031 — Métodos Monte Carlo y simulación

← Clase anterior · Índice de la parte · Clase siguiente →

Parte: 02 — IA probabilística, evolutiva y de decisión
Nivel: intermedio · Horas estimadas: 6
Laboratorio: probability · Estado: EXECUTABLE_CORE

🎯 Propósito

Comprender métodos monte carlo y simulación dentro de la evolución de la inteligencia artificial, implementar un experimento mínimo verificable y distinguir qué parte constituye evidencia frente a una afirmación todavía no comprobada.

📚 Resultados de aprendizaje

Al finalizar podrás:

  1. Explicar métodos monte carlo y simulación usando los conceptos Monte Carlo, muestreo, estimación, varianza.
  2. Ejecutar el laboratorio con una semilla explícita y revisar su contrato JSON.
  3. Identificar al menos un supuesto, una limitación y un riesgo de aplicación.
  4. Comparar el enfoque con la etapa anterior de la ruta de aprendizaje.
  5. Producir una evidencia reproducible y una conclusión que no exceda los datos.

🧩 Conceptos centrales

Monte Carlo, muestreo, estimación, varianza

🗺️ Ubicación en el mapa de la IA

Las clases 025-030 calculan probabilidades y utilidades de forma exacta; eso deja de ser viable cuando el modelo es grande (inferencia NP-dura en redes bayesianas) o la integral no tiene forma cerrada. Monte Carlo — nacido en Los Álamos con Ulam, von Neumann y Metropolis (1949) — sustituye el cálculo por muestreo: estimar cantidades como promedios de simulaciones aleatorias. Sostiene la inferencia aproximada en modelos gráficos, la programación probabilística (035), el MCTS de AlphaGo y buena parte del RL moderno.

📖 Fundamentos

🎯 El estimador Monte Carlo

Para estimar μ = E[f(X)] con X ~ p:

μ̂_N = (1/N) Σ_{i=1}^{N} f(xᵢ),   xᵢ ~ p  i.i.d.

Ley de los grandes números:  μ̂_N → μ  (consistencia)
TCL: error estándar  σ/√N,  con σ² = Var[f(X)]

La propiedad clave: la tasa de convergencia O(1/√N) no depende de la dimensión del problema — de ahí su ventaja sobre cuadraturas deterministas en alta dimensión. La contrapartida: cada dígito decimal extra de precisión cuesta ×100 muestras.

🎲 Muestreo en modelos probabilísticos

📉 Reducción de varianza

La precisión depende de σ², no solo de N:

🌲 De la estimación a la decisión: MCTS

Monte Carlo Tree Search estima el valor de acciones simulando partidas completas (rollouts) y equilibra exploración/explotación con UCB. Es el puente entre esta clase y los MDP (029): cuando el árbol es demasiado grande para Bellman exacto, se muestrea.

🔁 Reproducibilidad

Los generadores son pseudoaleatorios: una semilla fija produce la misma secuencia. En ciencia e ingeniería la semilla es parte del experimento: sin ella, un resultado Monte Carlo no es auditable. Reportar siempre: semilla, N, estimador y error estándar.

🧮 Ejemplo trabajado

Estimar π lanzando dardos. Se muestrean puntos uniformes en el cuadrado [0,1]²; la fracción que cae dentro del cuarto de círculo (x²+y² ≤ 1) estima π/4.

π̂ = 4 · (aciertos / N)

f = 1_{x²+y²≤1} es Bernoulli(p = π/4 ≈ 0.7854)
Var[f] = p(1−p) ≈ 0.1685  →  σ ≈ 0.4105
Error estándar de π̂: 4·σ/√N ≈ 1.642/√N
N error estándar de π̂ resultado típico
100 0.164 3.0 – 3.3
10 000 0.0164 3.12 – 3.17
1 000 000 0.00164 3.138 – 3.145

Cálculo a mano con N = 20 (semilla fija, 16 aciertos): π̂ = 4·16/20 = 3.2; el intervalo ±1 e.e. es 3.2 ± 1.64/√20 ≈ 3.2 ± 0.37 — consistente con π. Duplicar la precisión exige cuadruplicar N: de ahí que Monte Carlo se combine con reducción de varianza en lugar de fuerza bruta.

Ponderación por verosimilitud en la red de la alarma (027): para P(B | j, m) se fijan J = j y M = m; una muestra (b=no, e=no, a=no) recibe peso P(j|¬a)·P(m|¬a) = 0.05·0.01 = 0.0005, mientras una con a=sí recibe 0.9·0.7 = 0.63: las muestras compatibles con la evidencia dominan la estimación sin descartar ninguna.

📊 Propiedades y comparación

Método Sesgo Eficiencia con evidencia rara Muestras correlacionadas Cuándo usar
Cuadratura determinista 0 N/A N/A Dimensión baja (≤ 3-4)
Muestreo directo No No aplica (sin evidencia) No Simular el modelo a priori
Rechazo No Pésima: descarta 1−P(e) No Evidencia probable
Likelihood weighting No (ponderado) Media: pesos degeneran No Evidencia moderada
MCMC Asintóticamente no Buena Sí (autocorrelación) Posteriores complejas, alta dimensión 
flowchart TD
    A["Pregunta: E[f(X)] o P(Q|e)"] --> B{"¿Integral con<br/>forma cerrada?"}
    B -- sí --> C["Cálculo exacto"]
    B -- no --> D["Elegir muestreador"]
    D --> E["Generar x1..xN con semilla fija"]
    E --> F["Estimar μ̂ = media de f(xi)<br/>(ponderada si aplica)"]
    F --> G["Reportar μ̂ ± σ̂/√N"]
    G --> H{"¿Error aceptable?"}
    H -- no --> I["Más N o reducción<br/>de varianza"]
    I --> E
    H -- sí --> J["Conclusión con incertidumbre<br/>cuantificada"]

