 (primera cuota)
última cuota = 1 295 197 × (1,01)^23 = 1 626 258
interés total ≈ 4 950 000

Fondo de amortización — interés al acreedor, capital acumulado al 0,8 % mensual:

interés pagado = 360 000 × 24 = 8 640 000
aporte al fondo = 30 000 000 × 0,008/((1,008)^24 − 1) = 30 000 000 × 0,008/0,210599 = 1 139 604
desembolso total = (360 000 + 1 139 604) × 24 = 35 990 496
costo neto = 5 990 496

2. Comparación

Los cinco sistemas se comparan sobre el mismo capital y plazo, que es la única forma de ver la diferencia. La tabla los enfrenta.

3. Duración del crédito

La duración mide el plazo promedio ponderado de recuperación:

D = Σ [t × VP(flujo_t)] / Σ VP(flujo_t)

Para el banco, la duración determina el riesgo de tasa (clase 11) y la exposición al riesgo de crédito en el tiempo. Un crédito americano mantiene la exposición máxima durante todo el plazo.

4. Estructurar según el flujo del deudor

El sistema se elige a partir del perfil de ingresos del deudor y no de su costo total. La tabla los relaciona.

5. Modelar prepagos

Un prepago de 5 000 000 en el periodo 8, en cada sistema:

El prepago ahorra más en el sistema americano porque el capital pendiente es mayor durante todo el plazo restante. Y ahorra más cuanto antes se haga, en cualquier sistema (Parte 1, clase 11).

Dos modalidades, que deben elegirse explícitamente:

reducción de PLAZO   mantiene la cuota, acorta el crédito → maximiza el ahorro
reducción de CUOTA   mantiene el plazo, baja la cuota    → alivia el flujo, ahorra menos

🧮 Ejemplo guiado

El ejemplo amortiza el mismo capital por los cinco sistemas y calcula la duración de cada uno. Conviene mirar la duración junto al costo total: son dos criterios distintos y no coinciden.

Situación. Estructura el financiamiento de un proyecto de energía con este perfil de generación de caja.

inversión requerida                    180 000 millones
tasa disponible                        0,95 % mensual
plazo máximo                           96 meses (8 años)

generación de caja proyectada:
  meses 1–18    construcción, sin ingresos
  meses 19–42   operación parcial, EBITDA 2 800 millones/mes
  meses 43–96   operación plena, EBITDA 5 400 millones/mes

Paso 1 — evalúa el sistema francés puro.

(1,0095)^96 = 2,470512
cuota = 180 000 × 0,0095 × 2,470512/1,470512 = 180 000 × 0,015960 = 2 872 800

problema: durante los meses 1–18 no hay ingresos
          → requeriría 51 710 millones de capital de trabajo adicional

Paso 2 — incorpora gracia total durante la construcción.

saldo al mes 18 = 180 000 × (1,0095)^18 = 180 000 × 1,185545 = 213 398

cuota para 78 meses restantes:
(1,0095)^78 = 2,082464
cuota = 213 398 × 0,0095 × 2,082464/1,082464 = 213 398 × 0,018277 = 3 900 245

problema: en los meses 19–42 el EBITDA es 2 800 < 3 900
          → cobertura de 0,72 veces: INSUFICIENTE

Paso 3 — estructura en dos tramos alineados con la generación.

tramo 1 (meses 19–42, 24 cuotas): cuota A, con cobertura objetivo de 1,30
  A máxima = 2 800/1,30 = 2 154 millones

tramo 2 (meses 43–96, 54 cuotas): cuota B, con cobertura objetivo de 1,40
  B máxima = 5 400/1,40 = 3 857 millones

Paso 4 — verifica que la estructura amortiza el capital.

valor presente en el mes 18 de ambos tramos:

a(24; 0,95%) = [1 − (1,0095)^-24]/0,0095
(1,0095)^24 = 1,255086 → (1,0095)^-24 = 0,796758
a(24) = 21,3939

a(54; 0,95%) = [1 − (1,0095)^-54]/0,0095
(1,0095)^54 = 1,664952 → (1,0095)^-54 = 0,600618
a(54) = 42,0402

VP tramo 1 = 2 154 × 21,3939 = 46 082
VP tramo 2 = 3 857 × 42,0402 × 0,796758 = 3 857 × 33,4959 = 129 194
VP total = 175 276

necesario: 213 398
DÉFICIT: 38 122 millones

Paso 5 — ajusta la estructura.

