Clase 06 · Interés compuesto

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Parte 01 — Matemática financiera básica · Nivel: Fundamento — sin conocimientos previos · Duración: 90 minutos

🎯 Propósito

Entender el mecanismo que gobierna casi todo el sistema financiero: los intereses generan intereses. Esta clase es la bisagra del programa. Quien la domina puede leer un crédito hipotecario, evaluar un fondo, entender por qué la inflación destruye ahorro y por qué una deuda de tarjeta se vuelve inmanejable. Quien no la domina hará todo lo demás de memoria.

La clase anterior estableció que el interés simple crece en línea recta porque el interés cobrado nunca vuelve a la base. Esta cambia esa única regla —el interés se suma al capital— y con ese cambio mínimo aparece el mecanismo que explica el ahorro a largo plazo, el crédito de consumo y las deudas que no terminan. Toda la diferencia cabe en esa frase, y el resto de la clase la demuestra con números.

📚 Objetivos

Al finalizar podrás:

1. Aplicar M = C(1 + i)^n y explicar qué representa cada elemento del exponente.
2. Cuantificar la brecha entre interés simple y compuesto para distintos plazos.
3. Determinar el efecto de la frecuencia de capitalización sobre el resultado final.
4. Usar la regla del 72 como control mental de razonabilidad.
5. Explicar por qué el mismo mecanismo construye patrimonio y destruye a un deudor.

Agenda de 90 minutos

La clase dura noventa minutos y se recorre en cinco tramos. No es un horario rígido: es el orden en que los bloques de esta página se sostienen unos a otros, y por eso conviene respetarlo aunque cambien los tiempos.

Los diez primeros minutos se dedican a recuperar la clase anterior, porque casi todo lo que aquí se explica supone algo que ya se vio. Los veinticinco siguientes desarrollan los conceptos con la fuente oficial a la vista: las referencias del final de la página no son un adorno bibliográfico, se consultan mientras se estudia. Del minuto 35 al 55 se resuelve el ejemplo guiado paso a paso, sin saltarse ninguno, porque el error típico vive precisamente en el paso que parece obvio. Los veinticinco minutos siguientes son de práctica con datos propios o sintéticos —nunca reales de terceros—, que es cuando se comprueba si se entendió. Los diez últimos cierran con las preguntas de comprobación y el registro del entregable.

Si el tiempo aprieta, lo que se recorta es la práctica y se traslada al laboratorio de la parte; lo que no se recorta nunca es el ejemplo guiado.

🧩 Conceptos centrales

Las tres primeras entradas describen el mecanismo y las tres últimas sus consecuencias. La frecuencia de capitalización es la que se omite con más frecuencia en las cotizaciones y la que hace que dos tasas nominalmente iguales cobren distinto; la simetría del daño es la que explica por qué el mismo mecanismo que construye patrimonio destruye a quien debe.

🧠 Modelo mental

Piensa en una escalera cuyos peldaños crecen:

capital 1 000 000, 2 % mensual COMPUESTO
  mes 1   +20 000,00   saldo 1 020 000,00
  mes 2   +20 400,00   saldo 1 040 400,00   ← el interés creció
  mes 3   +20 808,00   saldo 1 061 208,00
  mes 12  +23 787,63   saldo 1 268 241,79

Compáralo con la clase 5, donde cada peldaño medía exactamente 20 000. La diferencia a 12 meses son 8 242 pesos; a 120 meses, la diferencia es de 6 780 000 contra 3 400 000. El tiempo es el multiplicador, no la tasa.

📖 Desarrollo

1. La fórmula y sus despejes

La fórmula del monto compuesto se despeja igual que la del simple, pero con logaritmos cuando lo que se busca es el plazo. Conviene tener los cuatro despejes juntos antes de usarlos.

