Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
P(a < X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx
∫ f(x) dx = 1 sobre todo el soporte
P(X = c) = 0 para todo cUna variable continua toma valores en un intervalo, y ahí ocurre algo que sorprende: la probabilidad de cualquier valor concreto es cero. No porque sea imposible, sino porque hay infinitos valores y la probabilidad total es 1. Lo que tiene probabilidad positiva son los intervalos, y se obtiene integrando.
La función de densidad f(x) no es una probabilidad: es una probabilidad por unidad de x. Por eso puede valer más de 1 sin contradicción alguna, igual que una velocidad puede ser de 100 km/h sin que se recorran 100 km. La exponencial con λ = 2 tiene densidad 2 en el origen, y no hay nada roto.
La cdf sigue siendo F(x) = P(X ≤ x), ahora la integral de la densidad, y sigue siendo la forma cómoda de calcular: P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a). Como los puntos no aportan probabilidad, en el caso continuo da igual usar < o ≤, algo que en el discreto sí importa.
La consecuencia práctica más olvidada aparece al comparar modelos: la verosimilitud de datos continuos es una densidad, no una probabilidad, y por eso puede ser mayor que 1 y su logaritmo puede ser positivo. Ver un log-likelihood positivo en un modelo continuo no es un error; verlo en uno discreto sí lo es.
Exponencial con λ = 2: densidad, probabilidad puntual e intervalos.
f(x) = 2·e^(−2x) para x ≥ 0
F(x) = 1 − e^(−2x)
f(0) = 2,0 densidad > 1, perfectamente válido
P(X = 0,5) = 0 todo punto tiene probabilidad cero
P(X ≤ 0,5) = 1 − e^(−1) = 0,6321
P(0,5 < X ≤ 1) = F(1) − F(0,5)
= (1 − e^(−2)) − (1 − e^(−1))
= 0,8647 − 0,6321 = 0,2325
Comprobación: el área total bajo f es 1.Variable continua: la densidad no es una probabilidad.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/188-variables-aleatorias-continuas/lab.py
compmath run 188distribucionpdf(0)pdf_puede_superar_1P(X=0.5)P(X<=0.5)P(0.5<X<=1)integral_totalmedia_1/λ{
"distribucion": "Exponencial(λ=2)",
"pdf(0)": 2.0,
"pdf_puede_superar_1": true,
"P(X=0.5)": 0.0,
"P(X<=0.5)": 0.63212056,
"P(0.5<X<=1)": 0.23254416
}Modelado de tiempos de espera, verosimilitudes gaussianas, modelos de difusión y todo estimador de densidad.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780387217369 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).