Clase 11 · Cuotas y cronogramas de pago

← 10 · Valor futuro · Índice de la parte · 12 · Amortización básica →

Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Construir, entender y auditar el documento más importante de cualquier crédito: la tabla de desarrollo. Aquí se ve, línea por línea, cuánto de cada cuota paga interés y cuánto reduce la deuda. Es también la clase donde se descubre por qué las primeras cuotas casi no bajan el saldo, y por qué prepagar temprano tiene un efecto desproporcionado.

Con el valor presente y el valor futuro ya instalados, esta clase resuelve el problema que los junta y que aparece en casi todo crédito: repartir una deuda en pagos iguales. La cuota no es la deuda dividida por el número de periodos, y entender por qué no lo es explica de una vez la estructura de cualquier crédito hipotecario, de consumo o comercial.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Calcular la cuota fija de un crédito con la fórmula del sistema francés.
2. Construir una tabla de desarrollo completa y verificar que cierre en cero.
3. Descomponer cualquier cuota en interés y amortización.
4. Cuantificar el efecto de un prepago según el momento en que se hace.
5. Auditar una tabla entregada por un tercero y detectar inconsistencias.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los cinco primeros términos describen la anatomía de una cuota y los dos últimos, lo que ocurre cuando esa anatomía se altera. El saldo insoluto es el que hay que seguir con la vista: es sobre él, y no sobre el capital original, sobre el que se calcula el interés de cada periodo.

🧠 Modelo mental

Cada cuota atraviesa dos puertas en orden fijo:

cuota  →  [1. paga el interés devengado]  →  [2. lo que sobra reduce el capital]

Si el interés se lleva casi toda la cuota, el saldo baja poco. Eso ocurre al principio, cuando el saldo —y por lo tanto el interés— es máximo. No es un truco del banco: es aritmética, y se puede verificar línea por línea.

📖 Desarrollo

1. La fórmula de la cuota (sistema francés)

La fórmula de la cuota sale de igualar el valor presente de todos los pagos al capital prestado, que es exactamente lo que hizo la clase 9. No hay nada nuevo: hay un despeje.

        i (1+i)^n              i
A = P ------------- = P ----------------
       (1+i)^n − 1        1 − (1+i)^-n

Donde P es el capital, i la tasa periódica (mensual si las cuotas son mensuales) y n el número de cuotas.

Crédito de 5 000 000, tasa 1,45 % mensual, 36 cuotas:

(1,0145)^36 = 1,675737
A = 5 000 000 × 0,0145 × 1,675737 / (1,675737 − 1)
A = 5 000 000 × 0,024298 / 0,675737 = 121 490 / 0,675737 = 179 787

Cuota: 179 787 pesos. Total pagado: 179 787 × 36 = 6 472 332, de los cuales 1 472 332 son intereses (29,4 % del capital).

2. La tabla de desarrollo

La tabla de desarrollo es donde el crédito deja de ser una fórmula y pasa a ser algo que se puede auditar. Conviene leerla columna a columna la primera vez, porque cada una responde a una pregunta distinta y su orden no es arbitrario.

Observaciones que hay que saber leer:

• En la cuota 1, el 60 % de lo pagado es interés. En la cuota 36, el 1,5 %.
• Tras 12 cuotas (un tercio del plazo) el saldo bajó solo un 27,8 %.
• La última cuota difiere en 28 pesos: es la cuota de ajuste de la clase 2. Debe estar declarada.

3. Punto de equilibrio de la cuota

El momento en que la amortización supera al interés:

se cumple cuando  saldo × i < A/2

En este crédito ocurre ya en la cuota 1 (107 287 > 72 500), porque el plazo es corto. En un hipotecario a 240 meses al 0,45 % mensual, la amortización recién supera al interés cerca de la cuota 96: durante ocho años, más de la mitad de cada cuota es interés puro.

4. Prepago: por qué el momento lo es todo

Un prepago a capital de 500 000 en el crédito del ejemplo:

El mismo dinero ahorra cuatro veces más en la cuota 1 que en la cuota 30. Motivo: el prepago evita todos los intereses futuros sobre ese capital, y quedan más periodos por delante. Regla práctica: prepagar sirve mucho al principio y poco al final.

Existen dos modalidades y hay que elegir explícitamente:

5. Auditar una tabla ajena

Cinco controles que detectan casi cualquier error o abuso:

1. saldo final de cada fila = saldo inicial − amortización
2. interés de cada fila = saldo inicial × tasa periódica declarada
3. cuota = interés + amortización     (en todas las filas)
4. Σ amortizaciones = capital original
5. saldo tras la última cuota = 0 (±0,01)

Si el control 2 falla de manera sistemática, la tasa aplicada no es la declarada. Si el control 4 falla, hay cargos incorporados al capital que no se informaron. Ambos hallazgos son materia de la Parte 4, clase 8, sobre lectura de contratos.