M = C (1 + i)^n

C = M / (1 + i)^n              capital inicial (valor presente, clase 9)
i = (M/C)^(1/n) − 1            tasa implícita
n = ln(M/C) / ln(1 + i)        plazo necesario

El despeje de n usa logaritmos y es el único punto de la clase con matemática nueva. Su lectura es directa: cuántas veces hay que multiplicar por (1+i) para llegar de C a M.

2. Simple contra compuesto: la brecha crece con el tiempo

Capital 1 000 000 al 10 % anual:

Dos lecciones. La primera: en el primer periodo no hay diferencia, por eso la gente subestima el efecto. La segunda: la brecha no crece linealmente sino que se acelera, y a 30 años el compuesto cuadruplica al simple.

3. Frecuencia de capitalización

Con una tasa nominal anual j capitalizada m veces al año:

M = C (1 + j/m)^(m·n)

Un capital de 1 000 000 al 12 % nominal anual durante un año:

La misma tasa nominal produce seis resultados distintos. Esto explica por qué comparar créditos por su tasa nominal es un error y por qué existe la tasa efectiva anual, que es el tema central de la Parte 7, clase 1. Nótese también que el efecto converge: entre diaria y continua hay 22 pesos.

4. La regla del 72 y el control mental

Hay una aproximación que permite estimar de cabeza cuánto tarda un capital en duplicarse, y su utilidad no es ahorrar una calculadora: es detectar en el acto un resultado imposible. El esquema siguiente la recoge junto con su margen de error.

periodos para duplicar ≈ 72 / tasa en %

Sirve para detectar disparates en segundos: si alguien promete duplicar tu dinero en 2 años, está ofreciendo un 41 % anual, y esa cifra exige una explicación muy sólida sobre el riesgo asumido. Es la primera defensa contra esquemas fraudulentos, tema de la Parte 4, clase 4.

5. El mismo mecanismo, en contra

Una deuda de tarjeta de 800 000 al 3,2 % mensual, pagando solo el mínimo del 5 %:

mes 1   interés 25 600   pago 40 000   saldo 785 600
mes 12  interés 21 940   pago 34 280   saldo 673 220
mes 24  interés 18 297   pago 28 589   saldo 561 420

Tras dos años pagando puntualmente se han desembolsado 827 000 pesos y aún se deben 561 420. El interés compuesto no es bueno ni malo: es un multiplicador que amplifica la posición en la que estás. La Parte 4, clase 10, desarrolla este caso completo.

🧮 Ejemplo guiado

El ejemplo se resuelve paso a paso. Conviene seguir la columna del saldo con atención, porque la diferencia con el interés simple no aparece en los primeros periodos y por eso se subestima siempre.

Situación. Andrés tiene 3 500 000 y dos alternativas: un depósito a 24 meses al 7,2 % nominal anual con capitalización mensual, o un fondo que promete 8,0 % efectivo anual. Además quiere saber cuánto tardaría en duplicar su capital en la mejor opción.

Paso 1 — depósito, tasa periódica.

i mensual = 0,072 / 12 = 0,006 → 0,6 % mensual
n = 24 meses
M = 3 500 000 × (1,006)^24

(1,006)^24 = 1,154349...
M = 3 500 000 × 1,154349 = 4 040 222

Paso 2 — depósito, tasa efectiva anual equivalente.

TEA = (1,006)^12 − 1 = 0,074424 → 7,4424 %

Paso 3 — fondo al 8,0 % efectivo anual.

M = 3 500 000 × (1,08)^2 = 3 500 000 × 1,1664 = 4 082 400

Paso 4 — compara sobre una base común.

Paso 5 — tiempo de duplicación en la mejor opción.

n = ln(2) / ln(1,08) = 0,693147 / 0,076961 = 9,006 años
regla del 72: 72/8 = 9,0 años   ✔ coincide

Paso 6 — interpreta con límites. El fondo rinde 42 178 pesos más si entrega el 8 %, y ese es justamente el punto: el depósito tiene tasa contractual conocida y el fondo tiene una expectativa sujeta a riesgo. Comparar 7,4424 % garantizado contra 8,0 % esperado no es comparar iguales. La Parte 8, clase 8, formaliza esa asimetría.

