001 · Números naturales y conteo

Parte 00 · clase 1 de 20 · demostración counting

Contar es establecer una biyección entre un conjunto y un tramo inicial de los naturales.

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
|{1, 2, ..., n}| = n

Fundamentos

Contar parece trivial hasta que se intenta programar. Cuando decimos que un conjunto tiene 7 elementos, estamos afirmando que existe una correspondencia uno a uno entre ese conjunto y {1,2,3,4,5,6,7}. Esa definición —debida a la construcción de los naturales que formalizaron Peano y Dedekind a finales del siglo XIX— es la que permite contar cosas que no se pueden señalar con el dedo: las combinaciones posibles de una contraseña, los caminos en un grafo, los estados de un programa.

La suma de los primeros n naturales ilustra la diferencia entre contar y calcular. Sumar uno a uno cuesta n operaciones; la fórmula cerrada cuesta tres, independientemente de n. El argumento clásico —atribuido a Gauss siendo niño, aunque la anécdota es probablemente apócrifa— consiste en emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y observar que cada pareja suma n+1 y que hay n/2 parejas.

Esta distinción reaparece durante todo el programa. En la parte 04 se llamará «complejidad algorítmica»; en la parte 11, «coste de un método numérico». Aquí es simplemente la observación de que dos procedimientos correctos pueden diferir en cuántas operaciones necesitan, y que esa diferencia importa cuando n es grande.

Un detalle que el laboratorio comprueba: la fórmula cerrada y la suma iterativa dan exactamente el mismo entero. Con enteros de Python esto es cierto siempre. En la parte 01 veremos que con números en punto flotante la coincidencia deja de estar garantizada, y por qué.

Ejemplo trabajado

Sumar los enteros de 1 a 100.

Iterativo:  1 + 2 + 3 + ... + 100      → 100 sumas
Emparejado: (1+100) + (2+99) + ...     → 50 parejas de 101
            50 · 101 = 5050
Cerrado:    n(n+1)/2 = 100·101/2 = 5050 → 3 operaciones

Verificación cruzada: ambos caminos deben dar 5050. Si no coinciden, uno de los dos está mal implementado. Esa comprobación —dos caminos independientes al mismo resultado— es el patrón de verificación que se usará en todo el programa.

Qué ejecuta el laboratorio

Conteo, suma de Gauss y verificación cerrada frente a iterativa.

compmath run 001

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir el número de elementos con el último índice: de 1 a 100 hay 100 números, pero de 0 a 100 hay 101.
2. Aplicar n(n+1)/2 a una secuencia que no empieza en 1 sin ajustar el desplazamiento.
3. Suponer que «contar» y «sumar» son la misma operación: contar es cardinalidad, sumar es agregación.

Dónde se usa

Toda estimación de coste computacional empieza por un conteo. El número de comparaciones de un algoritmo de ordenación, el número de parejas en un producto cartesiano y el número de operaciones de una multiplicación de matrices son sumas de este tipo. En la parte 04 el conteo se vuelve combinatoria; en la 09, probabilidad.

Bibliografía de la clase

• Lang, S. Basic Mathematics. Springer, 1988, cap. 1 — Álgebra y funciones y Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780387967875 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).
• Graham, Knuth & Patashnik. Concrete Mathematics, 2ª ed., 1994, cap. 2 (sumas) — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9788131708415 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Peano axioms — Encyclopedia of Mathematics — Fundamentos y lenguaje matemático y Lógica y demostración: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en European Mathematical Society (2026-08-19).

002 · Enteros, signo y recta numérica

Parte 00 · clase 2 de 20 · demostración integers_number_line

El signo indica dirección en la recta numérica; el valor absoluto indica distancia.

|x| = x si x ≥ 0, −x si x < 0
d(a, b) = |a − b| = |b − a|

Fundamentos

Los enteros negativos tardaron siglos en aceptarse. Hasta el siglo XVII se los llamaba «números absurdos» porque no se podía tener −3 ovejas. La aceptación llegó cuando se dejó de exigir que un número representara una cantidad y se admitió que podía representar una posición relativa a un origen: temperatura respecto al punto de congelación, saldo respecto a cero, desplazamiento respecto a un punto de partida.

Esa lectura resuelve de golpe la regla de los signos, que de otro modo hay que memorizar. Multiplicar por −1 es «dar media vuelta» en la recta. Dar media vuelta dos veces deja el sentido original: (−1)·(−1) = +1. No es una convención arbitraria: es la única definición que mantiene válida la propiedad distributiva.

El valor absoluto separa dos preguntas que el signo mezcla: cuánto y hacia dónde. La distancia |a − b| es simétrica por construcción, y esa simetría es lo que la convierte en una distancia en el sentido matemático. En la parte 05 esa misma idea se generaliza a vectores como la norma, y en la parte 03 aparece como distancia euclídea. El valor absoluto es la norma de dimensión 1.

Conviene notar desde ya una asimetría que la parte 01 explotará: en un entero de ancho fijo con complemento a dos, hay un negativo más que positivos, y por eso abs(-128) desborda en un int8. El valor absoluto no siempre es representable.

Ejemplo trabajado

Distancia entre las posiciones −7 y 4 en la recta.

a = −7,  b = 4
a − b = −11      → dirección: de b hacia a se retrocede
|a − b| = 11     → distancia
b − a = 11
|b − a| = 11     → misma distancia, simetría verificada

Con signos: el producto de los signos de a y b es (−1)·(+1) = −1, lo que indica que están en semirrectas opuestas respecto al origen. Esa lectura —el signo del producto como indicador de posición relativa— es la que se usará en la clase 222 (bisección) para decidir en qué mitad del intervalo está la raíz.

Qué ejecuta el laboratorio

Signo, valor absoluto y distancia en la recta numérica.

compmath run 002

Errores conceptuales frecuentes

1. Leer −3² como (−3)²: la potenciación tiene mayor precedencia que el signo, así que −3² = −9.
2. Suponer que |a + b| = |a| + |b|: solo se cumple si a y b tienen el mismo signo (desigualdad triangular).
3. Tratar el valor absoluto como «quitar el signo» en lugar de «medir distancia»: la segunda lectura es la que generaliza.

Dónde se usa

El error absoluto de la parte 01, la norma L1 de la parte 05, la pérdida MAE de la parte 15 y el criterio de cambio de signo de la bisección (clase 222) son todos el mismo objeto. Cualquier función de pérdida robusta a valores atípicos se construye sobre valor absoluto en lugar de sobre cuadrados.

Bibliografía de la clase

• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002, secc. 1 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
• Lang, S. Basic Mathematics. Springer, 1988, cap. 2 — Álgebra y funciones y Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780387967875 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).

003 · Fracciones y números racionales

Parte 00 · clase 3 de 20 · demostración rational_arithmetic

Un racional es un cociente exacto de enteros; un decimal es casi siempre una aproximación suya.

a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
a/b = c/d ⟺ ad = bc

Fundamentos

Los racionales existen porque los enteros no están cerrados bajo división: 1 dividido entre 3 no es un entero. La construcción formal define un racional como una clase de equivalencia de pares de enteros (a, b) con b ≠ 0, donde (a,b) ~ (c,d) si ad = bc. Por eso 2/4 y 1/2 son el mismo número escrito de dos formas.

La consecuencia práctica es la que importa aquí: la fracción es el objeto exacto y el decimal es su sombra. Fraction(1,3) guarda dos enteros y responde con exactitud a cualquier operación; 0.3333 guarda una aproximación y arrastra un error que se acumula. Python distingue las dos cosas: fractions.Fraction implementa la aritmética exacta, y float la aproximada.

El laboratorio de esta clase muestra el caso mínimo donde la diferencia se ve: 1/3 + 1/6 es exactamente 1/2 en aritmética racional, y en punto flotante da un número que parece 0.5 pero cuya igualdad con 0.5 depende de detalles de representación. Aquí conviene resistir la tentación de concluir «los floats están rotos»: no lo están; simplemente no son racionales exactos, y la parte 01 explica por qué.

Un criterio útil para decidir qué usar: si el resultado se va a comparar con ==, o si representa dinero, o si va a alimentar cientos de miles de operaciones encadenadas, la aritmética exacta paga su coste. Si el resultado se va a graficar o alimentar un modelo estadístico, el float es suficiente y mucho más rápido.

Ejemplo trabajado

Sumar un tercio y un sexto por los dos caminos.

Exacto:   1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
          denominador reducido: 2
          ¿es igual a 1/2? Sí, por construcción.

Flotante: 0.3333333333333333 + 0.16666666666666666
        = 0.5                    (aparentemente)
        ¿es igual a 0.5? depende del redondeo de cada sumando

La lección no es que un camino sea correcto y el otro incorrecto: es que responden preguntas distintas. El exacto responde «¿cuál es el número?»; el flotante responde «¿cuál es el número representable más cercano?».

Qué ejecuta el laboratorio

Un tercio exacto frente a un tercio en punto flotante.

compmath run 003

Errores conceptuales frecuentes

1. Escribir 1/3 como 0.33 y arrastrar ese error al resto del cálculo sin declararlo.
2. Sumar numeradores y denominadores por separado: 1/2 + 1/3 no es 2/5.
3. Creer que simplificar una fracción cambia su valor: 2/4 y 1/2 son el mismo número.

Dónde se usa

Cualquier cálculo con dinero, con probabilidades exactas o con proporciones de inventario. En la parte 01 (clase 038) la aritmética racional exacta se usa para medir cuánto error acumula la aritmética flotante: la fracción actúa como patrón de referencia contra el que se mide.

Bibliografía de la clase

• Python: módulo fractions — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.

004 · Decimales y conversiones

Parte 00 · clase 4 de 20 · demostración decimal_conversion

El desarrollo decimal de una fracción es finito o periódico, y qué caso ocurre depende solo del denominador.

a/b tiene desarrollo finito ⟺ b (reducido) solo tiene factores 2 y 5
0.abcabc... = abc/999

Fundamentos

Toda fracción tiene desarrollo decimal finito o periódico; nunca uno infinito sin patrón. La razón es de conteo puro: al dividir por b, los restos posibles son 0, 1, ..., b−1. Si aparece el resto 0, el desarrollo termina. Si no, en a lo sumo b pasos algún resto se repite —hay más pasos que restos posibles— y desde ahí el desarrollo se repite. Es el principio del palomar (clase 090) aplicado antes de haberlo enunciado.

Cuál de los dos casos ocurre depende únicamente de los factores primos del denominador reducido. Nuestro sistema decimal es base 10 = 2·5, así que solo las fracciones cuyo denominador se factoriza en potencias de 2 y 5 tienen desarrollo finito: 3/8 sí (8 = 2³), 1/7 no (7 no divide ninguna potencia de 10).

Esta observación es la clave para entender la parte 01. En base 2, los denominadores «buenos» son solo las potencias de 2. Y 1/10 —que en decimal es finito y trivial— no lo es en binario. De ahí que 0.1 no sea representable exactamente en un float, que es exactamente el asunto de la clase 029. La rareza no está en la máquina: está en que cambiar de base cambia qué fracciones son «redondas».

El camino inverso —de periódico a fracción— usa una identidad limpia: el periodo de longitud k se escribe sobre k nueves. 0.142857142857... = 142857/999999, que simplificado es exactamente 1/7.

Ejemplo trabajado

Clasificar dos fracciones y reconstruir una desde su periodo.

3/8:  8 = 2³           → solo factores 2      → finito
      3/8 = 0.375

1/7:  7 primo ≠ 2, 5   → periódico
      1/7 = 0.142857 142857 142857...
      periodo = "142857", longitud 6

Reconstrucción: 142857/999999
              = 142857/999999   (dividir num. y den. por 142857)
              = 1/7             ✓

La longitud del periodo de 1/7 es 6 = 7−1. No es casualidad: está relacionada con el orden multiplicativo de 10 módulo 7, tema de la clase 098.

Qué ejecuta el laboratorio

Fracciones con desarrollo decimal finito y periódico.

compmath run 004

Errores conceptuales frecuentes

1. Truncar en lugar de redondear al convertir a decimal, y no declarar cuál de las dos cosas se hizo.
2. Suponer que un decimal con muchos dígitos es irracional: los irracionales no tienen periodo, y eso no se ve mirando 15 dígitos.
3. Olvidar reducir la fracción antes de mirar los factores del denominador: 5/10 parece problemático y es 1/2.

Dónde se usa

Explica por qué los sistemas financieros trabajan en centavos enteros o con Decimal, y por qué un total de factura calculado en float puede diferir en un céntimo del calculado a mano. Es el prerrequisito directo de las clases 029 y 037.

Bibliografía de la clase

• Python: módulo decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Hardy & Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6ª ed., 2008, cap. 9 — Teoría de números: el tema de esta clase · ISBN-13 9780199219865 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

005 · Porcentajes desde cero

Parte 00 · clase 5 de 20 · demostración percentage

Un porcentaje es una razón con denominador 100; los cambios porcentuales se componen multiplicando, no sumando.

x % de A = A · x/100
aumento de p % seguido de descuento de p %: A · (1+p)(1−p) = A(1 − p²)

Fundamentos

El error más caro con porcentajes no es de cálculo, es de composición. Un aumento del 20 % seguido de un descuento del 20 % no devuelve el precio original: devuelve el 96 % de él. La razón es que los dos porcentajes se aplican a bases distintas —el segundo se aplica sobre el precio ya aumentado— y por eso los cambios relativos se componen multiplicando factores, no sumando tasas.

El factor es la herramienta correcta: aumentar un 20 % es multiplicar por 1.20; descontar un 20 % es multiplicar por 0.80. Encadenar cambios es multiplicar factores, y el orden no altera el resultado porque la multiplicación es conmutativa. Lo que sí cambia es cuál es el descuento que revierte exactamente un aumento: para deshacer un ×1.20 hace falta un ×1/1.20, es decir un descuento del 16.67 %, no del 20 %.

La segunda confusión frecuente es entre punto porcentual y porcentaje. Si una tasa de conversión pasa del 10 % al 12 %, ha subido 2 puntos porcentuales, que es un aumento relativo del 20 %. Ambas cifras son correctas y describen cosas distintas; publicar una sin decir cuál es se usa habitualmente para exagerar resultados. La clase 219 (A/B testing) retoma exactamente esta distinción.

Para dinero, esta clase usa Decimal deliberadamente. Los porcentajes producen divisiones por 100 que en binario no son exactas, y el descuadre por redondeo al repartir un total es un fenómeno real que el capstone de la parte hace visible.

Ejemplo trabajado

Un producto de 1000 sube un 20 % y luego baja un 20 %.

Precio inicial            1000
Tras +20 %:  1000 × 1.20 = 1200
Tras −20 %:  1200 × 0.80 =  960

Variación neta: 960/1000 − 1 = −4 %      (= −p² con p = 0.20)

¿Qué descuento revierte exactamente el +20 %?
1 − 1/1.20 = 0.1667 → 16.67 %
1200 × (1 − 0.1667) = 1000  ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Aumento y descuento sucesivos: el orden no cambia, la reversión sí.

compmath run 005

Errores conceptuales frecuentes

1. Sumar porcentajes encadenados: +20 % y −20 % no se cancelan.
2. Confundir «subió 2 puntos porcentuales» con «subió un 2 %».
3. Calcular el porcentaje sobre la base equivocada: el descuento se aplica sobre el precio ya modificado.

Dónde se usa

Interés compuesto (parte 07), tasas de conversión y lift en experimentos (clase 219), y cualquier métrica relativa de un modelo. Un «20 % de mejora» sin base declarada es una afirmación incompleta.

Bibliografía de la clase

• Python: módulo decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Lang, S. Basic Mathematics. Springer, 1988 — Álgebra y funciones y Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780387967875 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).

006 · Razones, tasas y proporciones

Parte 00 · clase 6 de 20 · demostración ratios

Una razón compara dos cantidades por cociente; si las unidades difieren, es una tasa y conserva unidad.

razón = a/b (adimensional si a y b comparten unidad)
tasa = cantidad/unidad de referencia (km/h, €/kg, tokens/s)

Fundamentos

La distinción entre razón y tasa parece terminológica y es operativa. Una razón entre dos cantidades de la misma unidad —tres manzanas por cada dos peras— es adimensional: su valor no cambia si se mide en docenas en lugar de en unidades. Una tasa relaciona unidades distintas y conserva la unidad en el resultado: 80 km/h no es «80», es 80 kilómetros por cada hora.

Arrastrar la unidad no es formalismo escolar: es el mecanismo de verificación más barato que existe. Si un cálculo produce «kilómetros por hora al cuadrado» donde se esperaba una velocidad, hay un error de modelado, y se detecta sin comprobar ni un solo número. La clase 012 sistematiza esta idea como análisis dimensional.

Las tasas se componen por multiplicación de factores unitarios, y esa composición es la que permite responder preguntas sin fórmulas memorizadas. Si una tarea consume 3 GB por hora y hay 5 tareas, el consumo es 15 GB/h; el tiempo hasta llenar 120 GB es 120 GB ÷ 15 GB/h = 8 h, donde los GB se cancelan y queda la unidad correcta.

En IA las tasas están por todas partes y casi nunca se declaran con unidad completa: «tokens por segundo», «muestras por época», «FLOPs por parámetro», «coste por millón de tokens». Comparar dos modelos por una tasa cuyo denominador difiere es el error de benchmarking más común.

Ejemplo trabajado

Un vehículo recorre 240 km en 3 horas.

Tasa:  240 km / 3 h = 80 km/h        (unidad: km/h, no adimensional)

¿Cuánto tarda en recorrer 400 km a esa tasa?
400 km ÷ 80 km/h = 5 h
          ↑ los km se cancelan, queda h   ✓

Razón (misma unidad): 240 km / 400 km = 0.6   → adimensional

Comprobación por unidades: si el resultado hubiera salido en km²/h, sabríamos que multiplicamos donde había que dividir, sin necesidad de revisar la aritmética.