⚠️ Errores conceptuales frecuentes

  1. Reportar la estimación sin el error. π̂ = 3.2 no dice nada sin ± 0.37; el estimador es una variable aleatoria y su incertidumbre es parte del resultado.
  2. "Con más muestras siempre basta." La convergencia 1/√N es lenta: pasar de 2 a 3 decimales cuesta 100× más cómputo; la reducción de varianza suele rendir más que aumentar N.
  3. Confundir pseudoaleatorio con aleatorio. La semilla fija hace reproducible el experimento; cambiarla y ver si la conclusión se sostiene es parte de la validación, no un detalle.
  4. Usar muestras MCMC como si fueran i.i.d. Están autocorrelacionadas: el "tamaño efectivo de muestra" puede ser 10× menor que N, y olvidar el burn-in sesga la estimación.
  5. Muestreo con rechazo ante evidencia improbable. Con P(e) = 10⁻⁴, el 99.99 % del cómputo se tira; hay que cambiar de algoritmo, no de paciencia.

🚀 Del aprendizaje a la operación

Estimar π es un juguete con respuesta conocida; en producción la respuesta no se conoce y la validación es indirecta: diagnósticos de convergencia MCMC (R̂ de Gelman-Rubin, tamaño efectivo), comparación entre semillas y muestreadores, pruebas con casos límite calculables y presupuesto de cómputo explícito. Además, las simulaciones heredan los errores del modelo: Monte Carlo cuantifica la incertidumbre dentro del modelo, nunca la de haber elegido el modelo equivocado.

🧪 Laboratorio

python lab.py

El laboratorio llama a ai_evolution.labs.run_lab("probability"). Esta decisión evita 183 implementaciones divergentes: cada clase tiene un entrypoint propio, pero los motores didácticos se prueban como una biblioteca común.

🔍 Evidencia esperada

📓 Notebooks

📝 Evaluación

Criterio Peso
Comprensión conceptual 25 %
Ejecución reproducible 25 %
Interpretación basada en evidencia 25 %
Riesgos, límites y mejora propuesta 25 %

Consulta assessment.md para preguntas y criterio de aceptación.

⚠️ Errores comunes

Síntoma Causa probable Corrección
El código corre, pero no hay conclusión Se confundió ejecución con aprendizaje Explica qué demuestra y qué no demuestra
El resultado cambia sin explicación No se registró semilla o configuración Conserva semilla, versión y parámetros
Se promete uso real Se extrapoló desde una demo educativa Declara entorno, datos, límites y revisión humana
Se copia una métrica aislada No existe baseline ni costo de error Añade comparación y criterio de decisión

❓ Preguntas frecuentes

¿Debo usar una API comercial?
No. El núcleo funciona localmente. Las extensiones LIVE se documentan por separado.

¿El laboratorio representa una implementación industrial?
No por sí solo. Enseña el contrato y el patrón; producción exige integración, seguridad, observabilidad, pruebas y operación.

¿Dónde profundizo?
Revisa las especializaciones enlazadas en el README raíz y la ruta siguiente.

🔗 Referencias

📜 Papers que fundamentan esta clase

Bloque generado por python scripts/link_papers_to_classes.py. La fuente es papers/catalog/papers.json.

Paper Año Qué desbloqueó Miniatura
P27 · Dominar el go con redes neuronales profundas y búsqueda en árbol 2016 Une las dos tradiciones de la IA: la búsqueda simbólica de la parte 01 y el aprendizaje profundo de la parte 04, en un solo sistema. notebook

Cada ficha explica el problema anterior, la matemática mínima, los límites y los errores de atribución más frecuentes. Para leerlas con método: cómo leer un paper de IA · anexos matemáticos.

📚 Bibliografía de apoyo

Bloque generado por python scripts/link_sources_to_classes.py. Cada obra lleva su localizador verificado en sources/bibliography.json.

Los papers dicen de dónde salió el mecanismo. Estas obras lo desarrollan con el espacio que una clase no tiene: teoría completa, demostraciones y ejercicios.

Obra Edición Localizador Papel en esta clase
Russell, Stuart J. y Norvig, Peter — Artificial Intelligence: A Modern Approach 4.ª · 2020 ISBN 9780134610993 · web de la obra citada en las referencias de esta clase · cap. 13 · obra de referencia de la parte 02
Sutton, Richard S. y Barto, Andrew G. — Reinforcement Learning: An Introduction 2.ª · 2018 ISBN 9780262039246 · web de la obra citada en las referencias de esta clase · cap. 5
Koller, Daphne y Friedman, Nir — Probabilistic Graphical Models: Principles and Techniques 2010 ISBN 9780262013192 · web de la obra obra de referencia de la parte 02 · modelos gráficos probabilísticos
Pearl, J. — Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems 1988 ISBN 9780080514895 obra de referencia de la parte 02 · redes de creencia

⬅️ Clase anterior

030 — Teoría de decisión y utilidad esperada

➡️ Siguiente clase

032 — Lógica difusa y control aproximado

📝 Evaluación completa

❓ Preguntas

  1. Define métodos monte carlo y simulación sin usar una marca o framework como definición.
  2. Explica la relación entre Monte Carlo, muestreo, estimación, varianza.
  3. Ejecuta lab.py dos veces con la misma semilla. ¿Qué debe conservarse?
  4. Identifica una afirmación permitida y una afirmación exagerada sobre el resultado.
  5. Propón una prueba negativa o un caso límite.

🏆 Reto verificable

Amplía el resultado del laboratorio con una clave student_extension que incluya:

✅ Criterio de aceptación