Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
D_u f = ∇f · u, con ‖u‖ = 1
máximo: ‖∇f‖ en la dirección de ∇f
nulo: en direcciones perpendiculares a ∇fLa derivada direccional generaliza la parcial a cualquier dirección, no solo a los ejes. Su fórmula es un producto punto: D_u f = ∇f · u, y de esa expresión se leen inmediatamente sus valores extremos usando la clase 103.
Como ∇f · u = ‖∇f‖·cos θ para u unitario, el valor es máximo cuando θ = 0 —en la dirección del gradiente— y vale ‖∇f‖. Es mínimo en la dirección opuesta, valiendo −‖∇f‖. Y es cero en las direcciones perpendiculares al gradiente, que son precisamente las tangentes a la curva de nivel (clase 162).
Esa última observación cierra el círculo: moverse a lo largo de una curva de nivel no cambia el valor de la función, y por eso la derivada direccional en esa dirección es nula. La perpendicularidad entre gradiente y curva de nivel no es un hecho adicional: es una consecuencia.
El requisito de que u sea unitario no es formalismo. Si no se normaliza, el resultado escala con la longitud del vector y deja de ser una tasa de cambio por unidad de distancia. Es el error más frecuente al implementar derivadas direccionales.
Derivada direccional en cuatro direcciones.
punto (2,3), ∇f = (39, 40), ‖∇f‖ = 55.87
dirección D_u f
e₁ = (1,0) 39.00
e₂ = (0,1) 40.00
45° = (0.707,0.707) 55.86 ← casi el máximo
−∇f normalizado −55.87 ← el mínimo
perpendicular a ∇f: (−40, 39)/‖·‖ → 0.0 ✓ nula
máximo posible = ‖∇f‖ = 55.87Derivada direccional como proyección del gradiente.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/165-derivada-direccional/lab.py
compmath run 165puntogradientederivadas_direccionalesmaxima_posibleminima_posiblenula_en_direccion_perpendicular{
"punto": [
2.0,
3.0
],
"gradiente": [
39.0,
40.0
],
"derivadas_direccionales": {
"e1": 39.0,
"e2": 40.0,
"45°": 55.861436,
"-∇f": -55.865911
},
"maxima_posible": 55.865911,
"minima_posible": -55.865911,
"nula_en_direccion_perpendicular": -0.0
}Análisis de sensibilidad en direcciones combinadas, búsqueda de línea en optimización (clase 254) y estudio de la anisotropía de una función de pérdida.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).