Inicio · Parte 13 — Teoría de la información, señales y series
X[k] = Σₙ x[n]·e^(−2πikn/N)
magnitud = |X[k]|, fase = arg(X[k])
Parseval: Σ|x[n]|² = (1/N)·Σ|X[k]|²La transformada de Fourier descompone una señal en sinusoides de distintas frecuencias, cada una con su amplitud y su fase. Es un cambio de base en el sentido exacto de la parte 06: la señal no cambia, cambia el sistema de coordenadas desde el que se describe.
Ese cambio de perspectiva es útil porque muchas propiedades que están escondidas en el dominio del tiempo son evidentes en el de la frecuencia. Una señal que parece ruido puede revelar dos picos limpios; el ruido de red eléctrica aparece como una línea en 50 o 60 Hz; y un filtro que en el tiempo es una convolución compleja se convierte en una simple multiplicación.
El teorema de Parseval garantiza que la energía se conserva: la suma de los cuadrados en el tiempo es igual a la suma en frecuencia, salvo normalización. Comprobarlo numéricamente es la mejor prueba unitaria de una implementación de la transformada.
La fase es la parte que sistemáticamente se ignora. Casi todas las visualizaciones muestran solo la magnitud, pero la fase contiene la información sobre dónde ocurren las cosas. Un experimento clásico: intercambiar las magnitudes de dos imágenes conservando sus fases produce imágenes reconocibles como las originales de la fase. La estructura está en la fase.
Señal con dos componentes conocidas, analizada por Fourier.
64 muestras, señal construida con:
componente de 4 Hz con amplitud 3,0
componente de 9 Hz con amplitud 1,5
picos detectados: 4 Hz y 9 Hz ✓
magnitudes: 3,0 y 1,5 ✓
Parseval:
energía en el tiempo = 360,0
energía en frecuencia = 360,0 ✓
La transformada recuperó exactamente las amplitudes
y las frecuencias que se usaron para construir la señal.Descomponer una señal en senos y cosenos.
python classes/part-13-teoria-de-la-informacion-senales-y-series/273-series-y-transformada-de-fourier/lab.py
compmath run 273muestrascomponentes_realespicos_detectados_Hzmagnitudes_de_los_picosenergia_en_el_tiempoenergia_en_frecuenciateorema_de_Parsevalcualquier_periodica_es_suma_de_senoidales{
"muestras": 64,
"componentes_reales": {
"4 Hz": 3.0,
"9 Hz": 1.5
},
"picos_detectados_Hz": [
4,
9
],
"magnitudes_de_los_picos": [
3.0,
1.5
],
"energia_en_el_tiempo": 360.0,
"energia_en_frecuencia": 360.0
}Análisis de audio y vibraciones, compresión JPEG y MP3, filtrado en frecuencia y codificación posicional en Transformers.
La función de pérdida de casi todo clasificador es entropía cruzada; el VAE optimiza un ELBO con un término KL; las CNN son convoluciones aprendidas.
9780131988422 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).9780073039381 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).