Clase 09 · Valor presente

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Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Convertir el principio de la clase 8 en la operación más usada de las finanzas profesionales: traer el futuro a hoy. Todo precio de un bono, toda valoración de empresa, todo análisis de proyecto y toda evaluación de crédito es, en el fondo, un valor presente. Esta clase enseña a calcularlo, a leer su sensibilidad a la tasa y a reconocer cuándo el resultado depende más del supuesto que del cálculo.

La clase anterior estableció que los flujos se mueven en el eje del tiempo y que hay dos direcciones. Esta se concentra en una sola —traer al presente— porque es la que sostiene toda decisión de inversión, todo precio de un instrumento y todo análisis de proyecto del resto del programa. Descontar es la operación más usada de las finanzas profesionales.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Calcular el valor presente de un flujo único y de un conjunto de flujos.
2. Construir e interpretar un factor de descuento y su tabla.
3. Medir la sensibilidad del valor presente a cambios en la tasa.
4. Explicar por qué los flujos lejanos pesan poco y qué implica para las proyecciones largas.
5. Aplicar el valor presente a una decisión real de compra o financiamiento.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Los tres primeros términos son la mecánica y los tres últimos son advertencias. La sensibilidad a la tasa es la que más consecuencias tiene en la práctica: dos analistas con el mismo flujo y tasas que difieren en dos puntos obtienen valoraciones que difieren en decenas de por ciento, y por eso la tasa se justifica en vez de elegirse.

🧠 Modelo mental

El factor de descuento es un filtro que va apagando el futuro:

i = 10 %
  año 1   0,9091   se conserva el 91 %
  año 5   0,6209   se conserva el 62 %
  año 10  0,3855   se conserva el 39 %
  año 20  0,1486   se conserva el 15 %
  año 30  0,0573   se conserva el 6 %

Por eso discutir el flujo del año 28 de una proyección es casi siempre discutir sobre nada, mientras que discutir la tasa cambia todo el resultado. Saber dónde está la palanca es el criterio profesional.

📖 Desarrollo

1. Flujo único

Todo lo demás de esta clase es una repetición de la operación siguiente. Conviene entenderla completa antes de encadenarla, porque el error en una serie es casi siempre un error en un solo término, repetido.

VP = F / (1 + i)^n

¿Cuánto vale hoy recibir 5 000 000 en 3 años, si la alternativa rinde 7 % anual?

VP = 5 000 000 / (1,07)^3 = 5 000 000 / 1,225043 = 4 081 490

Lectura: 4 081 490 invertidos hoy al 7 % producen exactamente 5 000 000 en tres años. Verificar siempre en la dirección contraria:

4 081 490 × 1,225043 = 5 000 001  ✔ (diferencia por redondeo)

2. Tabla de factores de descuento

Trabajar con factores evita recalcular potencias y hace visible la estructura:

Lectura obligada de esta tabla: al 20 %, un peso del año 30 vale cuatro milésimas de peso hoy. Una promesa a treinta años con tasa alta es, financieramente, casi nada.

3. Serie de flujos

Cuando los flujos son varios, el valor presente es simplemente la suma de los valores presentes de cada uno. La notación asusta más que la operación.

VP = Σ Fₜ / (1+i)^t

Un contrato paga 400 000, 600 000, 900 000 y 1 200 000 al final de cada uno de los próximos cuatro años. Con i = 9 %:

Los flujos suman 3 100 000 nominales y valen 2 417 040 hoy. La diferencia de 682 960 es el costo del tiempo, no una pérdida ni una comisión.

4. Sensibilidad a la tasa

El mismo contrato, descontado a distintas tasas:

Un cambio de 6 puntos en la tasa mueve el valor un 22 %. Esta es la razón por la cual toda valoración seria se presenta como un rango con tabla de sensibilidad, no como un número. Cuando en la Parte 13, clase 7, valores una empresa, la tabla de sensibilidad será la parte que el comité mire primero.

5. Precisión honesta

Un valor presente lleva dentro una tasa estimada y unos flujos proyectados, y ninguna de las dos cosas se conoce con exactitud. Presentar el resultado con céntimos comunica una certeza que el cálculo no tiene, y el contraste siguiente muestra la alternativa.

✗ "El proyecto vale 2 417 039,87"
✓ "El proyecto vale entre 2,1 y 2,7 millones según la tasa (9 % ± 3 pp);
   el caso base al 9 % es 2,42 millones."

La segunda formulación es más útil y más defendible. Un valor presente hereda toda la incertidumbre de sus flujos y de su tasa; presentarlo al peso es una afirmación de precisión que los datos no respaldan.

🧮 Ejemplo guiado

Situación. Un proveedor ofrece a una pyme dos formas de pagar una máquina:

A  8 900 000 al contado
B  3 000 000 hoy + 24 cuotas de 270 000

La pyme puede colocar su excedente al 0,45 % mensual, y su línea de crédito cuesta 1,35 % mensual.