Opciones:

Estructura recomendada — gracia parcial:

meses 1–18: pagar solo intereses = 180 000 × 0,0095 = 1 710 millones/mes
            (financiado con capital de trabajo del proyecto: 30 780 millones)
saldo al mes 18 = 180 000 (sin capitalizar)

VP requerido = 180 000
VP disponible con las cuotas máximas = 175 276
déficit = 4 724 → se cubre extendiendo el tramo 2 a 60 meses

Paso 6 — estructura final y verificación.

meses 1–18    solo intereses: 1 710 millones/mes
meses 19–42   24 cuotas de 2 154 millones    (cobertura 1,30)
meses 43–102  60 cuotas de 3 857 millones    (cobertura 1,40)

verificación del valor presente:
  VP = 30 780 (intereses de gracia, ya pagados) 
  a(60; 0,95%) = 45,4218
  VP tramo 2 = 3 857 × 45,4218 × 0,796758 = 139 585
  VP tramo 1 = 46 082
  total = 185 667 ≥ 180 000  ✔ con margen

Interpreta: el sistema francés estándar era inviable, no por el costo sino por el desalineamiento entre la cuota y la generación de caja. La estructura correcta no minimiza el interés total: maximiza la probabilidad de que el crédito se pague. Ese criterio —viabilidad antes que costo— es el que rige en financiamiento de proyectos (Parte 13, clase 4).

🏦 Del cliente al banco

El cliente elige una cuota y el banco estructura según el riesgo y la duración. La tabla enfrenta las dos lecturas.

🧪 Práctica

El laboratorio pide estructurar un crédito para tres perfiles de flujo distintos y justificar el sistema elegido. La justificación es lo que se evalúa.

En labs/lab-04.md:

1. Construye las tablas completas de los cinco sistemas para un mismo crédito.
2. Calcula la duración de cada sistema y explica las diferencias.
3. Modela prepagos en tres momentos y en dos modalidades para cada sistema.
4. Estructura un financiamiento de proyecto alineado con un perfil de generación de caja.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de la tabla describen créditos que incumplen pese a estar bien calculados. La causa es un sistema que no encajaba con el flujo del deudor.

❓ Preguntas de comprobación

1. Ordena los cinco sistemas por interés total y explica el orden.
2. ¿Por qué el sistema americano tiene la mayor duración?
3. ¿En qué sistema un prepago ahorra más y por qué?
4. ¿Cómo verificas que una estructura de cuotas amortiza el capital?
5. ¿Por qué en financiamiento de proyectos la viabilidad manda sobre el costo?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-07/clase-07/:

• las cinco tablas de amortización completas de un mismo crédito;
• el cálculo de duración de cada sistema con su interpretación;
• los prepagos modelados en tres momentos y dos modalidades;
• la estructuración de un financiamiento de proyecto con verificación por valor presente.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulos 6 y 7: amortización y fondos de amortización.
• Broverman, S. (2017). Mathematics of Investment and Credit (7.ª ed.). ACTEX. Capítulo 3: sistemas de amortización comparados.
• Yescombe, E. (2013). Principles of Project Finance (2.ª ed.). Academic Press. Estructuración de deuda alineada con generación de caja.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jaffe, J. (2021). Corporate Finance (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 25: estructuras de deuda.
• Basel Committee on Banking Supervision (2017). Prudential treatment of problem assets — definitions of non-performing exposures and forbearance. BIS. Tratamiento de estructuras con gracia.
• Verificación local: revisa qué sistemas de amortización admite tu normativa y qué información debe entregarse sobre periodos de gracia.