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Un banco ofrece a Rocío 3 200 000 en 24 cuotas de 158 900 y declara "tasa 1,25 % mensual". Rocío quiere verificar si la cuota corresponde a esa tasa.

Paso 1 — calcula la cuota teórica al 1,25 %.

(1,0125)^24 = 1,347351
A = 3 200 000 × 0,0125 × 1,347351 / 0,347351
A = 3 200 000 × 0,016842 / 0,347351 = 53 894 / 0,347351 = 155 158

Paso 2 — compara.

cuota ofrecida  158 900
cuota teórica   155 158
diferencia        3 742 por cuota → 89 808 en total

Paso 3 — encuentra la tasa implícita. Se busca i tal que la cuota sea 158 900. Por tanteo:

La tasa efectivamente aplicada es ≈ 1,515 % mensual, no 1,25 %.

Paso 4 — investiga la brecha. Al revisar el contrato aparecen: comisión de apertura de 45 000 y seguro de desgravamen de 42 000, ambos financiados dentro del crédito. Entonces:

capital real financiado = 3 200 000 + 45 000 + 42 000 = 3 287 000
cuota al 1,25 % sobre 3 287 000 = 159 377

Muy cerca de 158 900. La tasa declarada era correcta; lo que no se explicó fue que la base incluía cargos. Rocío recibe 3 200 000 y paga intereses sobre 3 287 000.

Paso 5 — el número que importa. El costo total anual equivalente considera lo recibido, no lo firmado:

tasa que iguala 3 200 000 con 24 cuotas de 158 900 ≈ 1,515 % mensual
equivalente anual: (1,01515)^12 − 1 = 19,80 %

Ese 19,80 % es el número comparable entre ofertas, y es justamente lo que la Parte 3, clase 13, formaliza como carga anual equivalente.

🏦 Del cliente al banco

El cliente ve una cuota y el banco ve un flujo descontado. La tabla enfrenta las dos lecturas, y la fila del prepago es la que más discusiones produce en la práctica.

🧪 Práctica

El laboratorio pide construir la tabla completa y luego auditar una ajena que contiene un error. Detectar el error sin recalcularla entera es la habilidad que se persigue, y es la que sirve frente a un crédito real.

En labs/lab-06.md:

1. Construye la tabla de desarrollo completa de un crédito propio o sintético en planilla o Python.
2. Aplica los cinco controles de auditoría y documenta el resultado de cada uno.
3. Simula un prepago en tres momentos distintos y compara el ahorro.
4. Compara las modalidades reducción de plazo y reducción de cuota sobre el mismo prepago.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de la tabla se detectan casi todos con los cinco controles de la sección anterior. El más frecuente y el más caro es el que hace que el saldo no cierre en cero, porque suele indicar que el interés se calculó sobre una base equivocada.

❓ Preguntas de comprobación

1. Calcula la cuota de 2 000 000 a 18 meses con tasa de 1,3 % mensual.
2. ¿Por qué en la primera cuota la amortización es la parte menor?
3. ¿Qué cinco controles aplicarías para auditar una tabla de desarrollo ajena?
4. ¿Por qué el mismo prepago ahorra más en la cuota 3 que en la cuota 30?
5. Un crédito declara 1,2 % mensual pero la cuota implica 1,5 %. ¿Qué hipótesis investigas primero?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-11/:

• la tabla de desarrollo completa con los cinco controles documentados;
• la comparación de prepagos en tres momentos;
• la comparación entre reducción de plazo y reducción de cuota;
• una auditoría de una oferta real o sintética con la tasa implícita calculada.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulo 6: amortización y construcción de tablas.
• Broverman, S. (2017). Mathematics of Investment and Credit (7.ª ed.). ACTEX. Capítulo 3: sistema francés, prepagos y saldo insoluto.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 6: préstamos amortizables.
• IFRS Foundation (2014). NIIF 9 Instrumentos Financieros. Método del interés efectivo aplicado a préstamos con comisiones incorporadas.
• World Bank (2017). Good Practices for Financial Consumer Protection. Banco Mundial. Estándares sobre entrega y contenido de la tabla de desarrollo.
• Verificación local: revisa si tu legislación obliga a entregar la tabla de desarrollo antes de firmar y qué comisión máxima de prepago permite.