Qué ejecuta el laboratorio

Razón, tasa y proporción con unidades explícitas.

compmath run 006

Errores conceptuales frecuentes

1. Reportar una tasa sin unidad: «la velocidad es 80» no dice si son km/h o m/s.
2. Sumar tasas con denominadores distintos: 60 km/h y 30 km/h de dos tramos no promedian 45 km/h salvo que los tiempos sean iguales.
3. Confundir razón (adimensional) con tasa (con unidad) al comparar dos sistemas.

Dónde se usa

Throughput y latencia de un sistema, coste por inferencia, tasa de aprendizaje (que es una tasa: cuánto se mueve el parámetro por unidad de gradiente) y cualquier métrica normalizada de la parte 10.

Bibliografía de la clase

• BIPM. The International System of Units (SI), 9ª ed., 2019 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Bureau International des Poids et Mesures (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

007 · Regla de tres y escalas

Parte 00 · clase 7 de 20 · demostración rule_of_three

En la proporcionalidad directa el cociente es constante; en la inversa lo es el producto.

directa:  y/x = k  ⟹  y = kx
inversa:  x·y = k  ⟹  y = k/x
producto cruzado: a/b = c/d ⟺ ad = bc

Fundamentos

La «regla de tres» se enseña como una receta y por eso se aplica mal: se usa la directa donde corresponde la inversa. El criterio para decidir no es el enunciado sino la pregunta ¿qué permanece constante?. Si al duplicar x se duplica y, lo constante es el cociente y hay proporcionalidad directa. Si al duplicar x se reduce y a la mitad, lo constante es el producto y la proporcionalidad es inversa.

Casos típicos de cada una: el precio total frente a la cantidad comprada es directo (más unidades, proporcionalmente más precio). El tiempo de una obra frente al número de trabajadores es inverso (más trabajadores, proporcionalmente menos tiempo), bajo el supuesto —rara vez cierto en la práctica— de que los trabajadores no se estorban. Declarar ese supuesto es parte del modelado.

La proporcionalidad directa es la primera función lineal del programa. y = kx es una recta por el origen, y su generalización a varias variables, y = Wx, es exactamente lo que hace una capa densa de una red neuronal (clase 110). Quien internaliza aquí que «k es cuánto cambia y por cada unidad de x» ya tiene la intuición correcta de lo que es un peso en un modelo lineal.

Una advertencia que el programa repetirá: la proporcionalidad es un modelo, no una ley. Casi ninguna relación real es proporcional en todo su rango. El precio por unidad baja con el volumen, el rendimiento por trabajador cae con el tamaño del equipo, y el error de un modelo no baja proporcionalmente con los datos. Usar la regla de tres fuera de su rango de validez es el error de modelado más frecuente.

Ejemplo trabajado

Si 4 unidades cuestan 10, ¿cuánto cuestan 6?

Directa (precio ∝ cantidad):
  10/4 = x/6  →  x = 10·6/4 = 15
  comprobación cruzada: 4·15 = 60 = 10·6   ✓

Si en cambio el problema fuera: 4 trabajadores tardan 10 días,
¿cuánto tardan 6?

Inversa (tiempo ∝ 1/trabajadores):
  4·10 = 6·x  →  x = 40/6 = 6.67 días
  comprobación: el producto se conserva, 40 = 40   ✓

El mismo par de números da 15 o 6.67 según el tipo de proporcionalidad. Elegir mal no produce un error pequeño: produce una respuesta sin relación con la pregunta.

Qué ejecuta el laboratorio

Proporcionalidad directa e inversa comparadas sobre el mismo dato.

compmath run 007

Errores conceptuales frecuentes

1. Aplicar proporcionalidad directa a una relación inversa (o al revés) sin preguntarse qué permanece constante.
2. Extrapolar fuera del rango donde la proporcionalidad es válida.
3. Olvidar el supuesto de independencia: 9 mujeres no gestan un bebé en un mes.

Dónde se usa

Escalado de recursos, conversión de unidades, ajuste de recetas y presupuestos. En IA es el modelo mental correcto para el learning rate y para leer una ley de escala, cuya forma es una proporcionalidad en escala logarítmica (clase 359).

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Polya, G. How to Solve It. Princeton University Press, 1945 — Fundamentos y lenguaje matemático y Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691164076 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

008 · Potencias y leyes de exponentes

Parte 00 · clase 8 de 20 · demostración exponent_laws

Las leyes de exponentes se derivan de contar factores, y su extensión a exponentes negativos y cero es la única que las conserva.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0),   a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Fundamentos

Con exponentes naturales, las leyes son literalmente contar: a³·a² es (a·a·a)·(a·a), cinco factores, luego a⁵. Nada que memorizar. Lo interesante ocurre al extender la definición fuera de los naturales, porque ahí ya no hay «número de factores» que contar.

La extensión no es arbitraria: se elige la única que mantiene las leyes válidas. Si queremos que aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ siga siendo cierto con n = 0, entonces aᵐ·a⁰ = aᵐ, y por tanto a⁰ debe ser 1. Con el mismo argumento, aⁿ·a⁻ⁿ = a⁰ = 1 obliga a definir a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Este patrón —extender una definición preservando las propiedades estructurales— es cómo funciona buena parte de la matemática, y reaparecerá en la clase 009 con los exponentes fraccionarios.

El caso 0⁰ queda genuinamente indefinido: los dos argumentos naturales (a⁰ = 1 y 0ⁿ = 0) apuntan a valores distintos. En análisis se toma convencionalmente 0⁰ = 1 porque hace que las series de potencias funcionen sin caso especial, y Python devuelve 1; conviene saber que es un convenio, no un teorema.

La ley que más se confunde es la de la potencia iterada. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ pero a^(mⁿ) es otra cosa completamente distinta, y la potenciación asocia por la derecha: 232 es 2(32) = 2⁹ = 512, no (2³)² = 64. La clase 010 vuelve sobre esto.

Ejemplo trabajado

Verificar las leyes con a = 2, m = 5, n = 3.

Producto:   2⁵ · 2³ = 32 · 8 = 256
            2⁵⁺³   = 2⁸      = 256          ✓

Potencia:   (2⁵)³  = 32³     = 32768
            2⁵ˑ³   = 2¹⁵     = 32768        ✓

Extensión:  2⁰ = 1
            2⁻³ = 1/8 = 0.125
            2³ · 2⁻³ = 8 · 0.125 = 1 = 2⁰   ✓

Cada igualdad es una comprobación independiente. Si alguna fallara, la implementación —no la matemática— tendría un error.

Qué ejecuta el laboratorio

Leyes de exponentes verificadas numéricamente.

compmath run 008

Errores conceptuales frecuentes

1. Leer (aᵐ)ⁿ y a^(mⁿ) como lo mismo.
2. Suponer que la potenciación asocia por la izquierda: 232 = 512, no 64.
3. Aplicar aᵐ·bᵐ = (ab)ᵐ a bases distintas con exponentes distintos: 2³·3² no se simplifica.

Dónde se usa

Complejidad exponencial (parte 04), crecimiento compuesto (parte 02), tamaño del espacio de búsqueda de una contraseña (clase 087) y el conteo de parámetros de un modelo. La escala logarítmica de la clase 011 es la inversa de esta.

Bibliografía de la clase

• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
• Knuth, D. Two notes on notation. Amer. Math. Monthly, 1992 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · DOI 10.48550/arxiv.math/9205211 verificado en DataCite (2026-08-19).

009 · Raíces y radicales

Parte 00 · clase 9 de 20 · demostración radicals

La raíz n-ésima es el exponente 1/n, y su dominio real depende de la paridad del índice.

ⁿ√a = a^(1/n)
(ⁿ√a)ⁿ = a  para a ≥ 0
√(a²) = |a|,  no a

Fundamentos

Definir la raíz como exponente fraccionario es la extensión natural de la clase 008: si (a^(1/n))ⁿ = a^(n/n) = a, entonces a^(1/n) es precisamente el número que elevado a n devuelve a. La notación de radical y la de exponente describen el mismo objeto, y la segunda es la que se generaliza sin esfuerzo a exponentes reales.

El dominio depende de la paridad del índice, y esta es la fuente de confusión más común. Con índice impar, todo real tiene raíz real única: la raíz cúbica de −8 es −2. Con índice par, los negativos no tienen raíz real, porque ningún real elevado a una potencia par da negativo. Ahí es donde aparecen los números complejos, que el programa usa desde la parte 13 (transformada de Fourier).

La identidad √(x²) = |x| sorprende hasta que se piensa en el dominio: la raíz cuadrada devuelve por convenio la rama no negativa, así que √((−3)²) = √9 = 3, no −3. Olvidarlo produce errores de signo silenciosos al despejar en una ecuación cuadrática, tema de la clase 048.

Numéricamente hay un detalle que la parte 01 explota: √2 no es representable en punto flotante, así que (√2)² no devuelve exactamente 2. El error es minúsculo pero real, y comprobarlo aquí prepara el terreno para el concepto de error de redondeo.

Ejemplo trabajado

Ida y vuelta con la raíz cuadrada de 2.

√2         = 1.4142135623730951    (float64, no exacto)
2**0.5     = 1.4142135623730951    (misma cosa)
(√2)²      = 2.0000000000000004
error      = 4.44e-16              ≈ 2 ulp

Raíz cúbica de −8:  índice impar → −2 en los reales
Raíz cuadrada de −8: índice par  → no existe en ℝ

El error de 4.44·10⁻¹⁶ no es un fallo: es el tamaño del hueco entre floats cerca de 2. La clase 031 le pondrá nombre (ULP).

Qué ejecuta el laboratorio

Raíces como exponentes fraccionarios y su dominio real.

compmath run 009

Errores conceptuales frecuentes

1. Escribir √(x²) = x olvidando el valor absoluto.
2. Buscar raíces pares de números negativos en los reales.
3. Comparar (√a)² con a usando ==: hace falta una tolerancia declarada.

Dónde se usa

La norma euclídea (clase 104) es una raíz cuadrada; la desviación estándar (clase 190) también; el factor 1/√d de la atención escalada (clase 325) es una raíz cuya justificación es de varianza.

Bibliografía de la clase

• Python: math.isqrt y aritmética de raíces — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Lang, S. Basic Mathematics. Springer, 1988 — Álgebra y funciones y Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780387967875 verificado en International ISBN Agency (2026-08-20).

010 · Orden de operaciones y paréntesis

Parte 00 · clase 10 de 20 · demostración operator_precedence

La precedencia y la asociatividad determinan qué expresión representa una cadena de símbolos.

orden: paréntesis → potencias → producto/división → suma/resta
la potenciación asocia por la derecha: a**b**c = a**(b**c)
−a**n = −(aⁿ)

Fundamentos

Una expresión escrita en una línea es una notación comprimida de un árbol. 2+3*4 no es ambiguo para una máquina porque las reglas de precedencia determinan un único árbol: la multiplicación se agrupa antes que la suma. La ambigüedad está solo en la cabeza de quien lee sin conocer las reglas.

Dos reglas concentran casi todos los errores. La primera es la asociatividad de la potenciación por la derecha: 232 es 2(32) = 2⁹ = 512. Es la convención matemática estándar y la que implementan Python, R y las calculadoras científicas; algunas hojas de cálculo hacen lo contrario, lo que produce discrepancias reales entre un cuaderno y un script.

La segunda es que el signo menos unario tiene menor precedencia que la potenciación: −3**2 es −(3²) = −9, no (−3)² = 9. Este error aparece constantemente al trasladar una fórmula de un paper a código, y no produce una excepción: produce un número con el signo equivocado.

La conclusión práctica no es memorizar la tabla completa, sino adoptar un hábito: poner paréntesis donde la lectura no sea inmediata. Los paréntesis redundantes no cuestan nada en tiempo de ejecución y eliminan una clase entera de errores. En una fórmula que otra persona va a auditar, la claridad vale más que la brevedad.

Ejemplo trabajado

Cuatro expresiones que se leen mal con frecuencia.

2 + 3 * 4      = 2 + 12 = 14      (no 20)
(2 + 3) * 4    = 5 * 4  = 20

2 ** 3 ** 2    = 2 ** 9 = 512     (asocia por la derecha)
(2 ** 3) ** 2  = 8 ** 2 = 64

-3 ** 2        = -(3²)  = -9      (el menos va después)
(-3) ** 2      = 9

Escribir (2 3) 2 cuando se quiere decir eso no es redundancia: es documentación ejecutable.

Qué ejecuta el laboratorio

Precedencia y asociatividad: dos lecturas de la misma cadena.

compmath run 010

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que la potenciación asocia por la izquierda.
2. Escribir -x2 esperando (-x)2.
3. Confiar en la precedencia entre herramientas distintas: hoja de cálculo y Python no siempre coinciden.

Dónde se usa

Trasladar fórmulas de un paper a código sin cambiar su significado. Es la causa número uno de discrepancias al reproducir un resultado publicado.

Bibliografía de la clase

• Python: precedencia de operadores — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Knuth, D. Two notes on notation. Amer. Math. Monthly, 1992 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · DOI 10.48550/arxiv.math/9205211 verificado en DataCite (2026-08-19).

011 · Notación científica

Parte 00 · clase 11 de 20 · demostración scientific_notation

La notación científica separa la magnitud (exponente) de la precisión (mantisa).

x = m · 10ᵉ  con 1 ≤ |m| < 10
orden de magnitud = ⌊log₁₀|x|⌋

Fundamentos

La notación científica no es una forma abreviada de escribir números grandes: es una descomposición que separa dos informaciones independientes. La mantisa dice qué dígitos conocemos —es decir, cuánta precisión tenemos— y el exponente dice en qué escala estamos. Esa separación es exactamente la que usa el formato IEEE 754 en base 2, tema central de la clase 028.

Razonar por órdenes de magnitud es una habilidad, no un atajo. Decir que un modelo tiene «siete mil millones de parámetros» y otro «setecientos mil millones» invita a compararlos como si la diferencia fuera de grado; decir 7·10⁹ frente a 7·10¹¹ deja claro que hay un factor 100 de diferencia, con el coste de memoria y cómputo que eso implica.

Dos números del mismo orden de magnitud son comparables; dos que difieren en tres órdenes casi nunca lo son en la práctica, porque el factor 1000 suele cambiar qué solución es viable. Este criterio es el que se usa en la clase 014 para validar una estimación: si la estimación y el cálculo exacto comparten orden de magnitud, la estimación cumplió su función.

Al escribir código, conviene usar la notación de Python (1.2e-9) en lugar de contar ceros. 0.0000000012 y 0.000000012 son visualmente casi idénticos y difieren en un factor 10; 1.2e-9 y 1.2e-8 no se confunden.

Ejemplo trabajado

Descomponer 0.00000012345.

valor        = 1.2345e-7
exponente    = ⌊log₁₀(1.2345e-7)⌋ = −7
mantisa      = 1.2345e-7 / 10⁻⁷ = 1.2345
condición    1 ≤ 1.2345 < 10                ✓
reconstruido = 1.2345 × 10⁻⁷ = 0.00000012345 ✓

Orden de magnitud: −7

Comparación por órdenes: 7·10⁹ frente a 7·10¹¹ → dos órdenes de diferencia, factor 100. No es «un poco más grande»: es otra categoría de problema.

Qué ejecuta el laboratorio

Mantisa, exponente y orden de magnitud.

compmath run 011

Errores conceptuales frecuentes

1. Dejar la mantisa fuera del rango [1, 10): 12.3e5 no está en forma normalizada.
2. Contar ceros a mano en lugar de usar el exponente.
3. Confundir la precisión (número de dígitos de la mantisa) con la magnitud (exponente).

Dónde se usa

Presupuestos de cómputo, tamaños de modelo, tolerancias numéricas y cualquier comparación entre cantidades de escalas distintas. Es la base de la representación en punto flotante (clase 028).

Bibliografía de la clase

• NIST. Guide for the Use of the International System of Units — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en National Institute of Standards and Technology (2026-08-19).
• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: conexión declarada de esta parte · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).

012 · Unidades y análisis dimensional

Parte 00 · clase 12 de 20 · demostración dimensional_analysis

Convertir unidades es multiplicar por factores iguales a 1; las unidades se cancelan como factores algebraicos.

1 = 1000 m / 1 km = 1 h / 3600 s
[velocidad] = L·T⁻¹

Fundamentos

El análisis dimensional trata las unidades como objetos algebraicos que se multiplican y se cancelan. Un factor unitario es un cociente entre dos expresiones de la misma cantidad —1000 m / 1 km— cuyo valor es exactamente 1, de modo que multiplicar por él cambia la unidad sin cambiar la cantidad. Encadenar factores unitarios convierte cualquier unidad en cualquier otra sin memorizar fórmulas.

La verdadera potencia del método no es convertir, es verificar. Antes de comprobar un solo número, el análisis dimensional detecta si una fórmula es imposible: una ecuación que iguala metros con segundos está mal, y eso se ve sin calculadora. En física esta comprobación es rutina; en modelado de datos se omite casi siempre, y de ahí salen features que mezclan escalas incompatibles.

El desastre más citado —la pérdida del Mars Climate Orbiter en 1999, donde un sistema trabajaba en libras-fuerza·segundo y otro en newton·segundo— es el ejemplo canónico de que declarar la unidad no es una formalidad. Ningún número estaba mal calculado; la interfaz entre dos sistemas no declaraba unidad.

En machine learning aparece disfrazado: estandarizar features es, en el fondo, convertirlas todas a una unidad común (desviaciones estándar) para que una distancia euclídea tenga sentido. La clase 288 muestra cómo cambia una predicción de k-NN si una variable se mide en una escala 100 veces mayor.

Ejemplo trabajado

Convertir 90 km/h a m/s encadenando factores unitarios.

90 km   1000 m    1 h        90 · 1000
----- × ------ × ------  =  ----------- m/s = 25 m/s
 1 h     1 km    3600 s        3600

Cancelaciones: km/km = 1, h/h = 1  → quedan m/s   ✓

Vuelta:  25 m/s × 3600 s/h × 1 km/1000 m = 90 km/h   ✓
Atajo verificado: dividir entre 3.6

Si el resultado hubiera salido en km²/h², el error estaría en la estructura del cálculo, no en la aritmética.