Paso 1 — elige la tasa correcta. La pyme tiene el dinero, así que pagar al contado significa renunciar al 0,45 % mensual. Esa es la tasa de descuento: la alternativa real. Si no tuviera el dinero, la tasa sería el 1,35 % de la línea.

Paso 2 — valor presente de la opción B.

VP(cuotas) = 270 000 × [1 − (1,0045)^-24] / 0,0045
(1,0045)^24 = 1,113748 → (1,0045)^-24 = 0,897869
VP(cuotas) = 270 000 × (1 − 0,897869)/0,0045 = 270 000 × 22,6958 = 6 127 866
VP(B) = 3 000 000 + 6 127 866 = 9 127 866

(La fórmula de la serie de cuotas iguales se demuestra en la Parte 7, clase 4; aquí se usa como herramienta.)

Paso 3 — compara.

Paso 4 — ¿y si no tuviera el dinero? Con la tasa de la línea de crédito, 1,35 % mensual:

(1,0135)^-24 = 0,724847
VP(cuotas) = 270 000 × (1 − 0,724847)/0,0135 = 270 000 × 20,3817 = 5 503 059
VP(B) = 3 000 000 + 5 503 059 = 8 503 059   ← ahora B es MEJOR que A por 396 941

Paso 5 — interpreta. La misma oferta es peor o mejor según con qué dinero se compare. No hay una respuesta universal: hay una respuesta por situación. Este resultado —que la tasa de descuento cambia la decisión, no solo el número— es el aprendizaje central de la clase.

Paso 6 — verificación de razonabilidad. El costo implícito del financiamiento de B es la tasa que iguala ambas opciones. Está entre 0,45 % y 1,35 % mensual; resolviendo, ≈ 0,79 % mensual (10,0 % efectivo anual). Si la pyme consigue rendimiento superior a 0,79 % mensual, conviene financiar.

🏦 Del cliente al banco

El cliente pregunta cuánto vale y el banco pregunta a qué tasa. La tabla enfrenta las dos lecturas, y en todas las filas lo que decide el resultado no es el flujo sino el descuento aplicado.

🧪 Práctica

El laboratorio pide valorar el mismo contrato a varias tasas y tabular la dispersión. El objetivo no es practicar potencias: es que la sensibilidad deje de ser un concepto y pase a ser un rango de cifras que obliga a justificar la tasa antes de defender el resultado.

En labs/lab-05.md:

1. Construye tu propia tabla de factores de descuento para cuatro tasas y seis plazos.
2. Descuenta una serie de cinco flujos y verifica capitalizando de vuelta.
3. Elabora la tabla de sensibilidad del VP a la tasa en cinco escenarios.
4. Resuelve una decisión real contado vs. cuotas con dos tasas de descuento distintas y explica el cambio.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de la tabla aparecen sobre todo al comparar valoraciones ajenas. Casi todos se resuelven pidiendo dos datos que rara vez se declaran: qué tasa se usó y por qué.

❓ Preguntas de comprobación

1. ¿Cuánto hay que depositar hoy al 6 % para tener 10 000 000 en 8 años?
2. ¿Por qué un flujo del año 30 descontado al 20 % es prácticamente irrelevante?
3. ¿Qué le ocurre al valor presente cuando la tasa sube, y por qué el efecto es mayor en los flujos lejanos?
4. Dos analistas valoran el mismo contrato en 2,4 y 2,7 millones. ¿Qué es lo primero que hay que comparar?
5. ¿Por qué la decisión contado vs. cuotas puede invertirse según quién la evalúe?

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-09/:

• la tabla de factores de descuento construida por ti;
• una serie descontada con su verificación en sentido inverso;
• la tabla de sensibilidad del valor presente;
• la decisión contado vs. cuotas resuelta con dos tasas y una conclusión de 200 palabras.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Brealey, R., Myers, S. y Allen, F. (2023). Principios de finanzas corporativas (14.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 2: valor presente y factores de descuento.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulos 4 y 5: descuento de flujos múltiples.
• Damodaran, A. (2012). Investment Valuation (3.ª ed.). Wiley. Capítulos 2 y 3: valor presente como base de toda valoración y análisis de sensibilidad.
• Koller, T., Goedhart, M. y Wessels, D. (2020). Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies (7.ª ed.). McKinsey/Wiley. Capítulo 6: horizonte y peso de los flujos lejanos.
• IFRS Foundation (2014). NIIF 9 Instrumentos Financieros, apéndice A: definición de costo amortizado y tasa de interés efectiva.
• Verificación local: contrasta la tasa de descuento con la tasa de captación o de colocación vigente publicada por el supervisor financiero de tu país.