Clase 01 · Tasas nominales y efectivas

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Parte 07 — Matemática financiera avanzada · Nivel: Avanzado — perfil analista · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Eliminar de forma definitiva la confusión más costosa de las finanzas: una tasa nominal no es una tasa. Es una convención de cotización que solo adquiere significado al declarar su frecuencia de capitalización. Esta clase entrega el aparato completo de conversión y el criterio para comparar cualquier par de tasas.

La Parte 1 usó una sola tasa por periodo y funcionó porque todos los ejemplos estaban alineados. Esta parte levanta ese supuesto, y empieza por donde se rompe: una tasa publicada no dice cuánto se paga si no se sabe con qué frecuencia capitaliza. Dos ofertas con la misma cifra pueden costar distinto, y la diferencia es exactamente esta clase.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Distinguir tasa nominal, periódica y efectiva con precisión.
2. Convertir entre las tres en cualquier dirección.
3. Calcular la tasa efectiva anual de cualquier cotización.
4. Aplicar la capitalización continua y saber cuándo importa.
5. Comparar ofertas de cotización distinta sobre una base única.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los cuatro primeros términos son la misma tasa expresada de formas distintas; los dos últimos son el caso límite y la relación general. La tasa efectiva anual es la única comparable entre ofertas, y por eso la regulación de casi todos los países obliga a publicarla.

🧠 Modelo mental

Piensa en la tasa nominal como un precio sin unidad:

"12 % anual"                      → incompleto, no se puede operar
"12 % anual capitalizable mensual" → completo: i = 1 % mensual, TEA = 12,683 %
"12 % efectivo anual"              → completo: TEA = 12 %

Toda cotización financiera profesional declara la frecuencia. Cuando no lo hace, la primera pregunta —antes de cualquier cálculo— es cuál es.

📖 Desarrollo

1. Las tres tasas y su relación

Nominal, periódica y efectiva no son tres conceptos sino tres formas de escribir lo mismo, y pasar de una a otra es mecánico. El esquema siguiente recoge las tres relaciones.

tasa periódica     i = j / m
tasa efectiva      TEA = (1 + i)^m − 1 = (1 + j/m)^m − 1
tasa nominal       j = m × [(1 + TEA)^(1/m) − 1]

Con j = 18 % y distintas frecuencias:

Dos observaciones que hay que poder explicar:

· la TEA siempre es ≥ que la nominal, y son iguales solo si m = 1
· la TEA CONVERGE: entre diaria y continua hay 0,0053 puntos

La convergencia explica por qué en la práctica casi nadie usa capitalización continua salvo en modelos teóricos y en instrumentos de mercados profesionales.

2. Capitalización continua

Si la frecuencia de capitalización crece sin límite, la tasa efectiva converge a un valor concreto. El resultado tiene uso práctico en valoración de derivados y conviene conocerlo.

TEA = e^j − 1
j = ln(1 + TEA)

Las dos conversiones son inversas entre sí, y comprobarlo con una cifra concreta ayuda a no confundir la tasa continua con la efectiva.

j = 18 % continua → TEA = e^0,18 − 1 = 0,197217 → 19,7217 %
TEA = 19,7217 % → j continua = ln(1,197217) = 0,18 = 18 %

La ventaja de la capitalización continua es algebraica: las tasas continuas se suman, mientras las efectivas se multiplican.

efectivas:  (1 + 0,08)(1 + 0,05) − 1 = 13,40 %
continuas:  8 % + 5 % = 13 % continua → equivale a 13,88 % efectiva

Por eso los modelos de valoración de derivados y las medidas de rendimiento en finanzas cuantitativas usan tasas continuas: simplifican la aritmética.

3. Comparar ofertas

Cuatro ofertas de depósito a un año:

A  8,40 % nominal capitalizable mensual
B  8,60 % nominal capitalizable trimestral
C  8,75 % efectivo anual
D  8,35 % nominal continua

Llevadas todas a la misma base, las cuatro ofertas se pueden ordenar, y el orden no coincide con el de las tasas anunciadas.

A  TEA = (1 + 0,084/12)^12 − 1 = (1,007)^12 − 1 = 8,7311 %
B  TEA = (1 + 0,086/4)^4 − 1 = (1,0215)^4 − 1 = 8,8836 %
C  TEA = 8,7500 %
D  TEA = e^0,0835 − 1 = 8,7085 %

La oferta con la cotización más alta (C, 8,75 %) no es la mejor, y la más baja (D, 8,35 %) no es la peor. Sin convertir a TEA, el orden es aleatorio.

4. El error de dividir una tasa efectiva

Dividir una tasa efectiva anual entre doce para obtener la mensual es el error más frecuente de esta parte, y produce una diferencia que crece con la tasa. El contraste siguiente lo cuantifica.

✗ tasa mensual de una TEA de 24 % = 24/12 = 2 %
✓ tasa mensual de una TEA de 24 % = (1,24)^(1/12) − 1 = 1,8088 %

Verificación:

(1,02)^12 − 1 = 26,824 %   ← no es 24 %
(1,018088)^12 − 1 = 24,000 % ✔

Dividir solo es correcto para tasas nominales, porque es su definición. Para efectivas hay que usar la raíz. Este error, aplicado a un crédito, produce una cuota un 3 % más alta de lo que corresponde.

5. Convención de días

Cuando el plazo no es un número entero de periodos:

TEA con base 365:  i_días = (1 + TEA)^(días/365) − 1
TEA con base 360:  i_días = (1 + TEA)^(días/360) − 1

Sobre un mismo plazo, las dos bases producen intereses distintos, y la diferencia se vuelve visible al aplicarla a un capital relevante.