Qué ejecuta el laboratorio

Conversión de unidades como multiplicación por factores unitarios.

compmath run 012

Errores conceptuales frecuentes

1. Multiplicar cuando había que dividir por el factor: siempre se comprueba qué unidad se cancela.
2. Mezclar sistemas (imperial y SI) sin declararlo en la interfaz entre módulos.
3. Comparar features de escalas distintas con una distancia euclídea sin estandarizar.

Dónde se usa

Interfaces entre sistemas, física computacional, y el preprocesado de datos: la estandarización de la parte 14 es análisis dimensional aplicado a estadística.

Bibliografía de la clase

• BIPM. The International System of Units (SI), 9ª ed., 2019 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Bureau International des Poids et Mesures (2026-08-19).
• NASA. Mars Climate Orbiter Mishap Investigation Board Report, 1999 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en llis.nasa.gov (2026-08-19).

013 · Aproximación, redondeo y cifras significativas

Parte 00 · clase 13 de 20 · demostración rounding

Redondear es una decisión de modelado con regla declarada, no un accidente de la calculadora.

half-even (bancario): 0.5 → 0, 1.5 → 2, 2.5 → 2
half-up (aritmético): 0.5 → 1, 1.5 → 2, 2.5 → 3

Fundamentos

Cuando el valor a redondear cae exactamente en la mitad, hay que elegir hacia dónde va, y las dos elecciones habituales tienen consecuencias estadísticas distintas. El redondeo aritmético (half-up) siempre sube, y por tanto introduce un sesgo positivo que se acumula al sumar muchos valores. El redondeo bancario (half-even) manda al par más cercano, con lo que los casos intermedios se reparten y el sesgo tiende a cero.

Por eso el estándar IEEE 754 fija half-even como modo por defecto, y por eso la función round de Python hace lo mismo: round(0.5) devuelve 0, no 1. Quien espera el comportamiento escolar lo interpreta como un bug; es la elección correcta para cadenas largas de cálculos.

Las cifras significativas son el otro lado de la misma moneda: dicen cuánta información contiene el número, no cuántos dígitos se imprimen. Un valor medido como 2.50 comunica precisión de centésimas; escrito como 2.5 comunica precisión de décimas; escrito como 2.500000 comunica una precisión que probablemente no se tiene. Reportar más dígitos de los que la medida soporta es una forma de exagerar la certeza.

La regla práctica del programa: redondear al final, nunca en pasos intermedios, y declarar siempre la regla usada. Redondear intermedio destruye información que ya no se recupera, y es una causa habitual de que dos implementaciones «iguales» devuelvan totales distintos.

Ejemplo trabajado

Redondear los cuatro casos intermedios y medir el sesgo.

valores        0.5   1.5   2.5   3.5     suma original = 8.0

half-even       0     2     2     4      suma = 8   → sesgo  0.0
half-up         1     2     3     4      suma = 10  → sesgo +2.0
round() Python  0     2     2     4      (half-even)

Con cuatro valores el sesgo de half-up ya es de 2 unidades. Sobre un millón de importes, el descuadre es sistemático y siempre en la misma dirección.

Qué ejecuta el laboratorio

Redondeo bancario frente a redondeo aritmético.

compmath run 013

Errores conceptuales frecuentes

1. Esperar que round(0.5) devuelva 1 en Python.
2. Redondear en pasos intermedios y no solo en la presentación final.
3. Reportar más cifras significativas de las que la medida soporta.

Dónde se usa

Contabilidad, reparto de totales, informes de métricas y cualquier agregación de muchos valores redondeados. Es prerrequisito directo del capstone de esta parte y de la clase 034 (propagación de errores)."

Bibliografía de la clase

• IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).
• Python: modos de redondeo de decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

014 · Estimación y cálculo mental

Parte 00 · clase 14 de 20 · demostración estimation

Estimar por órdenes de magnitud detecta resultados absurdos antes de invertir esfuerzo en calcularlos.

error relativo = |estimado − exacto| / |exacto|
mismo orden de magnitud ⟺ ⌊log₁₀ a⌋ = ⌊log₁₀ b⌋

Fundamentos

La estimación no compite con el cálculo exacto: lo protege. Antes de ejecutar una operación cara —o de aceptar el número que devuelve— conviene tener una expectativa del orden de magnitud del resultado. Si el cálculo devuelve algo tres órdenes por encima de la expectativa, hay un error en alguna parte y se busca antes de seguir.

El método de Fermi consiste en descomponer una cantidad difícil en factores que sí se pueden estimar, aceptando que cada factor tendrá error. La clave es que los errores tienden a compensarse: si algunos factores se sobreestiman y otros se subestiman, el producto queda cerca. Enrico Fermi es célebre por haber estimado la potencia de la primera prueba nuclear soltando papelitos y midiendo su desplazamiento.

Redondear a la potencia de 10 más cercana antes de multiplicar convierte cualquier producto en una suma de exponentes, que se hace mentalmente. 4873 × 297 es aproximadamente 5·10³ × 3·10²= 15·10⁵ = 1.5·10⁶, y el valor exacto es 1447281: mismo orden de magnitud, error relativo del 3.6 %. Para decidir si un enfoque es viable, esa precisión sobra.

En la práctica profesional esta habilidad se usa para descartar rápido: si un cálculo de coste de entrenamiento da tres órdenes de magnitud por encima del presupuesto, no hace falta refinarlo. La estimación no responde «cuánto», responde «¿es siquiera posible?».

Ejemplo trabajado

Estimar 4873 × 297 antes de calcularlo.

Estimación:  4873 ≈ 5000 = 5·10³
              297 ≈  300 = 3·10²
              producto ≈ 15·10⁵ = 1.5·10⁶

Exacto:      4873 × 297 = 1 447 281 ≈ 1.45·10⁶

Error relativo = |1.5e6 − 1.447e6| / 1.447e6 = 3.6 %
Mismo orden de magnitud (10⁶)                      ✓

Si el cálculo hubiera devuelto 1.4·10⁵ o 1.4·10⁷, la estimación habría detectado el error de inmediato.

Qué ejecuta el laboratorio

Estimación por orden de magnitud contra el cálculo exacto.

compmath run 014

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir estimación con cálculo aproximado descuidado: una estimación declara su margen.
2. Redondear todos los factores en la misma dirección, que amplifica el sesgo en lugar de compensarlo.
3. Usar la estimación como resultado final en lugar de como control de sanidad.

Dónde se usa

Dimensionar infraestructura, validar la salida de un modelo, revisar un presupuesto y detectar errores de unidad. En entrevistas técnicas es una competencia evaluada explícitamente."

Bibliografía de la clase

• Weinstein & Adam. Guesstimation. Princeton University Press, 2008 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691129495 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Polya, G. How to Solve It. Princeton University Press, 1945 — Fundamentos y lenguaje matemático y Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691164076 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

015 · Variables como cantidades desconocidas

Parte 00 · clase 15 de 20 · demostración variables

Una incógnita es un valor concreto pero desconocido; las restricciones del problema lo determinan.

ax + b = c  ⟹  x = (c − b)/a,  a ≠ 0
residuo = a·x + b − c  (debe ser 0)

Fundamentos

Introducir una letra para lo que no se conoce es el paso que convierte un acertijo en un problema resoluble. Antes de al-Juarismi —cuyo tratado del siglo IX da nombre al álgebra y al algoritmo— los problemas se resolvían con recetas verbales específicas para cada caso. La letra permite escribir la relación antes de conocer el valor, y luego manipularla mecánicamente.

Conviene distinguir tres papeles que juegan las letras, porque se confunden a menudo: la incógnita tiene un valor concreto que hay que despejar; el parámetro es fijo pero no especificado (la a de ax + b); y la variable recorre un conjunto de valores (la x de una función). Un mismo símbolo puede cambiar de papel según el contexto, y no darse cuenta produce confusiones reales en la parte 02.

Despejar es aplicar operaciones inversas manteniendo la igualdad. Cada paso es legítimo mientras la operación sea reversible: sumar y restar siempre lo son; dividir lo es solo si el divisor no es cero. Ese detalle —a ≠ 0— no es un tecnicismo: si a es cero, la ecuación 0·x = 0 tiene infinitas soluciones y 0·x = 5 no tiene ninguna. Declarar el caso degenerado es parte de resolver.

La verificación es obligatoria y barata: sustituir la solución en la ecuación original y comprobar que el residuo es cero. Es el mismo hábito que en la parte 05 se llamará «comprobar el residuo del sistema lineal» y en la 11, «criterio de parada».

Ejemplo trabajado

Resolver 3x + 7 = 25 y verificar.

3x + 7 = 25
3x     = 25 − 7 = 18        (restar 7 a ambos lados)
 x     = 18/3   = 6          (dividir por 3, válido porque 3 ≠ 0)

Verificación:  3·6 + 7 = 18 + 7 = 25    ✓
Residuo:       3·6 + 7 − 25 = 0         ✓

Casos degenerados:
  0·x = 0  → infinitas soluciones
  0·x = 5  → ninguna solución

Qué ejecuta el laboratorio

Una incógnita convierte una pregunta en una ecuación resoluble.

compmath run 015

Errores conceptuales frecuentes

1. Dividir por una expresión que puede ser cero sin declarar el caso.
2. Aplicar una operación a un solo lado de la igualdad.
3. Dar la solución sin sustituirla en la ecuación original.

Dónde se usa

Toda resolución de sistemas (parte 05), todo despeje en una derivación (parte 07) y la condición de primer orden ∇f = 0 de la optimización (parte 12) son despejes con más variables."

Bibliografía de la clase

• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
• Katz, V. A History of Mathematics, 3ª ed., Pearson, 2008, cap. 7 — Historia de la matemática: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

016 · Expresiones y fórmulas

Parte 00 · clase 16 de 20 · demostración formula_evaluation

Una fórmula es una relación entre cantidades con dominio y unidades declarados.

A = πr²  (r > 0, A en unidad²)
P = 2πr  ⟹  A/P = r/2

Fundamentos

Evaluar una fórmula es fácil; usarla bien exige tres cosas que rara vez se escriben: su dominio de validez, las unidades de cada símbolo y los supuestos bajo los que se dedujo. Una fórmula sin esas tres declaraciones es una máquina de producir números plausibles fuera de contexto.

El área del círculo, A = πr², ilustra los tres. Dominio: r > 0, porque un radio negativo no tiene interpretación. Unidades: si r está en metros, A está en metros cuadrados, y esa elevación al cuadrado es lo que hace que duplicar el radio cuadruplique el área —un hecho que sorprende a mucha gente y que se deduce sin calcular nada, solo mirando el exponente.

La relación entre área y perímetro, A/P = r/2, muestra otra habilidad: combinar fórmulas para obtener relaciones que ninguna de las dos expresa por separado. Que el cociente dependa solo de r —y linealmente— dice algo estructural sobre el círculo, no sobre un círculo concreto.

Este es el hábito que la parte 07 formaliza como análisis de sensibilidad: preguntar «¿qué le pasa a la salida si esta entrada cambia un poco?» antes de meter números. El exponente de cada variable responde esa pregunta de forma inmediata: en A = πr², un error del 1 % en r produce aproximadamente un 2 % de error en A.

Ejemplo trabajado

Círculo de radio 2.5 m.

A = π · 2.5² = π · 6.25 ≈ 19.635 m²
P = 2π · 2.5           ≈ 15.708 m

A/P = 19.635 / 15.708 = 1.25 m
r/2 = 2.5/2           = 1.25 m       ✓ (relación estructural)

Sensibilidad: si r sube un 1 % (2.525 m),
  A = π·2.525² ≈ 20.030 m²  → +2.01 %
  el exponente 2 predice el factor de amplificación

Qué ejecuta el laboratorio

Una fórmula evaluada con dominio y unidades declaradas.

compmath run 016

Errores conceptuales frecuentes

1. Evaluar una fórmula fuera de su dominio (radio negativo, logaritmo de cero).
2. Olvidar que el área escala con el cuadrado de la longitud y el volumen con el cubo.
3. Usar una fórmula sin conocer los supuestos bajo los que se dedujo.

Dónde se usa

Cualquier modelo es una fórmula con dominio. El análisis de sensibilidad por exponentes es la versión elemental del gradiente (parte 08) y del número de condición (clase 035)."

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• BIPM. The International System of Units (SI), 9ª ed., 2019 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Bureau International des Poids et Mesures (2026-08-19).

017 · Patrones, secuencias y regularidades

Parte 00 · clase 17 de 20 · demostración sequences

Detectar una regla en una secuencia es una conjetura; extrapolarla sin justificación es un salto injustificado.

aritmética:  aₙ = a₁ + (n−1)d
geométrica:  aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
Fibonacci:   Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂,  Fₙ₊₁/Fₙ → φ = (1+√5)/2

Fundamentos

Ver un patrón es barato; demostrarlo no. Dada la secuencia 3, 7, 11, 15, la regla «suma 4» es la más simple, pero infinitas fórmulas producen esos cuatro términos y luego divergen. La matemática distingue entre conjeturar una regla y demostrarla, y esa distinción es el puente entre esta clase y la 091 (inducción).

Las dos familias fundamentales se distinguen por qué operación es constante. En la aritmética lo constante es la diferencia entre términos consecutivos; su crecimiento es lineal. En la geométrica lo constante es la razón; su crecimiento es exponencial. Confundirlas al modelar produce predicciones que fallan por órdenes de magnitud, no por un poco.

Fibonacci añade un tercer tipo: la recurrencia, donde cada término depende de varios anteriores. Su comportamiento asintótico es sorprendente y demostrable: el cociente entre términos consecutivos converge a la razón áurea φ ≈ 1.618, que es la raíz positiva de x² = x + 1. Que una recurrencia de enteros converja a un irracional es un buen ejemplo de que el comportamiento asintótico no se lee en los primeros términos.

El hábito que instala esta clase: al proponer una regla, indicar qué operación permanece constante y hasta dónde se ha verificado. «Suma 4, verificado en 4 términos» es una afirmación honesta; «la regla es sumar 4» no lo es.

Ejemplo trabajado

Tres secuencias y su regla.

Aritmética:  3, 7, 11, 15, 19        diferencia constante = 4
             a₆ = 3 + 5·4 = 23

Geométrica:  2, 6, 18, 54, 162       razón constante = 3
             a₆ = 2·3⁵ = 486

Fibonacci:   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
             55/34 = 1.6176...
             φ     = 1.6180...       converge, no coincide aún

La secuencia aritmética crece 4 por paso; la geométrica multiplica por 3 por paso. En diez pasos la primera llega a 39 y la segunda a 39366.

Qué ejecuta el laboratorio

Detectar la regla de una secuencia y extrapolarla con cuidado.

compmath run 017

Errores conceptuales frecuentes

1. Afirmar una regla como demostrada tras verificar unos pocos términos.
2. Confundir diferencia constante (lineal) con razón constante (exponencial).
3. Extrapolar una secuencia empírica fuera del rango observado.

Dónde se usa

Análisis de complejidad (parte 04), crecimiento compuesto (parte 02), series temporales (parte 13) y la lectura de curvas de aprendizaje: distinguir si un error baja linealmente o exponencialmente cambia por completo la decisión."

Bibliografía de la clase

• OEIS — Enciclopedia en línea de secuencias de enteros — Teoría de números: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en OEIS Foundation (2026-08-19).
• Graham, Knuth & Patashnik. Concrete Mathematics, 2ª ed., 1994 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9788131708415 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

018 · Problemas verbales a lenguaje matemático

Parte 00 · clase 18 de 20 · demostración word_problem

Modelar es traducir un enunciado a ecuaciones declarando qué representa cada símbolo.

sistema 2×2:  x + y = T,   p₁x + p₂y = M
solución:  y = (M − p₁T)/(p₂ − p₁),  x = T − y

Fundamentos

La dificultad de un problema verbal casi nunca está en el álgebra: está en la traducción. El procedimiento fiable tiene cuatro pasos y conviene seguirlos en orden: (1) nombrar las incógnitas con su unidad, (2) escribir una ecuación por cada restricción del enunciado, (3) resolver el sistema, (4) comprobar que la solución tiene sentido en el problema original, no solo en las ecuaciones.

El paso 4 es el que más se omite y el que más errores atrapa. Un sistema puede tener solución matemática y ninguna solución real: si el reparto da −3 unidades de un producto, el modelo es correcto y el enunciado es imposible. Distinguir «no hay solución» de «el modelo está mal» exige volver al enunciado.

Contar restricciones es el control de sanidad previo. Dos incógnitas necesitan dos ecuaciones independientes; con una sola hay infinitas soluciones, y con tres es probable que el sistema sea incompatible. Esta cuenta reaparece en la parte 05 como la relación entre rango, número de incógnitas y existencia de solución.

Polya, en How to Solve It (1945), sistematizó este método en cuatro fases: comprender el problema, concebir un plan, ejecutarlo y examinar la solución. Sigue siendo la mejor descripción del proceso, y su última fase —examinar— es exactamente el paso que la prisa elimina.

Ejemplo trabajado

«Se venden 30 unidades entre dos productos, uno a 1500 y otro a 2500, recaudando 61 000. ¿Cuántas de cada uno?»

Paso 1 — incógnitas con unidad
  x = unidades del producto A
  y = unidades del producto B

Paso 2 — una ecuación por restricción
  x + y = 30                    (total de unidades)
  1500x + 2500y = 61000         (recaudación)

Paso 3 — resolver
  y = (61000 − 1500·30)/(2500 − 1500) = 16000/1000 = 16
  x = 30 − 16 = 14

Paso 4 — comprobar contra el enunciado
  14 + 16 = 30                            ✓
  1500·14 + 2500·16 = 21000 + 40000 = 61000 ✓
  ambas cantidades ≥ 0 → solución factible  ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Traducir un enunciado a ecuaciones y resolverlo.

compmath run 018

Errores conceptuales frecuentes

1. Empezar a operar antes de nombrar las incógnitas y sus unidades.
2. Escribir menos ecuaciones que incógnitas y no notar que el problema queda indeterminado.
3. Aceptar una solución matemáticamente válida pero imposible en el problema (cantidades negativas).

