Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
z = f(a) + ∇f(a)·(x − a)
error ≈ ½·(x−a)ᵀH(x−a) = O(‖x−a‖²)El plano tangente es a las superficies lo que la recta tangente a las curvas: la mejor aproximación lineal en un punto. Su ecuación usa el gradiente como vector de pendientes: f(a) + ∇f(a)·(x − a).
Lo interesante es cómo se comporta el error. Al alejarse del punto de tangencia, el error crece cuadráticamente, no linealmente. Duplicar la distancia cuadruplica el error. Eso explica por qué las aproximaciones lineales funcionan bien cerca y mal lejos, y por qué el paso del descenso de gradiente debe ser pequeño: el gradiente solo describe la función en un entorno.
El término cuadrático del error es exactamente el que captura el Hessiano, y por eso Taylor de segundo orden (clase 170) es tanto más preciso. Los métodos de Newton usan esa información para dar pasos más largos con seguridad.
La diferenciabilidad en varias variables se define precisamente como la existencia de una buena aproximación lineal, con error o(‖x−a‖). Es una condición más fuerte que la mera existencia de las parciales, y es la que garantiza que el plano tangente merece ese nombre.
Plano tangente y crecimiento del error.
f(x,y) = x²y + 3xy² + 2 en (2,3)
f(2,3) = 68, ∇f = (39, 40)
plano: z = 68 + 39(x−2) + 40(y−3)
punto cercano (2.01, 3.01):
f real = 68.79
plano = 68.79
error = 0.0034
punto lejano (3, 4):
f real = 182.0
plano = 147.0
error = 35.0
Distancia ×100 → error ×10 000: crecimiento cuadrático ✓Plano tangente: la aproximación lineal en dos variables.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/166-plano-tangente/lab.py
compmath run 166puntof(p)gradienteplanoerror_cercaerror_lejosel_error_crece_cuadraticamente{
"punto": [
2.0,
3.0
],
"f(p)": 68.0,
"gradiente": [
39.0,
40.0
],
"plano": "z = 68.00 + 39.00(x-2) + 40.00(y-3)",
"error_cerca": 0.003104,
"error_lejos": 35.0
}Linealización de modelos, propagación de incertidumbre de primer orden, un paso de descenso de gradiente y aproximación local de funciones complejas.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780201002881 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).