🏦 Del cliente al banco

El cliente percibe un rendimiento o una cuota; el banco percibe una base que crece sola. La tabla enfrenta las dos lecturas, y la fila de la deuda revolvente es la que produce más daño real en finanzas de personas.

🧪 Práctica

El laboratorio pide construir la misma serie con y sin capitalización y medir la brecha en el tiempo. El punto del ejercicio es visual antes que numérico: la brecha es despreciable durante los primeros periodos y por eso las decisiones que la producen se toman sin darle importancia.

En labs/lab-03.md, sección de capitalización:

1. Construye la tabla simple vs. compuesto para 1, 5, 10, 20 y 30 años con tres tasas distintas.
2. Calcula el monto final del mismo capital con las seis frecuencias de capitalización.
3. Verifica la regla del 72 contra el cálculo exacto para seis tasas y tabula el error.
4. Simula la deuda de tarjeta con pago mínimo durante 36 meses y grafica el saldo.

⚠️ Errores frecuentes

Los síntomas de esta tabla suelen aparecer tarde, cuando el efecto ya es grande. Las causas, en cambio, están todas en el primer periodo: una frecuencia mal leída, una tasa nominal tratada como efectiva o un pago mínimo que no cubre el interés devengado.

❓ Preguntas de comprobación

1. ¿Por qué en el primer periodo el interés simple y el compuesto coinciden?
2. Una tasa nominal de 12 % capitalizada mensualmente, ¿es mejor o peor que 12,5 % efectiva anual?
3. ¿En cuántos años se duplica un capital al 6 %? Resuélvelo con la regla del 72 y exactamente.
4. ¿Por qué dividir la tasa efectiva anual por 12 da un resultado incorrecto?
5. Explica con un ejemplo por qué el interés compuesto es simétrico entre ahorro y deuda.

📥 Entregable

Guarda en portfolio/parte-01/clase-06/:

• la tabla simple vs. compuesto con la brecha en pesos y en porcentaje;
• la tabla de las seis frecuencias de capitalización con sus tasas efectivas;
• la verificación de la regla del 72 con el error tabulado;
• la simulación de deuda con pago mínimo y una conclusión de 200 palabras.

🔐 Seguridad, ética y límites

Trabaja siempre con datos sintéticos o propios: nunca uses datos reales de terceros, números de cuenta, documentos de identidad ni antecedentes crediticios ajenos. Este material es formativo y no constituye asesoría financiera, tributaria ni legal; las tasas, comisiones, límites y normas citados cambian y deben verificarse en la fuente oficial vigente del país donde se aplique. Cuando un cálculo alimente una decisión que afecte a otra persona, registra los supuestos y quién los aprobó.

📗 Fuentes y verificación

• Kellison, S. (2008). The Theory of Interest (3.ª ed.). McGraw-Hill/Irwin. Capítulos 1 y 2: capitalización, frecuencia y capitalización continua.
• Brealey, R., Myers, S. y Allen, F. (2023). Principios de finanzas corporativas (14.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 2: valor futuro y el papel del horizonte temporal.
• Ross, S., Westerfield, R. y Jordan, B. (2022). Fundamentos de finanzas corporativas (12.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 5: interés compuesto y tasas efectivas.
• Bodie, Z., Kane, A. y Marcus, A. (2023). Investments (13.ª ed.). McGraw-Hill. Capítulo 5: capitalización continua y rendimientos anualizados.
• OECD/INFE (2022). Toolkit for Measuring Financial Literacy and Financial Inclusion. OCDE. El interés compuesto como indicador central de alfabetización financiera.
• Verificación local: confirma cómo debe informarse la tasa efectiva en tu país y si existe obligación de publicar una carga anual equivalente en la oferta de crédito.