Dónde se usa

Es la habilidad central del modelado: formular un problema real como un objeto matemático. Reaparece en cada capstone del programa, y en la parte 12 como la construcción de la función objetivo y sus restricciones."

Bibliografía de la clase

• Polya, G. How to Solve It. Princeton University Press, 1945 — Fundamentos y lenguaje matemático y Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691164076 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Schoenfeld, A. Mathematical Problem Solving. Academic Press, 1985 — Fundamentos y lenguaje matemático: el tema de esta clase · ISBN-13 9780126288704 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

019 · Comprobación y contraejemplos

Parte 00 · clase 19 de 20 · demostración counterexample

Un contraejemplo refuta una afirmación universal; ninguna cantidad de confirmaciones la demuestra.

¬(∀x P(x)) ⟺ ∃x ¬P(x)
n² + n + 41 es primo para n = 0..39, compuesto para n = 40

Fundamentos

La asimetría entre verificar y demostrar es el contenido de esta clase, y es la lección más transferible de toda la parte. Una afirmación universal —«para todo n se cumple P(n)»— no queda demostrada por muchos casos favorables, pero queda refutada por uno solo desfavorable. Verificar y demostrar son operaciones de coste y de valor radicalmente distintos.

El polinomio de Euler n² + n + 41 es el ejemplo canónico. Produce números primos para n = 0, 1, 2, ..., 39: cuarenta confirmaciones consecutivas, más de las que cualquiera revisaría antes de convencerse. Y falla en n = 40, donde vale 40² + 40 + 41 = 1681 = 41². La razón es visible en retrospectiva: al sustituir n = 41 (o 40) aparece el factor 41 explícitamente.

Trasladado al software, esto es exactamente la relación entre pruebas y corrección: «los tests pasan» significa que no se encontró contraejemplo en los casos probados, no que el código sea correcto. Dijkstra lo formuló en 1970 con una frase que resume la clase: las pruebas pueden mostrar la presencia de errores, nunca su ausencia.

La estrategia práctica que se deriva es contraintuitiva y muy eficaz: al evaluar una afirmación propia, buscar activamente el caso que la rompa en lugar de acumular casos que la confirmen. Los casos límite —cero, negativos, vacío, uno, el máximo representable— son donde viven los contraejemplos.

Ejemplo trabajado

La conjetura de Euler y su caída.

n:   0  1  2  3  ...  38  39   |  40
n²+n+41: 41 43 47 53 ... 1523 1601  |  1681

n = 0..39  → los 40 valores son primos
n = 40     → 1681 = 41 × 41       ✗ COMPUESTO

Regla:  40 confirmaciones no demuestran
        1 contraejemplo refuta

Nótese que el contraejemplo no requiere teoría avanzada: requiere seguir probando cuando ya «parecía» cierto.

Qué ejecuta el laboratorio

Una conjetura plausible destruida por un único contraejemplo.

compmath run 019

Errores conceptuales frecuentes

1. Concluir que una afirmación es cierta porque no se encontró contraejemplo en pocos casos.
2. Probar solo casos favorables o típicos, evitando los límites.
3. Confundir «los tests pasan» con «el código es correcto».

Dónde se usa

Diseño de pruebas, validación de modelos y evaluación de resultados publicados. En la parte 10 reaparece como la lógica de las pruebas de hipótesis: no se demuestra H₁, se rechaza H₀."

Bibliografía de la clase

• Dijkstra, E. W. Notes on Structured Programming, EWD249, 1970 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.cs.utexas.edu (2026-08-19).
• Lakatos, I. Proofs and Refutations. Cambridge University Press, 1976 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Euler's prime-generating polynomial — Wolfram MathWorld — Lógica y demostración y Teoría de números: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Wolfram Research (2026-08-19).

020 · Capstone: modelar un problema cotidiano con matemáticas

Parte 00 · clase 20 de 20 · demostración capstone_budget_model

Modelar un presupuesto integra dinero exacto, porcentajes, redondeo y verificación en un solo problema.

Σ pᵢ = 1  (los porcentajes deben sumar la unidad)
descuadre = ingreso − Σ redondeo(ingreso · pᵢ)

Fundamentos

El capstone reúne todo lo de la parte en un problema con consecuencias reales: repartir un ingreso en categorías según porcentajes. Parece trivial y contiene tres trampas que las clases anteriores anticiparon.

La primera: los porcentajes deben sumar exactamente 1. Comprobarlo con Decimal es trivial; comprobarlo con float no lo es, porque 0.35 + 0.20 + 0.10 + 0.20 + 0.15 puede no dar exactamente 1.0 en binario. Esta es la primera vez en el programa que la representación numérica cambia el resultado de una comprobación lógica.

La segunda: redondear cada categoría a la unidad monetaria hace que la suma de las partes no coincida con el total. El descuadre es pequeño pero sistemático, y cualquier sistema contable real necesita una política explícita para él: asignar el resto a una categoría, distribuirlo, o llevar el redondeo por acumulación. No decidir es también una decisión, y produce descuadres impredecibles.

La tercera: proyectar hacia el futuro. «¿Cuántos meses para ahorrar 5 millones?» es una división, pero su resultado es un número real y la respuesta es un entero de meses —hay que redondear hacia arriba, porque a mitad de mes no se ha ahorrado la cantidad—. Elegir la dirección del redondeo según el significado del problema, y no según la costumbre, es la competencia que cierra la parte.

Ejemplo trabajado

Repartir un ingreso de 1 250 000 en cinco categorías.

categoría      %      importe (Decimal, redondeado a 1)
vivienda      35 %      437 500
alimentación  20 %      250 000
transporte    10 %      125 000
ahorro        20 %      250 000
otros         15 %      187 500
─────────────────────────────────
suma %       100 %  ✓
suma importes        1 250 000
descuadre                    0    (aquí los porcentajes dan exactos)

Meses para ahorrar 5 000 000 con 250 000/mes:
  5 000 000 / 250 000 = 20 meses exactos
  (si diera 20.3, la respuesta operativa sería 21)

Con porcentajes como 1/3 el descuadre aparece y hay que decidir dónde va el resto.

Qué ejecuta el laboratorio

Capstone: modelar un presupuesto con dinero exacto y proporciones.

compmath run 020

Errores conceptuales frecuentes

1. Comprobar que los porcentajes suman 1 usando float y == en lugar de Decimal.
2. No definir una política para el descuadre por redondeo.
3. Redondear hacia abajo un número de periodos: a los 20.3 meses aún no se alcanzó la meta.

Dónde se usa

Contabilidad, presupuestos personales y empresariales, reparto de costes entre equipos y prorrateo de recursos en la nube. La política de descuadre es un requisito real en cualquier sistema de facturación."

Bibliografía de la clase

• Python: módulo decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).

021 · Bits, bytes y sistemas de numeración

Parte 01 · clase 1 de 20 · demostración bits_and_bytes

Con n bits se codifican exactamente 2ⁿ valores distintos; el ancho de palabra fija el rango, no la precisión.

valores representables con n bits = 2ⁿ
bits necesarios para k valores = ⌈log₂ k⌉

Fundamentos

Un bit distingue dos estados. Dos bits distinguen cuatro, porque cada estado del primero se combina con cada estado del segundo. La regla del producto —que la clase 087 formalizará como combinatoria— da directamente 2ⁿ para n bits, y esa cuenta es la base de todo dimensionamiento en computación.

La relación inversa importa igual: para representar k valores distintos hacen falta ⌈log₂ k⌉ bits. Un millón de valores necesita 20 bits; mil millones, 30. El logaritmo convierte una multiplicación de posibilidades en una suma de bits, y por eso la información se mide en bits (clase 262): es la unidad natural en la que las posibilidades se suman.

Los anchos habituales no son arbitrarios: 8, 16, 32 y 64 bits corresponden a las unidades que el hardware manipula de una vez. Elegir el ancho es elegir un compromiso entre rango y memoria. En deep learning esa elección es un tema activo: pasar de float32 a bfloat16 reduce a la mitad la memoria de activaciones y permite lotes mayores, a costa de precisión.

Conviene separar desde ya dos cosas que el ancho de palabra confunde: cuántos valores distintos caben (rango) y cuán juntos están (precisión). Un int32 y un float32 ocupan lo mismo y representan cosas radicalmente distintas: el entero cubre un rango pequeño con espaciado uniforme de 1; el flotante cubre un rango enorme con espaciado variable.

Ejemplo trabajado

Cuántos bits hacen falta y cuántos valores caben.

ancho    valores representables
1 bit                       2
1 byte                    256
16 bits                65 536
32 bits         4 294 967 296
64 bits    1.8446744e19

Para 1000 valores:      ⌈log₂ 1000⌉  = 10 bits   (2¹⁰ = 1024 ≥ 1000)
Para 1 000 000 valores: ⌈log₂ 10⁶⌉   = 20 bits   (2²⁰ = 1 048 576)

Observa el salto: duplicar los bits no duplica los valores, los eleva al cuadrado. De 32 a 64 bits no hay «el doble de números»: hay 4·10⁹ veces más.

Qué ejecuta el laboratorio

Cuántos valores distintos codifica cada ancho de palabra.

compmath run 021

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir rango (cuántos valores caben) con precisión (cuán juntos están).
2. Suponer que 2ⁿ bits representan 2n valores en lugar de 2^(2n).
3. Elegir el ancho por costumbre en lugar de por el rango real que necesita el dato.

Dónde se usa

Diseño de esquemas de base de datos, formatos binarios, cuantización de modelos y dimensionamiento de índices. La elección float32 frente a bfloat16 en entrenamiento es exactamente esta decisión.

Bibliografía de la clase

• IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).
• Patterson & Hennessy. Computer Organization and Design, 6ª ed., Morgan Kaufmann, 2020, cap. 3 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9780128203316 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

022 · Conversión decimal a binario

Parte 01 · clase 2 de 20 · demostración decimal_to_binary

Convertir a binario es dividir sucesivamente por 2 y leer los restos en orden inverso.

n = Σ bᵢ·2ⁱ  con bᵢ ∈ {0,1}
restos de n/2 leídos de abajo arriba = representación binaria

Fundamentos

El algoritmo de divisiones sucesivas no es un truco: es la construcción directa de la representación posicional. Al dividir n entre 2, el resto es el bit menos significativo —dice si n es par o impar— y el cociente es el número «desplazado un bit a la derecha». Repetir hasta llegar a cero produce todos los bits, del menos al más significativo, y por eso se leen al revés.

La representación es única: todo entero positivo tiene exactamente una escritura en base 2. Esa unicidad es la que permite que dos máquinas distintas interpreten los mismos bits como el mismo número, y es la que se pierde en punto flotante, donde varios reales distintos comparten representación.

El mismo algoritmo funciona en cualquier base cambiando el divisor. En base 16 los restos van de 0 a 15 y se escriben con dígitos hexadecimales; en base 8, de 0 a 7. La clase 023 explota que 16 y 8 son potencias de 2 para convertir sin dividir.

Un detalle práctico: Python trae la conversión en format(n, "b") y int(s, 2), pero implementarla a mano una vez deja claro por qué el bit menos significativo es la paridad, hecho que se usará constantemente en la parte 04 (aritmética modular) y en cualquier manipulación de bits.

Ejemplo trabajado

Convertir 156 a binario por divisiones sucesivas.

156 / 2 = 78  resto 0    ← bit menos significativo
 78 / 2 = 39  resto 0
 39 / 2 = 19  resto 1
 19 / 2 =  9  resto 1
  9 / 2 =  4  resto 1
  4 / 2 =  2  resto 0
  2 / 2 =  1  resto 0
  1 / 2 =  0  resto 1    ← bit más significativo

Leídos de abajo arriba: 10011100

Verificación: 128 + 16 + 8 + 4 = 156   ✓
              (2⁷ + 2⁴ + 2³ + 2²)

Qué ejecuta el laboratorio

Divisiones sucesivas frente a la conversión de la biblioteca.

compmath run 022

Errores conceptuales frecuentes

1. Leer los restos en el orden en que salen en lugar de invertirlos.
2. Olvidar que el último resto (el del cociente 1) también forma parte del número.
3. No verificar reconstruyendo con las potencias de 2.

Dónde se usa

Máscaras de bits, permisos de sistema de archivos, banderas de configuración, direcciones de red y cualquier serialización binaria. Es el prerrequisito de la representación IEEE 754.

Bibliografía de la clase

• Python: funciones bin, int y format — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Knuth, D. The Art of Computer Programming, vol. 2, 3ª ed., 1997, secc. 4.1 — Teoría de números: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

023 · Binario, octal y hexadecimal

Parte 01 · clase 3 de 20 · demostración bases

Hexadecimal y octal son taquigrafías de binario porque 16 y 8 son potencias de 2.

1 dígito hexadecimal = 4 bits
1 dígito octal = 3 bits

Fundamentos

Los programadores usan hexadecimal por una razón puramente práctica: cada dígito hexadecimal corresponde exactamente a 4 bits, así que convertir entre binario y hex se hace por grupos, sin dividir nada. 1101 0110 es D6 porque 1101 es 13 (D) y 0110 es 6. En octal ocurre lo mismo con grupos de 3 bits.

Esta correspondencia solo funciona porque 16 = 2⁴ y 8 = 2³. Con base 10 no hay agrupación posible, y por eso convertir decimal ↔ binario requiere el algoritmo de divisiones de la clase 022 mientras que hex ↔ binario es una tabla de 16 entradas.

El hexadecimal es además compacto: un byte se escribe con dos dígitos en lugar de ocho, y una dirección de 32 bits con ocho en lugar de treinta y dos. Por eso aparece en direcciones de memoria, colores CSS (#7c5cff son tres bytes), UUID, hashes y volcados de memoria.

Al leer código conviene reconocer los prefijos: 0b para binario, 0o para octal, 0x para hexadecimal. Python los acepta todos y int(s, base) convierte desde cualquier base entre 2 y 36. Los permisos de Unix (chmod 755) son octal precisamente porque cada dígito codifica tres bits de permiso: lectura, escritura y ejecución.

Ejemplo trabajado

El mismo número en cuatro bases.

decimal      3 735 928 559
hexadecimal  deadbeef
octal        33653337357
binario      11011110101011011011111011101111

Agrupación hex ← binario (grupos de 4, desde la derecha):
  1101 1110 1010 1101 1011 1110 1110 1111
     d    e    a    d    b    e    e    f     ✓

Bits necesarios: 32

deadbeef es un valor centinela clásico en depuración: es hexadecimal legible y difícilmente aparece por accidente en memoria.

Qué ejecuta el laboratorio

La misma cantidad en base 2, 8, 10 y 16.

compmath run 023

Errores conceptuales frecuentes

1. Agrupar los bits desde la izquierda en lugar de desde la derecha.
2. Confundir el prefijo 0o (octal) con un cero seguido de la letra o.
3. Suponer que la agrupación por dígitos funciona con base 10.

Dónde se usa

Direcciones de memoria, colores, hashes, UUID, permisos Unix y protocolos binarios. Leer un volcado hexadecimal es una habilidad de depuración básica.

Bibliografía de la clase

• Python: literales numéricos — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Patterson & Hennessy. Computer Organization and Design, 6ª ed., 2020 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9780128203316 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

024 · Aritmética binaria

Parte 01 · clase 4 de 20 · demostración binary_arithmetic

La aritmética binaria es la decimal con acarreo en base 2; los desplazamientos multiplican y dividen por potencias de 2.

x << k = x · 2ᵏ
x >> k = ⌊x / 2ᵏ⌋  (para x ≥ 0)
x & (x−1) apaga el bit menos significativo encendido

Fundamentos

Sumar en binario funciona igual que en decimal: se suma columna a columna y se arrastra el acarreo. La única diferencia es que el acarreo salta cuando la suma llega a 2 en lugar de a 10. Esta simplicidad es la razón por la que el hardware usa base 2: un sumador completo de un bit cabe en unas pocas puertas lógicas.

Los desplazamientos son la operación más barata de un procesador y equivalen a multiplicar o dividir por potencias de 2. x << 3 es x · 8, y x >> 1 es la división entera por 2. Los compiladores hacen esta sustitución automáticamente, pero reconocerla ayuda a leer código de bajo nivel y algoritmos de hashing.

Las operaciones bit a bit —AND, OR, XOR— actúan sobre cada posición de forma independiente, sin acarreo. AND enmascara (deja pasar solo los bits marcados), OR activa, XOR conmuta. XOR tiene una propiedad que se usa constantemente en criptografía: es su propia inversa, (a ^ b) ^ b = a.

Un idiom que conviene conocer: x & (x−1) apaga el bit encendido más a la derecha, porque restar 1 invierte ese bit y todos los ceros a su derecha. Contar cuántas veces se puede aplicar antes de llegar a cero cuenta los bits encendidos (popcount), y esa cuenta aparece en distancias de Hamming y en índices de bases de datos.

Ejemplo trabajado

Operaciones sobre a = 1011₂ (11) y b = 0110₂ (6).

a      = 1011   (11)
b      = 0110   (6)

a + b  = 10001  (17)     acarreo hasta el quinto bit
a & b  = 0010   (2)      solo donde ambos tienen 1
a | b  = 1111   (15)     donde alguno tiene 1
a ^ b  = 1101   (13)     donde difieren

a << 2 = 101100 (44)     = 11 · 4    ✓
a >> 1 = 101    (5)      = ⌊11/2⌋    ✓

Verificación XOR:  (a ^ b) ^ b = 1101 ^ 0110 = 1011 = a   ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Suma y desplazamiento en binario, con acarreo visible.

compmath run 024

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar >> con enteros negativos esperando división truncada hacia cero: en Python trunca hacia −∞.
2. Confundir & (bit a bit) con and (lógico) o | con or.
3. Suponer que << nunca desborda: en ancho fijo los bits que salen se pierden.

Dónde se usa

Hashing, compresión, criptografía, banderas de configuración, índices de bitmap y optimización de bucles. La distancia de Hamming entre dos cadenas de bits es el popcount de su XOR.