TEA 12 %, plazo 47 días
  base 365: (1,12)^(47/365) − 1 = 1,4633 %
  base 360: (1,12)^(47/360) − 1 = 1,4835 %
  diferencia sobre 10 000 000: 20 200

La base debe declararse en el contrato. La Parte 1, clase 5, mostró el mismo problema con interés simple; aquí reaparece con capitalización.

🧮 Ejemplo guiado

El ejemplo compara dos ofertas con la misma tasa nominal y distinta frecuencia. Conviene llegar hasta la efectiva anual antes de opinar: hasta ese punto las dos ofertas parecen idénticas.

Situación. Un tesorero compara cuatro alternativas de inversión de excedentes por 500 millones a 90 días, y cuatro alternativas de financiamiento a 180 días.

INVERSIÓN (90 días)
  I1  4,80 % nominal capitalizable mensual
  I2  1,22 % efectivo trimestral
  I3  4,95 % efectivo anual
  I4  4,75 % nominal continua

FINANCIAMIENTO (180 días)
  F1  9,60 % nominal capitalizable mensual + comisión 0,20 % sobre el monto
  F2  4,85 % efectivo semestral
  F3  9,90 % efectivo anual
  F4  0,79 % efectivo mensual

Paso 1 — lleva todas las inversiones a TEA.

I1  (1 + 0,048/12)^12 − 1 = (1,004)^12 − 1 = 4,9070 %
I2  (1,0122)^4 − 1 = 4,9698 %
I3  4,9500 %
I4  e^0,0475 − 1 = 4,8646 %

Paso 2 — ordena y calcula el resultado a 90 días.

diferencia entre la mejor y la peor: 126 000 sobre 500 millones en 90 días

Paso 3 — lleva todos los financiamientos a TEA.

F1  (1 + 0,096/12)^12 − 1 = (1,008)^12 − 1 = 10,0339 %
    más comisión: se calcula sobre el flujo real (paso 4)
F2  (1,0485)^2 − 1 = 9,9352 %
F3  9,9000 %
F4  (1,0079)^12 − 1 = 9,9033 %

Paso 4 — incorpora la comisión de F1 correctamente.

monto solicitado 500 000 000, comisión 0,20 % = 1 000 000
monto recibido 499 000 000
pago a 180 días = 500 000 000 × (1,100339)^(180/365) = 523 950 000

tasa efectiva sobre lo recibido:
  (523 950 000 / 499 000 000)^(365/180) − 1 = 10,4640 %

La comisión de 0,20 % aumentó la TEA en 0,43 puntos, más del doble de la comisión nominal, porque se paga en un plazo de medio año.

Paso 5 — ordena el financiamiento.

Paso 6 — la decisión y lo que enseña.

invertir en I2 y financiarse con F3
diferencia total frente a la peor combinación: 126 000 + 1 100 000 = 1 226 000

y el hallazgo cualitativo: F1 tenía la SEGUNDA cotización más baja en apariencia
(9,60 % nominal) y resultó la MÁS CARA al incorporar comisión y frecuencia

Interpreta: ocho cotizaciones expresadas de siete formas distintas, y el orden correcto solo aparece tras llevarlas todas a una base común. Ese paso —tres minutos de cálculo— es la diferencia entre una decisión de tesorería informada y una aleatoria.

🏦 Del cliente al banco

El cliente ve una tasa publicada y el banco calcula su rendimiento efectivo. La tabla enfrenta las dos lecturas, y explica por qué la frecuencia de capitalización es una cláusula y no un detalle.

🧪 Práctica

El laboratorio pide convertir entre las tres formas y comparar ofertas que solo difieren en frecuencia. El resultado es que la oferta con menor tasa nominal puede ser la más cara.

En labs/lab-01.md:

1. Convierte diez cotizaciones distintas a TEA y ordénalas.
2. Demuestra numéricamente por qué dividir una TEA por 12 es incorrecto.
3. Calcula la TEA de un financiamiento con comisión sobre el flujo recibido.
4. Compara base 360 y 365 en cinco plazos y tabula la diferencia.

⚠️ Errores frecuentes

La tabla se usa buscando el síntoma. En esta clase casi todos vienen de haber operado con una tasa sin saber a qué periodo corresponde.

❓ Preguntas de comprobación

1. ¿Por qué una tasa nominal sin frecuencia no significa nada?
2. Convierte 15 % nominal capitalizable trimestral a TEA y a tasa mensual efectiva.
3. Demuestra que dividir una TEA de 30 % por 12 produce un error material.
4. ¿Cuánto suma una comisión del 0,3 % a la TEA de un crédito a 90 días?
5. ¿Por qué las tasas continuas se suman y las efectivas se multiplican?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-07/clase-01/:

• la tabla de diez cotizaciones convertidas a TEA y ordenadas;
• la demostración numérica del error de dividir una tasa efectiva;
• el cálculo de TEA de un financiamiento con comisión;
• la comparación de bases 360 y 365 en cinco plazos.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulo 1: tasas nominales, efectivas y fuerza de interés.
• Broverman, S. (2017). Mathematics of Investment and Credit (7.ª ed.). ACTEX. Capítulo 1: equivalencia de tasas y convenciones.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 6: tasa efectiva anual.
• Hull, J. (2021). Options, Futures, and Other Derivatives (11.ª ed.). Pearson. Capítulo 4: capitalización continua y su uso.
• International Capital Market Association. ICMA Rule Book: convenciones de conteo de días. https://www.icmagroup.org/
• Verificación local: revisa cómo exige tu regulador expresar las tasas en la información al cliente y qué base de días aplica por tipo de operación.