Bibliografía de la clase

• Warren, H. Hacker's Delight, 2ª ed., Addison-Wesley, 2012 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9780133084993, pendiente de resolver.
• Python: operaciones bit a bit — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

025 · Enteros con signo y complemento a dos

Parte 01 · clase 5 de 20 · demostración twos_complement

En complemento a dos, el negativo de x es 2ⁿ − x, y por eso la resta se implementa con el mismo sumador que la suma.

representación de −x en n bits = 2ⁿ − x
rango: [−2ⁿ⁻¹, 2ⁿ⁻¹ − 1]

Fundamentos

La razón por la que existe el complemento a dos es de ingeniería, no de matemáticas: permite que un único circuito sumador maneje positivos y negativos sin casos especiales. Si −x se representa como 2ⁿ − x, entonces a + (−b) calculado módulo 2ⁿ da exactamente a − b cuando el resultado está en rango. La resta desaparece como operación separada.

Las alternativas históricas —signo-magnitud y complemento a uno— tenían dos representaciones para el cero (+0 y −0), lo que obliga a casos especiales en las comparaciones. El complemento a dos tiene un único cero, y como contrapartida un rango asimétrico: en 8 bits va de −128 a +127, un negativo más que positivos.

Esa asimetría no es una curiosidad. abs(-128) en un int8 no es representable, así que desborda; en NumPy, np.abs(np.int8(-128)) devuelve −128 sin avisar. El mismo fenómeno afecta a -x y a la división x // -1. Es una fuente real de errores en código que procesa datos de sensores o audio en enteros.

El bit más significativo actúa como bit de signo, pero no es «un bit de signo» en el sentido de signo-magnitud: su peso es −2ⁿ⁻¹. Interpretar 11111011 como número requiere −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −5, no «signo negativo y magnitud 123».

Ejemplo trabajado

Representación en 8 bits y suma con signos opuestos.

+5  = 00000101
−5  = 2⁸ − 5 = 251 = 11111011

Suma 5 + (−5):
  00000101
+ 11111011
-----------
 100000000   → se descarta el noveno bit (módulo 2⁸)
  00000000   = 0   ✓

Decodificar 11111011:
  −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = −5   ✓

Rango:  mínimo −128,  máximo +127
Asimetría: |−128| = 128 NO es representable en int8

Qué ejecuta el laboratorio

Representación de negativos en 8 bits.

compmath run 025

Errores conceptuales frecuentes

1. Interpretar el bit más significativo como signo y el resto como magnitud.
2. Suponer que abs(x) siempre es representable: abs(−128) desborda en int8.
3. Olvidar el módulo 2ⁿ al sumar: el bit que se sale no es un error, es la definición.

Dónde se usa

Todo entero con signo en C, Rust, Java, NumPy y bases de datos. Los errores de desbordamiento por complemento a dos son una categoría reconocida de vulnerabilidad (CWE-190).

Bibliografía de la clase

• Patterson & Hennessy. Computer Organization and Design, 6ª ed., 2020, cap. 3 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9780128203316 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• CWE-190: Integer Overflow or Wraparound — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en MITRE Corporation (2026-08-19).

026 · Rango, overflow y wraparound

Parte 01 · clase 6 de 20 · demostración overflow_wraparound

En ancho fijo, superar el máximo no lanza excepción: el valor da la vuelta al rango.

resultado = (a + b) mod 2ⁿ, reinterpretado con signo
int8: 127 + 1 = −128

Fundamentos

El desbordamiento en enteros de ancho fijo es silencioso por diseño: el hardware calcula módulo 2ⁿ y descarta los bits que sobran. No hay excepción, no hay aviso, y el programa continúa con un valor que puede tener el signo contrario al esperado. Es una de las pocas situaciones en computación donde un error grave no produce ninguna señal.

Python es la excepción cómoda: sus enteros crecen indefinidamente, limitados solo por la memoria. Esa comodidad esconde el problema hasta que el mismo cálculo pasa a NumPy (donde int32 sí desborda), a una base de datos, a un servicio en otro lenguaje o a un modelo cuantizado. La lección de esta clase es que la ausencia de desbordamiento en Python no es una propiedad del algoritmo: es una propiedad del intérprete.

Los casos históricos abundan. El vuelo inaugural del Ariane 5 en 1996 se destruyó por una conversión de un flotante de 64 bits a un entero con signo de 16 bits cuyo valor no cabía. El «problema del año 2038» es el desbordamiento de un time_t de 32 bits contando segundos desde 1970.

La defensa práctica tiene tres capas: elegir el ancho con margen sobre el rango real, validar los límites en las fronteras del sistema, y usar tipos con detección de desbordamiento donde el lenguaje los ofrezca (checked_add en Rust, -ftrapv en C).

Ejemplo trabajado

Wraparound en int8 simulado sobre Python.

máximo int8            127
127 + 1  →  wraparound  −128       (no 128)
127 + 2  →  wraparound  −127

En Python nativo:
127 + 1 = 128                       (int ilimitado)
sys.maxsize = 9223372036854775807   (tamaño del puntero, no un límite del int)

Lección: Python no desborda, C y NumPy sí.
El algoritmo es el mismo; el resultado, no.

Qué ejecuta el laboratorio

Wraparound en enteros de ancho fijo simulado sobre Python.

compmath run 026

Errores conceptuales frecuentes

1. Probar un algoritmo solo en Python y asumir que no desborda en otro lenguaje.
2. Confiar en que un valor «nunca será tan grande» sin validarlo en la frontera del sistema.
3. Confundir sys.maxsize con un límite del tipo int de Python: es el tamaño del puntero.

Dónde se usa

Contadores, marcas de tiempo, identificadores, acumuladores de métricas y cualquier dato que cruza la frontera entre Python y un sistema de ancho fijo. Es una categoría reconocida de vulnerabilidad de seguridad.

Bibliografía de la clase

• ESA. Ariane 5 Flight 501 Failure — Report by the Inquiry Board, 1996 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en esamultimedia.esa.int (2026-08-19).
• CWE-190: Integer Overflow or Wraparound — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en MITRE Corporation (2026-08-19).

027 · Punto fijo frente a punto flotante

Parte 01 · clase 7 de 20 · demostración fixed_vs_floating

El punto fijo reparte la precisión de forma uniforme; el flotante la reparte proporcionalmente a la magnitud.

punto fijo: valor = entero · 10⁻ᵏ (exacto en su rango)
punto flotante: valor = mantisa · 2^exponente (precisión relativa constante)

Fundamentos

Las dos representaciones responden a necesidades distintas. En punto fijo se guarda un entero y se acuerda dónde está la coma: el dinero se guarda en centavos, y todas las operaciones son aritmética entera exacta. El espaciado entre valores representables es constante —un centavo— en todo el rango.

En punto flotante se guarda una mantisa y un exponente, y el espaciado crece con la magnitud: cerca de 1 los floats están separados por unos 2⁻⁵², y cerca de 10⁶ por unos 2⁻³². Eso significa precisión relativa constante: siempre unos 16 dígitos significativos, independientemente de la escala. Es la elección correcta para magnitudes físicas que abarcan muchos órdenes de magnitud.

La consecuencia para dinero es directa y conocida: sumar 0.1 diez veces en float no da exactamente 1.0, porque 0.1 no es representable en binario. Sumar 10 veces el entero 10 (centavos) da exactamente 100. Por eso todo sistema contable serio trabaja en punto fijo o con Decimal.

El criterio para elegir: si los valores tienen una unidad mínima natural y las comparaciones exactas importan (dinero, contadores, índices), punto fijo. Si los valores abarcan varios órdenes de magnitud y lo que importa es la precisión relativa (física, estadística, gradientes), punto flotante.

Ejemplo trabajado

Sumar diez veces una décima por los dos caminos.

Punto flotante:
  0.0 + 0.1 repetido 10 veces = 0.9999999999999999
  ¿es exactamente 1.0?  No
  error = 1.11e−16

Punto fijo (centavos como enteros):
  0 + 10 repetido 10 veces = 100
  100 / 100 = 1.0
  exacto: sí, porque toda la aritmética fue entera

El error del flotante es minúsculo. El problema no es su tamaño: es que rompe la comparación total == 1.0, que es exactamente la que hace un sistema de facturación.

Qué ejecuta el laboratorio

Punto fijo (centavos enteros) frente a punto flotante.

compmath run 027

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar float para dinero y comparar totales con ==.
2. Suponer que el punto fijo es siempre mejor: pierde rango y no sirve para magnitudes físicas.
3. Redondear a dos decimales al final y creer que eso corrige el error acumulado.

Dónde se usa

Contabilidad, facturación e inventario en punto fijo; física, estadística y deep learning en punto flotante. La cuantización de modelos a int8 es una vuelta al punto fijo por razones de memoria.

Bibliografía de la clase

• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Python: módulo decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

028 · IEEE 754: estructura de un float

Parte 01 · clase 8 de 20 · demostración ieee754_layout

Un float64 es signo, exponente sesgado de 11 bits y mantisa de 52 bits con un 1 implícito.

valor = (−1)^s · (1 + m/2⁵²) · 2^(e − 1023)
float64: 1 bit de signo + 11 de exponente + 52 de mantisa = 64

Fundamentos

El estándar IEEE 754, publicado en 1985 y revisado en 2019, unificó lo que antes era un caos de formatos incompatibles entre fabricantes. Su diseño responde a una idea: guardar un número en notación científica binaria, con la mantisa normalizada al intervalo [1, 2) para que el primer bit sea siempre 1 y no haga falta almacenarlo. Ese «bit implícito» regala un bit de precisión gratis.

Los tres campos tienen papeles distintos. El signo es un bit. El exponente se guarda sesgado (sumándole 1023 en float64) para poder representar exponentes negativos sin necesitar un signo propio; con 11 bits cubre de 2⁻¹⁰²² a 2¹⁰²³, es decir de 10⁻³⁰⁸ a 10³⁰⁸ aproximadamente. La mantisa de 52 bits (más el implícito, 53 efectivos) determina la precisión: log₁₀(2⁵³) ≈ 15.95 dígitos decimales.

Los valores extremos del exponente están reservados: todo ceros indica cero o subnormal, todo unos indica infinito o NaN. Por eso existen +inf, -inf y NaN como valores de primera clase en lugar de como errores, lo que permite que un cálculo continúe y el problema se detecte al final.

Reconstruir un float a mano desde sus bits, como hace el laboratorio, deja claro que no hay nada mágico: es notación científica en base 2 con un formato de empaquetado acordado. Y explica de inmediato por qué la precisión es relativa: los 53 bits de mantisa siempre representan los mismos dígitos significativos, sea cual sea el exponente.

Ejemplo trabajado

Descomponer −6.25 en float64.

−6.25 en binario = −110.01₂ = −1.1001₂ × 2²

signo    s = 1                        (negativo)
exponente e = 2 + 1023 = 1025 = 10000000001₂
mantisa   m = 1001000...0   (el 1 inicial es implícito)

Reconstrucción:
  (−1)¹ · (1 + m/2⁵²) · 2^(1025−1023)
= −1 · 1.5625 · 4
= −6.25   ✓

Precisión: 53 bits ⇒ log₁₀(2⁵³) ≈ 15.95 dígitos decimales
Rango:     exponente de −1022 a 1023 ⇒ ~1e−308 a ~1e308

Qué ejecuta el laboratorio

Signo, exponente y mantisa de un float64.

compmath run 028

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir precisión (mantisa, ~16 dígitos) con rango (exponente, ~1e±308).
2. Olvidar el sesgo del exponente al leer los bits.
3. Suponer que más bits de exponente dan más precisión: dan más rango.

Dónde se usa

Es el formato de casi todo cálculo científico. Entenderlo explica float32 (24 bits de mantisa), bfloat16 (8 bits de mantisa pero el mismo rango que float32, por eso se usa en entrenamiento) y float16 (10 bits, rango reducido).

Bibliografía de la clase

• IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).
• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Kahan, W. Lecture Notes on the Status of IEEE 754, UC Berkeley, 1997 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en people.eecs.berkeley.edu (2026-08-19).

029 · Por qué 0.1 + 0.2 no es exactamente 0.3

Parte 01 · clase 9 de 20 · demostración why_point_one

0.1 no es representable en binario, igual que 1/3 no lo es en decimal; la desigualdad no es un fallo sino una consecuencia.

0.1₁₀ = 0.0001100110011...₂  (periódico infinito)
comparación correcta: math.isclose(a, b, rel_tol=...)

Fundamentos

La clase 004 estableció que una fracción tiene desarrollo finito solo si su denominador reducido se factoriza en los primos de la base. En base 10 los primos son 2 y 5, y por eso 1/10 es finito. En base 2 el único primo es 2, así que 1/10 —cuyo denominador contiene un 5— tiene desarrollo binario periódico infinito.

Como la mantisa tiene 53 bits, ese desarrollo se trunca. El float más cercano a 0.1 es en realidad 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625. Sumar dos aproximaciones y compararlas con la aproximación de 0.3 no tiene por qué dar igualdad, y de hecho no la da: la diferencia es de unos 5.5·10⁻¹⁷.

La conclusión correcta no es «los floats están rotos». Es que el operador == no es la comparación adecuada para resultados de cálculo en punto flotante. La comparación correcta declara una tolerancia: math.isclose(a, b, rel_tol=1e-12) pregunta si los dos números coinciden dentro de una precisión relativa declarada, que es la pregunta que realmente se quiere responder.

Hay una excepción importante: comparar con == sí es correcto cuando los valores son exactamente representables y no han pasado por operaciones inexactas —enteros pequeños, potencias de 2, resultados de asignaciones directas—. La regla práctica es preguntarse si el valor viene de un cálculo; si viene, hace falta tolerancia.

Ejemplo trabajado

La desigualdad y su explicación.

0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004
0.3       = 0.29999999999999998889776975374843...
¿iguales con ==?           No
diferencia                 5.55e−17

0.1 con 50 decimales:
  0.10000000000000000555111512312578270211815834045410

Comparación correcta:
  math.isclose(0.1 + 0.2, 0.3, rel_tol=1e-12)  →  True

El error es de 5.5·10⁻¹⁷ sobre 0.3: precisión relativa de 1.8·10⁻¹⁶, exactamente el epsilon de máquina. El resultado es tan bueno como el formato permite.

Qué ejecuta el laboratorio

0.1 + 0.2 != 0.3 explicado con la fracción binaria real.

compmath run 029

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar resultados de cálculo con == en lugar de con una tolerancia declarada.
2. Concluir que los floats son poco fiables en lugar de que la comparación era incorrecta.
3. Usar una tolerancia absoluta fija sin considerar la escala de los valores.

Dónde se usa

Cualquier test numérico, criterio de convergencia o comparación de resultados. Los asserts de todo el programa usan tolerancia declarada precisamente por esto.

Bibliografía de la clase

• Python: math.isclose y PEP 485 — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).
• 0.30000000000000004.com — el mismo fenómeno en 40 lenguajes — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en 0.30000000000000004.com (2026-08-19).

030 · Error absoluto y error relativo

Parte 01 · clase 10 de 20 · demostración absolute_relative_error

El error relativo es la magnitud que se propaga; el absoluto solo tiene sentido con la escala declarada.

error absoluto = |aprox − exacto|
error relativo = |aprox − exacto| / |exacto|
dígitos significativos correctos ≈ −log₁₀(error relativo)

Fundamentos

Un error absoluto sin escala es una cifra sin significado. Diez unidades de error son catastróficas si el valor exacto es 1 e irrelevantes si es un millón. El error relativo normaliza esa comparación y por eso es la magnitud que se usa para hablar de precisión.

La relación con los dígitos significativos es directa y muy útil: un error relativo de 10⁻⁶ significa aproximadamente 6 dígitos correctos. Como el epsilon de máquina de float64 es ≈2.2·10⁻¹⁶, ningún cálculo en doble precisión puede prometer más de unos 16 dígitos, y prometer más es exagerar la certeza.

Los dos errores se comportan de forma distinta al operar. Al multiplicar o dividir, los errores relativos se suman aproximadamente. Al sumar o restar, los errores absolutos se suman. Esa asimetría explica por qué la resta de números parecidos es peligrosa —el error absoluto se mantiene pero el resultado se hace pequeño, así que el relativo explota— y es el contenido de la clase 032.

La consecuencia práctica: al reportar un resultado numérico hay que decir cuál de los dos errores se está acotando y con respecto a qué. Un criterio de parada basado solo en el error absoluto falla si la escala del problema es muy grande o muy pequeña (clase 233).

Ejemplo trabajado

Dos aproximaciones con errores absolutos muy distintos.

Caso A:  exacto = 1.0            aprox = 1.01
         error absoluto = 0.01
         error relativo = 0.01   → 1 %      ~2 dígitos correctos

Caso B:  exacto = 1 000 000.0    aprox = 1 000 010.0
         error absoluto = 10.0   (1000× mayor que en A)
         error relativo = 1e−5   → 0.001 %  ~5 dígitos correctos

Conclusión: B es 1000 veces más preciso pese a tener
            un error absoluto 1000 veces mayor.

Qué ejecuta el laboratorio

El error relativo es el que se propaga; el absoluto engaña con la escala.

compmath run 030

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar errores absolutos entre magnitudes de escalas distintas.
2. Reportar más dígitos significativos de los que el error relativo justifica.
3. Usar solo tolerancia absoluta como criterio de parada de un método iterativo.

Dónde se usa

Criterios de parada (parte 11), tolerancias de test, informes de precisión y comparación de implementaciones. La clase 040 construye un auditor basado en esta métrica.

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002, cap. 1 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Python: math.isclose — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

031 · ULP y machine epsilon

Parte 01 · clase 11 de 20 · demostración ulp_epsilon

El epsilon de máquina mide la precisión relativa; el ULP mide la distancia absoluta entre floats vecinos.

ε = 2⁻⁵² ≈ 2.22e−16  (float64)
ulp(x) ≈ ε · 2^⌊log₂|x|⌋

Fundamentos

El epsilon de máquina se define como el menor ε tal que 1 + ε ≠ 1 en la aritmética del formato. En float64 vale exactamente 2⁻⁵², porque la mantisa tiene 52 bits almacenados: sumar algo menor que el último bit de la mantisa no cambia el número. El laboratorio comprueba justamente eso: 1.0 + ε difiere de 1.0, pero 1.0 + ε/2 no.

El ULP —unit in the last place— es el concepto relacionado pero distinto: la distancia entre un float concreto y su vecino inmediato. No es constante: cerca de 1 vale unos 2.2·10⁻¹⁶, cerca de 10⁶ vale unos 1.2·10⁻¹⁰, y cerca de 10⁻⁶ vale unos 2.1·10⁻²². Los floats no están repartidos uniformemente en la recta: se concentran cerca del cero y se espacian al alejarse.

Esta no uniformidad explica un fenómeno cotidiano: sumar un número muy pequeño a uno muy grande no cambia nada. 1e16 + 1.0 devuelve 1e16 porque 1.0 es menor que el ULP en esa escala. No es un redondeo agresivo: es que el resultado exacto no tiene representación y el más cercano es el propio 1e16.

Medir un error en ULP en lugar de en unidades absolutas es la forma correcta de evaluar la calidad de una función numérica. Una implementación de sin «correctamente redondeada» tiene un error menor a 0.5 ULP; una aceptable, menor a 1 ULP. Esa es la unidad en la que las bibliotecas matemáticas declaran su precisión.

Ejemplo trabajado

Epsilon, ULP y el límite de la suma.

ε = sys.float_info.epsilon = 2.220446049250313e−16 = 2⁻⁵²

1.0 + ε      ≠ 1.0        ✓ (por definición de ε)
1.0 + ε/2    == 1.0       ✓ (por debajo del último bit)

ULP según la magnitud:
  ulp(1.0)   = 2.22e−16
  ulp(1e6)   = 1.16e−10       500 000 veces mayor
  ulp(1e−6)  = 2.12e−22

Siguiente float tras 1.0: 1.0000000000000002

Los floats no son un retículo uniforme: son casi logarítmicos.

Qué ejecuta el laboratorio

Machine epsilon y la distancia al float siguiente.

compmath run 031

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir el epsilon de máquina con el menor float positivo (5e−324).
2. Suponer que el ULP es constante en toda la recta real.
3. Usar una tolerancia absoluta de 1e−16 para valores de magnitud 1e6, donde el ULP ya es 1e−10.

Dónde se usa

Elegir tolerancias, evaluar la calidad de una biblioteca matemática y entender por qué un acumulador pierde términos pequeños. Es el prerrequisito de las clases 032 y 034.

Bibliografía de la clase

• Muller, J.-M. et al. Handbook of Floating-Point Arithmetic, 2ª ed., Birkhäuser, 2018 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9783319765266 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Python: math.ulp y math.nextafter — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

032 · Cancelación catastrófica

Parte 01 · clase 12 de 20 · demostración catastrophic_cancellation

Restar dos números casi iguales destruye dígitos significativos sin producir ningún error visible.

forma ingenua:  √(x²+1) − x
forma estable:  1 / (√(x²+1) + x)

Fundamentos

La cancelación catastrófica es el fenómeno más peligroso de la aritmética de punto flotante porque no produce ninguna señal. Al restar dos números que coinciden en sus primeros k dígitos, esos dígitos se anulan y el resultado queda formado por los dígitos de menor peso, que son precisamente los contaminados por el redondeo previo. El error absoluto se mantiene; el resultado se hace pequeño; el error relativo explota.

El caso canónico es √(x²+1) − x para x grande. Con x = 10⁸, ambos términos valen aproximadamente 10⁸ y coinciden en unos 16 dígitos, que son todos los que hay. El resultado de la resta es esencialmente ruido. La forma algebraicamente equivalente 1/(√(x²+1) + x) —obtenida multiplicando y dividiendo por el conjugado— no tiene resta y da el resultado correcto.

El patrón se repite en toda la matemática computacional: exp(x) − 1 para x pequeño (por eso existe expm1), log(1 + x) para x pequeño (log1p), la fórmula cuadrática cuando b² ≫ 4ac (clase 036), y la varianza calculada como E[X²] − E[X]² en lugar de con la fórmula de dos pasos.

La regla práctica es reconocible: cada vez que una fórmula reste dos cantidades que pueden ser casi iguales, hay que buscar una forma alternativa. Casi siempre existe, y obtenerla es álgebra elemental —racionalizar, factorizar, usar una identidad—, no análisis numérico avanzado.

Ejemplo trabajado

La misma expresión por dos caminos con x = 10⁸.

Ingenua:  √(10¹⁶ + 1) − 10⁸
          = 100000000.00000001 − 100000000
          = 7.45e−09          ← casi todo ruido

Estable:  1 / (√(10¹⁶+1) + 10⁸)
          = 1 / 200000000.00000001
          = 5.0e−09           ← correcto

Diferencia relativa entre ambas: ~49 %
Dígitos significativos de la ingenua: ~0

Las dos expresiones son idénticas en ℝ. En float64 una es útil y la otra no.

Qué ejecuta el laboratorio

Dos fórmulas algebraicamente iguales con precisión muy distinta.

compmath run 032

Errores conceptuales frecuentes

1. Trasladar una fórmula del papel al código sin comprobar si contiene una resta peligrosa.
2. Interpretar el resultado incorrecto como un problema del lenguaje o de la biblioteca.
3. Aumentar la precisión (float128) en lugar de reformular: retrasa el problema, no lo resuelve.

Dónde se usa

Fórmula cuadrática, cálculo de varianza, diferencias finitas, funciones especiales y cualquier resta de magnitudes cercanas. expm1 y log1p existen exactamente por esto.

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Python: math.expm1 y math.log1p — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

033 · Overflow y underflow flotante

Parte 01 · clase 13 de 20 · demostración float_overflow_underflow

Los subnormales extienden el rango hacia el cero a costa de precisión; el overflow produce infinito y no error.

float64: max ≈ 1.797e308,  min normal ≈ 2.225e−308,  min subnormal = 5e−324
inf − inf = NaN,  0/0 = NaN,  NaN != NaN

Fundamentos

El rango de float64 tiene tres zonas. Los normales van de 2.2·10⁻³⁰⁸ a 1.8·10³⁰⁸ con la precisión completa de 53 bits. Por debajo del mínimo normal están los subnormales, que renuncian al bit implícito para poder acercarse más al cero: llegan hasta 5·10⁻³²⁴ pero con precisión progresivamente menor. Por encima del máximo está el infinito.

Los subnormales existen para que la resta de dos números cercanos nunca dé cero cuando los números son distintos, propiedad conocida como gradual underflow. Sin ellos, a − b == 0 podría ser cierto con a != b, lo que rompe algoritmos que dividen por esa diferencia. La contrapartida es de rendimiento: en muchas CPU las operaciones con subnormales son órdenes de magnitud más lentas, y por eso los frameworks de deep learning ofrecen el modo flush-to-zero.

El desbordamiento no lanza excepción: produce inf, y el cálculo continúa. Esto es deliberado —permite terminar una operación vectorizada y detectar el problema al final— pero exige comprobar los resultados. El NaN aparece en las operaciones indeterminadas (inf − inf, 0/0, √(−1)) y tiene una propiedad que sorprende: no es igual a sí mismo. nan == nan es False, y por eso hay que usar math.isnan.

En entrenamiento de redes, la secuencia típica es: un gradiente crece, produce inf, el inf participa en una resta y produce NaN, y el NaN contamina todos los pesos en una sola actualización. Detectarlo exige comprobar explícitamente; el programa no avisa.

Ejemplo trabajado

Los tres límites y la propiedad del NaN.

max float64        1.7976931348623157e+308
max × 2            inf                      ← sin excepción

min normal         2.2250738585072014e−308
min subnormal      5e−324
min subnormal / 2  0.0                      ← underflow a cero

inf − inf          nan
nan == nan         False                    ← usar math.isnan

Un inf en un cálculo no detiene nada. Se propaga en silencio hasta que alguien comprueba.

Qué ejecuta el laboratorio

Límites del float64 y el paso por subnormales.

compmath run 033

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar con == para detectar NaN en lugar de usar math.isnan.
2. Suponer que el desbordamiento lanza una excepción.
3. Ignorar el coste de rendimiento de los subnormales en bucles numéricos intensivos.

Dónde se usa

Depuración de entrenamientos que producen NaN, control de estabilidad en softmax y logaritmos, y validación de pipelines numéricos. La estabilización de softmax (clase 321) existe para evitar exactamente este overflow.

Bibliografía de la clase

• IEEE 754-2019 Standard for Floating-Point Arithmetic — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).
• Python: sys.float_info — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

034 · Propagación de errores

Parte 01 · clase 14 de 20 · demostración error_propagation

Los errores de redondeo se acumulan al sumar muchos términos; la suma compensada los recupera.

error de la suma ingenua: O(n·ε)
error de la suma compensada (Kahan): O(ε)

Fundamentos

Cada operación en punto flotante introduce un error de a lo sumo medio ULP. Al sumar n términos, esos errores se acumulan, y en el peor caso el error total crece proporcionalmente a n·ε. Con un millón de sumandos y ε ≈ 2·10⁻¹⁶, el error relativo puede llegar a 2·10⁻¹⁰: se han perdido seis dígitos por el simple hecho de sumar muchas veces.

La suma compensada de Kahan (1965) resuelve el problema arrastrando explícitamente el error de cada paso: guarda en una variable auxiliar lo que se perdió al redondear y lo reinyecta en la siguiente suma. El coste es cuatro operaciones en lugar de una, y el error pasa a ser independiente de n. Python ofrece math.fsum, que usa un algoritmo aún más preciso y devuelve la suma correctamente redondeada.

El orden de la suma también importa. Sumar de menor a mayor magnitud reduce el error, porque evita que los términos pequeños caigan por debajo del ULP del acumulado. Es el motivo por el que algunas bibliotecas ordenan antes de sumar en cálculos críticos.

En deep learning esto aparece al acumular la pérdida sobre un lote grande o al reducir gradientes entre dispositivos. Los frameworks acumulan en float32 aunque el cálculo sea en float16 precisamente para que el acumulador tenga más precisión que los sumandos.

Ejemplo trabajado

Acumular un millón de veces 0.1.

Suma ingenua de 1e6 términos de 0.1:
  resultado    99999.99999808663
  exacto       100000.0
  error abs    1.91e−03
  error rel    1.91e−08         ← se perdieron ~8 dígitos

math.fsum([0.1]*1000) − 100.0 = 0.0
  (correctamente redondeada)

Coste: fsum es más lento, pero el error no crece con n.

Qué ejecuta el laboratorio

Cómo crece el error al sumar 10^6 veces un valor no representable.

compmath run 034

Errores conceptuales frecuentes

1. Acumular millones de términos con += y no medir el error resultante.
2. Acumular en la misma precisión que los sumandos cuando esta es baja (float16).
3. Suponer que el error de redondeo se cancela estadísticamente: en general se acumula.

Dónde se usa

Sumas de grandes conjuntos de datos, integración numérica, acumulación de pérdida y reducción de gradientes. math.fsum, numpy.sum con dtype ampliado y la acumulación en float32 responden a este problema.

Bibliografía de la clase

• Kahan, W. Further remarks on reducing truncation errors. CACM, 1965 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · DOI 10.1145/363707.363723 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Python: math.fsum — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

035 · Condicionamiento de problemas

Parte 01 · clase 15 de 20 · demostración conditioning

El número de condición mide cuánto amplifica el problema el error de la entrada, con independencia del algoritmo.

κ(f, x) = |x·f′(x) / f(x)|
error relativo de salida ≈ κ · error relativo de entrada

Fundamentos

El condicionamiento es una propiedad del problema, no de cómo se resuelva. Formaliza la pregunta: si perturbo la entrada un 0.001 %, ¿cuánto cambia la salida? El número de condición es el factor de amplificación. Si vale 1, el problema conserva la precisión; si vale 10⁸, un error de entrada en el dígito 16 se convierte en un error en el dígito 8 de la salida.

Para una función de una variable, κ = |x·f′(x)/f(x)|. La fórmula dice algo intuitivo: el problema está mal condicionado donde la función es muy sensible en relación a su propio valor, típicamente cerca de sus ceros. f(x) = 1 − x cerca de x = 1 tiene condición enorme: es la versión analítica de la cancelación catastrófica.

La consecuencia práctica es dura y conviene aceptarla pronto: ningún algoritmo puede resolver con precisión un problema mal condicionado. Si la entrada tiene 16 dígitos y la condición es 10⁸, la salida tiene como mucho 8 dígitos correctos, use uno el método que use. Buscar un algoritmo mejor es buscar en el sitio equivocado; hay que reformular el problema.

En álgebra lineal el mismo concepto aparece como el número de condición de una matriz —cociente entre el mayor y el menor valor singular (clase 132)—, y en machine learning como la razón entre el mayor y el menor autovalor del Hessiano, que determina lo lento que converge el descenso de gradiente (clase 244).

Ejemplo trabajado

Condición de f(x) = 1 − x en tres puntos.

κ(x) = |x · f′(x) / f(x)| = |x / (1 − x)|

x = 0.5     f(x) = 0.5        κ = 1.0        bien condicionado
x = 0.99    f(x) = 0.01       κ = 99         empieza a amplificar
x = 1e−8    f(x) ≈ 1.0        κ = 1e−8       muy bien condicionado

x = 0.9999  f(x) = 1e−4       κ = 9999
  un error de entrada de 1e−16 → error de salida de 1e−12

La condición no depende de cómo se calcule 1 − x: depende del problema.

Qué ejecuta el laboratorio

Número de condición de una función: sensibilidad del problema.

compmath run 035

Errores conceptuales frecuentes

1. Buscar un algoritmo mejor para un problema mal condicionado.
2. Confundir condicionamiento (del problema) con estabilidad (del algoritmo).
3. Evaluar la condición en un punto y extrapolarla a todo el dominio.

Dónde se usa

Diagnóstico de sistemas lineales (parte 05), regularización (ridge mejora el condicionamiento, clase 283) y análisis de convergencia de optimizadores. Es la pregunta previa a elegir método.

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Trefethen & Bau. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, lecc. 12 — Álgebra lineal y Álgebra lineal numérica: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

036 · Estabilidad de algoritmos

Parte 01 · clase 16 de 20 · demostración stability

Un algoritmo es estable si no amplifica el error más allá de lo que el condicionamiento del problema exige.

raíz pequeña ingenua:  (−b + √(b²−4ac)) / 2a
raíz pequeña estable:  2c / (−b − √(b²−4ac))
invariante: r₁·r₂ = c/a

Fundamentos

Estabilidad y condicionamiento son propiedades distintas que se confunden constantemente. El condicionamiento dice cuánta precisión permite el problema; la estabilidad dice cuánta precisión conserva el algoritmo. Un algoritmo estable aplicado a un problema mal condicionado dará un resultado impreciso, y eso no es culpa del algoritmo. Un algoritmo inestable aplicado a un problema bien condicionado dará un resultado impreciso, y eso sí lo es.

La fórmula cuadrática es el ejemplo canónico. Cuando b² ≫ 4ac, la raíz cuadrada del discriminante es casi igual a |b|, así que una de las dos raíces se obtiene restando dos números casi iguales: cancelación catastrófica. El problema —encontrar las raíces— está perfectamente bien condicionado; el algoritmo estándar es inestable para una de ellas.

La solución usa una identidad elemental: el producto de las raíces es c/a. Calculada la raíz grande de forma estable (la que no sufre cancelación), la pequeña se obtiene dividiendo. El invariante que se usa para calcularla sirve además como verificación: si r₁·r₂ no da c/a, hay un error.

Este patrón —usar un invariante conocido tanto para calcular como para verificar— es uno de los hábitos más transferibles del programa. Aparece en la ortogonalidad de QR (clase 130), en la conservación de la masa de un plan de transporte (clase 346) y en la suma de probabilidades de una softmax (clase 321).

Ejemplo trabajado

Raíces de x² + 10⁸x + 1 = 0.

a = 1,  b = 1e8,  c = 1
√(b² − 4ac) = 99999999.99999999

Raíz grande (estable en ambos métodos):
  r₂ = (−b − √Δ)/2a = −1e8

Raíz pequeña:
  ingenua:  (−b + √Δ)/2a = −7.45e−09    ← cancelación
  estable:  2c/(−b − √Δ) = −1.0e−08     ← correcta

Verificación con el invariante r₁·r₂ = c/a = 1:
  ingenua:  −7.45e−09 × −1e8 = 0.745    ✗
  estable:  −1.0e−08  × −1e8 = 1.0      ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Misma raíz cuadrática por dos algoritmos: uno estable, otro no.

compmath run 036

Errores conceptuales frecuentes

1. Culpar al condicionamiento del problema cuando el inestable es el algoritmo.
2. Aceptar un resultado numérico sin comprobar ningún invariante.
3. Usar la fórmula cuadrática estándar sin considerar el caso b² ≫ 4ac.

Dónde se usa

Selección de algoritmos numéricos, implementación de fórmulas cerradas y verificación de resultados. Es la razón por la que se prefiere QR frente a las ecuaciones normales en mínimos cuadrados (clase 234).

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Forsythe, G. E. Pitfalls in Computation, or Why a Math Book Isn't Enough, 1970 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.jstor.org (2026-08-19).

037 · Precisión arbitraria y Decimal

Parte 01 · clase 17 de 20 · demostración arbitrary_precision

Decimal ofrece precisión decimal declarada y exacta a cambio de velocidad.

Decimal('0.1') · 3 == Decimal('0.3')  → True
0.1 * 3 == 0.3  → False

Fundamentos

El módulo decimal implementa aritmética de punto flotante en base 10 con precisión configurable. Su ventaja no es tener más dígitos: es que las fracciones decimales que escribimos —0.1, 0.05, 19.99— son exactamente representables, porque la base coincide con la de nuestra notación.

Eso resuelve de raíz el problema del dinero. Decimal('0.1') 3 da exactamente Decimal('0.3'), mientras que 0.1 3 en float da 0.30000000000000004. Además, Decimal permite declarar la precisión (getcontext().prec) y el modo de redondeo, de modo que el comportamiento queda documentado en el código en lugar de depender del hardware.

El coste es real: Decimal es entre 50 y 100 veces más lento que float porque no se apoya en la FPU. Para un cálculo científico con millones de operaciones es inaceptable; para calcular el total de una factura es irrelevante.

Un detalle que atrapa a muchos: Decimal(0.1) —con un float como argumento— hereda el error del float y da 0.1000000000000000055511151231257827. Hay que construirlo desde cadena: Decimal('0.1'). La firma acepta ambos precisamente para poder inspeccionar qué guarda realmente un float, que es lo que hace el laboratorio de la clase 029.

Ejemplo trabajado

Exactitud decimal frente a binaria.

getcontext().prec = 50

Decimal(1)/Decimal(3) =
  0.33333333333333333333333333333333333333333333333333   (50 dígitos)
1/3 (float) = 0.3333333333333333                          (16 dígitos)

Decimal('0.1') * 3 == Decimal('0.3')   →  True   ✓
0.1 * 3 == 0.3                          →  False  ✗

Trampa:
  Decimal(0.1)   → 0.1000000000000000055511151231257827...
  Decimal('0.1') → 0.1                                    ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Decimal con precisión declarada frente a float.

compmath run 037

Errores conceptuales frecuentes

1. Construir Decimal desde un float en lugar de desde una cadena.
2. Usar Decimal en bucles numéricos intensivos donde el coste es prohibitivo.
3. Suponer que Decimal elimina todos los errores: sigue siendo precisión finita, solo que en base 10.

Dónde se usa

Contabilidad, facturación, impuestos, cálculo de intereses y cualquier dominio con reglas de redondeo normativas. Es el estándar en sistemas financieros.

Bibliografía de la clase

• Python: módulo decimal — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• IEEE 754-2019: formatos decimales — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en IEEE Standards Association (2026-08-19).

038 · Racional exacto y Fraction

Parte 01 · clase 18 de 20 · demostración exact_rationals

Fraction guarda dos enteros y da aritmética racional exacta, útil como patrón de referencia.

Fraction(1,3) + Fraction(1,6) == Fraction(1,2)  → exacto
H_n = Σ 1/k  (número armónico)

Fundamentos

Fraction representa un racional como un par de enteros de precisión arbitraria en forma reducida. Toda operación —suma, producto, comparación— es exacta, sin excepciones y sin necesidad de declarar precisión. Es la aritmética más fiel que ofrece la biblioteca estándar.

Su papel en este programa no es sustituir al float en cálculo real: es servir de patrón de referencia. Para medir cuánto error comete un cálculo en punto flotante hace falta conocer el valor exacto, y Fraction lo proporciona en cualquier expresión que solo use operaciones racionales. El laboratorio calcula el número armónico H₁₀ por ambos caminos y compara.

El coste es de crecimiento: los denominadores se multiplican y crecen muy rápido. H₁₀ ya tiene denominador 2520, y H₁₀₀ tiene cientos de dígitos. Para cálculos largos, la aritmética exacta deja de ser viable no por lentitud de cada operación sino por el tamaño de los números.

Una utilidad práctica: Fraction(0.1) muestra el racional exacto que guarda un float, y Fraction(x).limit_denominator(n) encuentra la mejor aproximación racional con denominador acotado. Esto último es la base de la aproximación por fracciones continuas y explica por qué 22/7 y 355/113 son buenas aproximaciones de π.

Ejemplo trabajado

Número armónico H₁₀ exacto frente a flotante.

H₁₀ = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10

Exacto (Fraction):  7381/2520
Como float:         2.9289682539682538
Suma en float:      2.9289682539682538
Diferencia:         0.0  (en este caso coinciden)

Denominador: 2520 = mcm(1..10)

Fraction(0.1) == Fraction(1, 10)  →  False
  porque el float 0.1 no es exactamente 1/10

Que coincidan con diez términos no significa que coincidan con un millón: el error crece con n (clase 034).

Qué ejecuta el laboratorio

Fraction mantiene exactitud donde float ya perdió información.

compmath run 038

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar Fraction en cálculos largos sin considerar el crecimiento del denominador.
2. Suponer que Fraction(0.1) es 1/10: hereda el valor real del float.
3. Confundir aritmética exacta con precisión infinita en el resultado final convertido a float.

Dónde se usa

Verificación de implementaciones numéricas, cálculo simbólico ligero, probabilidades exactas en combinatoria y generación de casos de prueba con valor esperado conocido.

Bibliografía de la clase

• Python: módulo fractions — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Hardy & Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6ª ed., 2008 — Teoría de números: el tema de esta clase · ISBN-13 9780199219865 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

039 · Reproducibilidad numérica entre plataformas

Parte 01 · clase 19 de 20 · demostración reproducibility

La suma en punto flotante no es asociativa; reproducir un resultado exige fijar el orden de las operaciones.

(a + b) + c ≠ a + (b + c)  en float64
la suma es conmutativa pero no asociativa

Fundamentos

En los reales, la suma es asociativa: agrupar de una forma u otra da el mismo resultado. En punto flotante no lo es, porque cada suma parcial se redondea y el redondeo depende de las magnitudes involucradas. El ejemplo clásico usa 1e16, 1.0 y −1e16: sumando de izquierda a derecha, el 1.0 se pierde por estar bajo el ULP de 1e16; sumando en otro orden, sobrevive.

Esto tiene una consecuencia incómoda para la reproducibilidad: fijar la semilla aleatoria no basta. Dos ejecuciones del mismo código pueden dar resultados distintos si el orden de las sumas cambia, y el orden cambia con el número de hilos, la arquitectura de la GPU, la versión de la biblioteca BLAS o incluso la disponibilidad de instrucciones vectoriales.

Por eso los frameworks de deep learning ofrecen modos deterministas explícitos (torch.use_deterministic_algorithms(True)), que fuerzan implementaciones con orden fijo a costa de rendimiento. Sin ese modo, el mismo entrenamiento con la misma semilla puede divergir tras unos miles de pasos —no porque haya aleatoriedad extra, sino porque las diferencias de redondeo se amplifican.

El programa adopta la consecuencia como norma: todas las demostraciones son deterministas en un solo hilo y con orden de operaciones fijo, y un test comprueba que dos ejecuciones devuelven exactamente el mismo diccionario. Esa comprobación sería imposible de garantizar en cálculo paralelo sin medidas adicionales.

Ejemplo trabajado

El mismo conjunto de sumandos en dos órdenes.

valores = [1e16, 1.0, −1e16, 1.0]

De izquierda a derecha:
  1e16 + 1.0    = 1e16        ← el 1.0 cae bajo el ULP
  1e16 − 1e16   = 0.0
  0.0 + 1.0     = 1.0         resultado: 1.0

De derecha a izquierda:
  1.0 − 1e16    = −1e16
  −1e16 + 1.0   = −1e16
  −1e16 + 1e16  = 0.0         resultado: 0.0

math.fsum(valores) = 2.0      ← el valor exacto

¿Asociativa en ℝ?      Sí
¿Asociativa en float64? No

Qué ejecuta el laboratorio

El orden de la suma cambia el resultado en punto flotante.

compmath run 039

Errores conceptuales frecuentes

1. Creer que fijar la semilla garantiza reproducibilidad numérica.
2. Comparar resultados entre CPU y GPU esperando igualdad bit a bit.
3. Paralelizar una reducción sin declarar que el resultado deja de ser determinista.

Dónde se usa

Reproducibilidad de experimentos, comparación de implementaciones, depuración de divergencias entre entornos y publicación de resultados verificables. Es la razón por la que los papers serios publican semilla, versión y hardware.

Bibliografía de la clase

• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).
• PyTorch: reproducibilidad — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en PyTorch Foundation (2026-08-19).

040 · Capstone: auditor de precisión numérica

Parte 01 · clase 20 de 20 · demostración capstone_precision_auditor

Auditar una expresión es medir cuántos dígitos significativos pierde cada forma de escribirla.

dígitos perdidos ≈ −log₁₀(|ingenua − estable| / |estable|)
formas estables: expm1, log1p, conjugado

Fundamentos

El capstone convierte en herramienta todo lo anterior. Un auditor de precisión toma una expresión, la evalúa por su forma directa y por una forma algebraicamente equivalente pero numéricamente estable, y reporta cuántos dígitos significativos separa a ambas. Ese número es la medida honesta de cuánta confianza merece la primera forma.

Las tres expresiones auditadas son las que más aparecen en la práctica. exp(x) − 1 para x pequeño pierde precisión porque exp(x) se acerca a 1 y la resta cancela; expm1 la calcula directamente. log(1 + x) sufre lo mismo cuando 1 + x redondea a 1; log1p lo evita. Y √(x²+1) − x es el caso de la clase 032.

Que estas funciones existan en la biblioteca estándar de todos los lenguajes serios no es casualidad: son la respuesta institucionalizada a problemas de cancelación conocidos desde los años sesenta. Reconocer cuándo usarlas es parte del oficio.

La regla que cierra la parte: toda diferencia de magnitudes cercanas necesita una forma alternativa, y toda implementación numérica publicada debería declarar cuántos dígitos garantiza. El programa aplica esa regla a sí mismo: cada demostración devuelve claves de verificación en lugar de pedir confianza.

Ejemplo trabajado

Auditoría de tres expresiones.

expresión         x        ingenua        estable       dígitos perdidos
exp(x)−1        1e−10   1.000000e−10   1.000000e−10          ~6
log(1+x)        1e−12   1.000089e−12   1.000000e−12          ~4
√(x²+1)−x       1e7     5.000000e−08   5.000000e−08          ~9

Regla operativa:
  si la expresión contiene una resta de cantidades que pueden
  acercarse, buscar la forma alternativa ANTES de implementarla.

Los números concretos dependen del valor de x: el auditor los mide, no los supone.

Qué ejecuta el laboratorio

Capstone: auditoría de precisión de una expresión numérica.

compmath run 040

Errores conceptuales frecuentes

1. Publicar un resultado numérico sin declarar cuántos dígitos son fiables.
2. Auditar solo con un valor de x: el número de dígitos perdidos depende del punto.
3. Sustituir la forma ingenua por la estable sin comprobar que son equivalentes en ℝ.

Dónde se usa

Revisión de código numérico, elección de biblioteca, validación de una reimplementación y documentación de precisión en una API científica.

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Aritmética de máquina y Métodos numéricos: el tema de esta clase · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Muller, J.-M. et al. Handbook of Floating-Point Arithmetic, 2ª ed., 2018 — Aritmética de máquina: el tema de esta clase · ISBN-13 9783319765266 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

041 · Expresiones algebraicas y términos

Parte 02 · clase 1 de 20 · demostración algebraic_terms

Solo se suman términos con la misma parte literal; simplificar reduce operaciones sin cambiar el valor.

3x²y + 5x²y = 8x²y
términos semejantes ⟺ misma parte literal con los mismos exponentes

Fundamentos

Una expresión algebraica es una receta de cálculo escrita con símbolos. Simplificarla no cambia lo que calcula: cambia cuántas operaciones necesita para calcularlo. Esa es la utilidad concreta de reducir términos semejantes, y es la misma idea que la clase 001 introdujo comparando la suma iterativa con la fórmula cerrada.

Dos términos son semejantes si tienen idéntica parte literal: mismas variables con los mismos exponentes. 3x²y y 5x²y lo son; 3x²y y 3xy² no, aunque usen las mismas letras. La razón es la propiedad distributiva: 3x²y + 5x²y = (3+5)x²y solo porque el factor común existe.

La verificación es inmediata y conviene hacerla siempre: evaluar la expresión original y la simplificada en un punto arbitrario y comprobar que coinciden. Si difieren, la simplificación introdujo un error. Un solo punto no demuestra equivalencia —eso lo recuerda la clase 019— pero detecta la mayoría de los errores de manipulación.

El hábito que instala esta clase es de lectura: antes de operar, identificar qué términos pueden combinarse. En expresiones grandes, agrupar por parte literal antes de sumar reduce errores más que cualquier técnica de cálculo.

Ejemplo trabajado

Reducir una expresión de cuatro términos a dos.

original:     3x²y − 2xy + 5x²y + 7xy
agrupar:      (3x²y + 5x²y) + (−2xy + 7xy)
simplificada: 8x²y + 5xy

Verificación con x = 2, y = 3:
  original:     3·4·3 − 2·2·3 + 5·4·3 + 7·2·3 = 36 − 12 + 60 + 42 = 126
  simplificada: 8·4·3 + 5·2·3 = 96 + 30 = 126     ✓

Operaciones: 4 términos → 2 términos

Qué ejecuta el laboratorio

Términos semejantes y evaluación de una expresión.

compmath run 041

Errores conceptuales frecuentes

1. Sumar términos con la misma variable pero distinto exponente: 3x² y 3x no son semejantes.
2. Perder un signo al reagrupar términos negativos.
3. Simplificar sin verificar numéricamente en al menos un punto.

Dónde se usa

Simplificar una expresión antes de implementarla reduce operaciones y errores de redondeo. Es la versión manual de lo que hace un compilador al optimizar y de lo que hacen los frameworks al fusionar operaciones en un grafo de cómputo.

Bibliografía de la clase

• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
• SymPy: simplificación simbólica — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en SymPy Development Team (2026-08-19).

042 · Propiedades distributiva, asociativa y conmutativa

Parte 02 · clase 2 de 20 · demostración algebra_properties

Conmutativa, asociativa y distributiva son válidas en ℝ, pero la asociatividad falla en punto flotante.

conmutativa: a + b = b + a,  ab = ba
asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)
distributiva: a(b+c) = ab + ac

Fundamentos

Las tres propiedades definen la estructura de cuerpo de los números reales, y de ellas se deduce todo el álgebra elemental. La distributiva es la más productiva: conecta la suma con el producto y es la que justifica factorizar, desarrollar y —como vio la clase 002— la regla de los signos.

Conviene notar qué no cumplen ciertas operaciones. La resta no es conmutativa ni asociativa. La división tampoco. La potenciación no es conmutativa (2³ ≠ 3²) ni asociativa (asocia por la derecha, clase 010). Y en la parte 05 aparecerá que el producto de matrices es asociativo pero no conmutativo, lo que cambia por completo cómo se manipulan las expresiones.

El hallazgo incómodo de esta clase es que la asociatividad de la suma falla en punto flotante. (1e16 + 1.0) − 1e16 da 0.0, mientras que 1e16 + (1.0 − 1e16) da 1.0. No es un bug: es la consecuencia directa de que cada suma parcial se redondea, tal como explicó la clase 039.

La conclusión práctica es que las identidades algebraicas son ciertas en ℝ y solo aproximadamente ciertas en float. Reordenar una expresión para simplificarla puede cambiar su resultado numérico, y en cálculo sensible ese reordenamiento debe hacerse con criterio, no automáticamente.

Ejemplo trabajado

Las tres propiedades y su límite en flotante.

a = 2.5,  b = −4.0,  c = 7.25

conmutativa suma      a + b == b + a          True
conmutativa producto  a·b == b·a              True
asociativa en ℝ       (a+b)+c == a+(b+c)      True
distributiva          a(b+c) == ab + ac       True (isclose)

resta no conmutativa  a − b == b − a          False

Asociatividad en float64:
  (1e16 + 1.0) − 1e16  =  0.0
  1e16 + (1.0 − 1e16)  =  1.0
  ¿iguales?  No

Qué ejecuta el laboratorio

Conmutativa, asociativa y distributiva: válidas en ℝ, no siempre en float.

compmath run 042

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que la resta o la división heredan la conmutatividad de la suma y el producto.
2. Reordenar sumas en código numérico sensible sin comprobar el efecto.
3. Aplicar la conmutatividad al producto de matrices (parte 05).

Dónde se usa

Justifica toda manipulación algebraica y explica por qué un compilador con optimizaciones agresivas de coma flotante (-ffast-math) puede cambiar resultados.

Bibliografía de la clase

• Goldberg, D. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM CSUR, 1991 — Aritmética de máquina: conexión declarada de esta parte · DOI 10.1145/103162.103163 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Artin, M. Algebra, 2ª ed., Pearson, 2011, cap. 1 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.pearson.com (2026-08-19).

043 · Ecuaciones lineales de una variable

Parte 02 · clase 3 de 20 · demostración linear_equation

Resolver una ecuación es aplicar operaciones reversibles hasta aislar la incógnita.

ax + b = c  ⟹  x = (c − b)/a,  a ≠ 0
residuo = ax + b − c = 0

Fundamentos

Cada paso de un despeje transforma la ecuación en otra equivalente: con el mismo conjunto solución. Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados siempre preserva la equivalencia. Multiplicar o dividir por una cantidad no nula, también. La condición «no nula» es la que hay que vigilar: dividir por una expresión que puede anularse pierde soluciones sin avisar.

Los casos degenerados no son curiosidades de examen. Si a = 0, la ecuación 0·x = 0 tiene infinitas soluciones y 0·x = 5 no tiene ninguna. En una implementación, ambos casos deben detectarse y reportarse; lanzar una división por cero es peor que devolver un diagnóstico. La clase 113 encontrará la versión matricial del mismo fenómeno.

Otras operaciones no son reversibles y hay que declararlo. Elevar al cuadrado ambos lados puede introducir soluciones falsas: de x = 2 se pasa a x² = 4, que además admite x = −2. Por eso, tras elevar al cuadrado, hay que comprobar cada solución candidata en la ecuación original.

La verificación cierra el proceso y es innegociable: sustituir y comprobar que el residuo es cero. Ese hábito —calcular el residuo en lugar de confiar en el procedimiento— es el mismo que se usará para sistemas lineales (clase 113), métodos iterativos (clase 233) y ajuste por mínimos cuadrados (clase 131).

Ejemplo trabajado

Resolver 7x − 3 = 25 con verificación y casos degenerados.

7x − 3 = 25
7x     = 28        (sumar 3, reversible)
 x     = 4         (dividir por 7 ≠ 0, reversible)

Verificación: 7·4 − 3 = 25    ✓
Residuo:      7·4 − 3 − 25 = 0 ✓

Casos degenerados (a = 0):
  0·x = 0  →  infinitas soluciones
  0·x = 5  →  ninguna solución

Qué ejecuta el laboratorio

Resolver ax + b = c y verificar el residuo.

compmath run 043

Errores conceptuales frecuentes

1. Dividir por una expresión con variable sin excluir el caso en que se anula.
2. Elevar al cuadrado y no comprobar las soluciones en la ecuación original.
3. No reportar el caso degenerado a = 0 en una implementación.

Dónde se usa

Todo despeje analítico, la condición de primer orden ∇f = 0 en optimización y la resolución de sistemas lineales. El residuo es el criterio de aceptación universal.

Bibliografía de la clase

• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

044 · Desigualdades lineales

Parte 02 · clase 4 de 20 · demostración linear_inequality

Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo invierte su sentido.

a < b  y  k > 0  ⟹  ka < kb
a < b  y  k < 0  ⟹  ka > kb

Fundamentos

Una desigualdad describe un conjunto, no un punto. La solución de −3x + 4 > 10 no es un número: es el intervalo (−∞, −2). Esa diferencia de naturaleza explica por qué el resultado se expresa como intervalo o como condición, y por qué conviene comprobarlo con un valor de prueba dentro y otro fuera.

La regla del signo tiene una justificación geométrica clara. Multiplicar por un negativo refleja la recta numérica respecto al origen, y una reflexión invierte el orden: lo que estaba a la izquierda queda a la derecha. Es la misma «media vuelta» que la clase 002 usó para explicar el producto de signos.

Al resolver, el hábito seguro es despejar sin dividir por negativos: pasar los términos de modo que el coeficiente de la incógnita quede positivo. Si no se puede evitar, hay que invertir el símbolo y marcarlo explícitamente, porque es el error más frecuente y el más silencioso: produce el intervalo complementario, que suele parecer razonable.

Las desigualdades son el lenguaje de las restricciones en optimización. La parte 12 escribe g(x) ≤ 0 para cada restricción, y las condiciones KKT (clase 257) tratan por separado las restricciones activas —donde se cumple la igualdad— de las inactivas.

Ejemplo trabajado

Resolver −3x + 4 > 10 y comprobar con dos valores.

−3x + 4 > 10
−3x     > 6          (restar 4)
  x     < −2         (dividir por −3: SE INVIERTE)

Frontera: x = −2

Prueba dentro  (x = −5):  −3(−5) + 4 = 19 > 10   ✓
Prueba fuera   (x =  0):  −3(0)  + 4 =  4 > 10   ✗

Solución: (−∞, −2)

Qué ejecuta el laboratorio

Multiplicar por un negativo invierte el sentido de la desigualdad.

compmath run 044

Errores conceptuales frecuentes

1. Olvidar invertir el símbolo al dividir por un negativo.
2. Dar la solución como un punto en lugar de como un intervalo.
3. No comprobar con un valor dentro y otro fuera del intervalo obtenido.

Dónde se usa

Restricciones en optimización (parte 12), rangos de validez de un modelo, umbrales de decisión de un clasificador y condiciones de estabilidad numérica (h < 2/|λ|).

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Boyd & Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge, 2004, cap. 2 — Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

045 · Sistemas de ecuaciones 2x2

Parte 02 · clase 5 de 20 · demostración system_2x2

Un sistema 2×2 tiene solución única si y solo si su determinante es no nulo.

det = a₁b₂ − a₂b₁
x = (c₁b₂ − c₂b₁)/det,   y = (a₁c₂ − a₂c₁)/det

Fundamentos

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas admite tres lecturas geométricas: dos rectas que se cortan en un punto (solución única), dos rectas paralelas (sin solución) o dos rectas coincidentes (infinitas soluciones). El determinante distingue los casos: si es no nulo, las rectas tienen pendientes distintas y se cortan.

La regla de Cramer da las soluciones como cocientes de determinantes. Es elegante y útil para 2×2, pero no escala: para n×n requiere calcular n+1 determinantes, con un coste factorial si se hace por la definición. La parte 05 introduce la eliminación de Gauss, que resuelve el mismo problema en O(n³) y es lo que usan las bibliotecas reales.

El determinante no solo dice si hay solución: dice cuán bien condicionado está el problema. Un determinante muy cercano a cero significa rectas casi paralelas, y entonces una perturbación mínima de los coeficientes mueve mucho el punto de corte. Es el número de condición de la clase 035 aplicado a sistemas, y en la parte 06 se medirá correctamente con los valores singulares.

La verificación sigue siendo la misma: sustituir la solución en ambas ecuaciones y comprobar los residuos. Con dos ecuaciones es barato; con doscientas es la única forma de saber si el solver hizo su trabajo.

Ejemplo trabajado

Resolver el sistema 2x + 3y = 12, 4x − y = 10.

det = 2·(−1) − 4·3 = −2 − 12 = −14 ≠ 0   → solución única

x = (12·(−1) − 10·3) / (−14) = (−12 − 30)/(−14) = 3
y = (2·10 − 4·12)   / (−14) = (20 − 48)/(−14)   = 2

Verificación:
  2·3 + 3·2 = 6 + 6 = 12    ✓
  4·3 − 1·2 = 12 − 2 = 10   ✓

Si el determinante hubiera sido 0, habría que distinguir entre sistema incompatible (rectas paralelas) y compatible indeterminado (rectas coincidentes).

Qué ejecuta el laboratorio

Sistema 2x2 por determinantes (regla de Cramer) y verificación.

compmath run 045

Errores conceptuales frecuentes

1. Aplicar Cramer sin comprobar antes que el determinante es no nulo.
2. No distinguir entre sistema sin solución y sistema con infinitas soluciones.
3. Verificar la solución en una sola de las dos ecuaciones.

Dónde se usa

Es el caso 2×2 del problema central de la parte 05. Cualquier ajuste lineal, sistema de equilibrio o intersección geométrica se reduce a esto en dimensión baja.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 1 — Álgebra lineal: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

046 · Polinomios y operaciones

Parte 02 · clase 6 de 20 · demostración polynomial_ops

El esquema de Horner evalúa un polinomio de grado n con n multiplicaciones en lugar de n(n+1)/2.

p(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀
Horner: p(x) = (...((aₙx + aₙ₋₁)x + aₙ₋₂)x + ...) + a₀
grado(p·q) = grado(p) + grado(q)

Fundamentos

Los polinomios son las funciones más simples después de las lineales, y su aritmética es la de los enteros con otra notación: se suman término a término y se multiplican por convolución de coeficientes. Esa operación —multiplicar polinomios es convolucionar sus coeficientes— es literalmente la misma que la convolución discreta de la clase 271, y es la razón por la que la FFT sirve para multiplicar polinomios grandes.

Evaluar un polinomio de forma ingenua calcula cada potencia por separado: x², x³, x⁴... lo que suma n(n+1)/2 multiplicaciones. El esquema de Horner factoriza sucesivamente y necesita solo n multiplicaciones y n sumas. Para grado 100, eso son 100 operaciones frente a 5050.

Horner no es solo más rápido: es más estable numéricamente, porque evita calcular potencias grandes que luego se cancelan con coeficientes pequeños. Es el algoritmo que usan las bibliotecas para evaluar polinomios, incluidos los que aproximan sin, exp o log internamente.

El grado del producto es la suma de los grados, hecho que parece trivial y tiene consecuencias: multiplicar dos polinomios de grado 50 da uno de grado 100, y por eso el coste de las operaciones simbólicas crece rápido. Es la razón por la que el álgebra computacional es cara.

Ejemplo trabajado

Producto y evaluación de p(x) = x² − 3x + 2.

p = x² − 3x + 2       (grado 2)
q = 2x + 1            (grado 1)

p·q: convolución de [1,−3,2] con [2,1]
     = 2x³ − 5x² + x + 2      (grado 3 = 2 + 1)  ✓

Evaluar p(3):
  directo: 3² − 3·3 + 2 = 9 − 9 + 2 = 2
  Horner:  ((1)·3 + (−3))·3 + 2 = (0)·3 + 2 = 2   ✓

  multiplicaciones directas: 3   (x², y dos productos)
  multiplicaciones Horner:   2

Qué ejecuta el laboratorio

Suma, producto y evaluación de polinomios por Horner.

compmath run 046

Errores conceptuales frecuentes

1. Evaluar potencias por separado en polinomios de grado alto.
2. Confundir el producto de polinomios con el producto término a término.
3. Olvidar los coeficientes nulos al escribir el vector de coeficientes.

Dónde se usa

Evaluación de funciones especiales en bibliotecas matemáticas, interpolación (clase 225), ajuste polinómico y aritmética de precisión arbitraria. La convolución de coeficientes es la misma operación que en señales.

Bibliografía de la clase

• Knuth, D. The Art of Computer Programming, vol. 2, 3ª ed., 1997, secc. 4.6 — Algoritmos y complejidad: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• NumPy: polyval y el esquema de Horner — Algoritmos y complejidad: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en NumPy developers (2026-08-19).

047 · Factorización elemental

Parte 02 · clase 7 de 20 · demostración factoring

Factorizar expone las raíces; las relaciones de Vieta las conectan con los coeficientes.

x² + bx + c = (x − r₁)(x − r₂)
r₁ + r₂ = −b,   r₁·r₂ = c

Fundamentos

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de factores más simples. Su valor práctico es que las raíces se leen directamente: si p(x) = (x−1)(x−2), las raíces son 1 y 2 sin resolver nada. Esa es la razón por la que factorizar es útil, y no un ejercicio de manipulación.

Las relaciones de Vieta conectan las raíces con los coeficientes sin calcularlas: para x² + bx + c, la suma de las raíces es −b y su producto es c. Esto sirve para dos cosas. Primero, para adivinar factorizaciones con coeficientes enteros: hay que buscar dos números que sumen −b y multipliquen c. Segundo, y más importante en este programa, para verificar: si las raíces calculadas no satisfacen las relaciones, hay un error.

Esa verificación es exactamente la que la clase 036 usó para detectar la inestabilidad de la fórmula cuadrática. El producto de las raíces debe ser c/a; cuando la fórmula ingenua sufre cancelación, la relación de Vieta lo delata de inmediato.

No todo polinomio factoriza sobre los racionales. x² + 1 no tiene raíces reales y x² − 2 las tiene irracionales. El teorema fundamental del álgebra garantiza que sobre los complejos todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces contando multiplicidad, y ese es el marco en el que la factorización siempre existe.

Ejemplo trabajado

Factorizar x² − 3x + 2 y verificar con Vieta.

Buscar r₁, r₂ con  r₁ + r₂ = 3  y  r₁·r₂ = 2
Candidatos enteros: 1 y 2

x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)

Verificación desarrollando:
  (x−1)(x−2) = x² − 2x − x + 2 = x² − 3x + 2   ✓

Vieta:
  suma:     1 + 2 = 3 = −b   ✓   (b = −3)
  producto: 1 · 2 = 2 =  c   ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Factorizar x² - 3x + 2 y comprobar las raíces.

compmath run 047

Errores conceptuales frecuentes

1. Buscar solo factorizaciones con enteros: muchos polinomios no las tienen.
2. Equivocar el signo al aplicar Vieta: la suma es −b, no b.
3. Factorizar sin verificar desarrollando el producto.

Dónde se usa

Simplificación de expresiones racionales, análisis de estabilidad por raíces del polinomio característico y verificación de solvers de raíces (clase 036).

Bibliografía de la clase

• Artin, M. Algebra, 2ª ed., Pearson, 2011 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.pearson.com (2026-08-19).
• Vieta's formulas — Wolfram MathWorld — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Wolfram Research (2026-08-19).

048 · Ecuaciones cuadráticas

Parte 02 · clase 8 de 20 · demostración quadratic_equation

El vértice de una parábola está en x = −b/2a y es el punto medio de las raíces.

raíces: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
vértice: xᵥ = −b/2a,  yᵥ = a·xᵥ² + b·xᵥ + c

Fundamentos

La ecuación cuadrática es el primer caso en que la solución exige una fórmula y no solo despejar. Su deducción —completar el cuadrado— es instructiva porque es la misma técnica que aparece en la parte 06 al diagonalizar formas cuadráticas y en la parte 09 al normalizar la densidad de una gaussiana.

El vértice está en x = −b/2a, que es exactamente el punto medio entre las dos raíces. Eso no es coincidencia: la parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su vértice, y las raíces son simétricas respecto a ella. De ahí que el vértice se pueda calcular sin conocer las raíces, y viceversa.

La forma de vértice, a(x − xᵥ)² + yᵥ, hace evidente lo que la forma estándar oculta: el signo de a decide si el vértice es mínimo o máximo, y yᵥ es el valor extremo. En optimización esto es el caso más simple posible de la condición de segundo orden que la parte 08 generaliza con el Hessiano.

La minimización de una cuadrática es el problema modelo de toda la parte 12: la función objetivo x² + 20y² que usan los optimizadores es una cuadrática multivariable, y su mínimo se conoce analíticamente, lo que permite medir cuánto se acerca cada algoritmo.

Ejemplo trabajado

Analizar 2x² − 8x + 6 = 0.

a = 2, b = −8, c = 6
discriminante = 64 − 48 = 16 > 0  → dos raíces reales

raíces: (8 ± 4)/4  →  r₁ = 3,  r₂ = 1

vértice: xᵥ = −(−8)/(2·2) = 2
         yᵥ = 2·4 − 8·2 + 6 = −2

Comprobación de simetría:
  punto medio de las raíces = (3 + 1)/2 = 2 = xᵥ   ✓

Como a = 2 > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un MÍNIMO.

Qué ejecuta el laboratorio

Resolver una cuadrática y contrastar con la forma de vértice.

compmath run 048

Errores conceptuales frecuentes

1. Olvidar dividir por 2a en la fórmula de las raíces.
2. Confundir el signo del vértice: xᵥ = −b/2a, no b/2a.
3. Suponer que el vértice es siempre un mínimo sin mirar el signo de a.

Dónde se usa

Optimización cuadrática (clase 258), ajuste por mínimos cuadrados —cuyo objetivo es una cuadrática— y análisis de trayectorias parabólicas en física y videojuegos.

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Boyd & Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge, 2004 — Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

049 · Fórmula cuadrática y discriminante

Parte 02 · clase 9 de 20 · demostración discriminant

El discriminante clasifica las raíces antes de calcularlas.

Δ = b² − 4ac
Δ > 0: dos raíces reales · Δ = 0: una doble · Δ < 0: dos complejas conjugadas

Fundamentos

El discriminante es un ejemplo de una idea muy general: obtener información cualitativa sobre la solución sin resolver. Su signo determina la naturaleza de las raíces, y calcularlo cuesta tres operaciones frente a las siete de la fórmula completa. En una implementación, comprobar el discriminante antes de llamar a sqrt evita una excepción o un NaN.

Los tres casos tienen lectura geométrica: Δ > 0 significa que la parábola corta el eje x en dos puntos; Δ = 0, que lo toca en uno (el vértice está sobre el eje); Δ < 0, que no lo corta. Las raíces complejas no son un artefacto: describen oscilaciones, y en la parte 13 aparecerán como las frecuencias de una señal.

El caso Δ = 0 es delicado numéricamente. Comprobar Δ == 0 con floats casi nunca es correcto: el discriminante calculado rara vez da exactamente cero aunque la raíz sea doble. Hay que usar una tolerancia relativa a la escala de los coeficientes, decisión que debe documentarse.

La misma idea —un indicador que clasifica antes de resolver— reaparece en el determinante para sistemas (clase 045), en el signo de los autovalores del Hessiano para puntos críticos (clase 169) y en el signo del producto f(a)·f(b) para la bisección (clase 222).

Ejemplo trabajado

Los tres casos con sus coeficientes.

Caso              (a, b, c)      Δ = b²−4ac    naturaleza
dos reales        (1, −5,  6)    25 − 24 = 1   2 raíces: 3 y 2
una doble         (1, −4,  4)    16 − 16 = 0   1 raíz doble: 2
complejas         (1,  1,  1)     1 −  4 = −3  2 conjugadas

Complejas explícitas: (−1 ± i√3)/2

Precaución numérica:
  comprobar Δ == 0 con floats es casi siempre incorrecto;
  usar |Δ| < tol · max(|b²|, |4ac|)

Qué ejecuta el laboratorio

El discriminante clasifica las raíces antes de calcularlas.

compmath run 049

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar el discriminante con cero usando == en aritmética de punto flotante.
2. Llamar a sqrt sin comprobar antes el signo del discriminante.
3. Tratar las raíces complejas como un error en lugar de como información.

Dónde se usa

Estabilidad de sistemas dinámicos (raíces del polinomio característico), clasificación de cónicas y decisión previa en cualquier solver de raíces.

Bibliografía de la clase

• Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed., SIAM, 2002 — Álgebra lineal numérica y Aritmética de máquina y Métodos numéricos: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780898718027, pendiente de resolver.
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

050 · Exponentes algebraicos

Parte 02 · clase 10 de 20 · demostración algebraic_exponents

Los exponentes fraccionarios extienden las leyes de potencias y definen las raíces.

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
a^(1/3) · a^(2/3) = a
dominio de a^(1/2): a ≥ 0 en ℝ

Fundamentos

La extensión de los exponentes a números fraccionarios sigue el mismo principio que la clase 008 aplicó a los negativos: se elige la definición que conserva las leyes. Si a^(1/n) debe cumplir (a^(1/n))ⁿ = a^(n/n) = a, entonces a^(1/n) es la raíz n-ésima. La notación de exponente no es una alternativa a la de radical: es la que permite operar sin casos especiales.

Con esa definición, el álgebra funciona: a^(1/3) · a^(2/3) = a^(1/3+2/3) = a¹ = a. El laboratorio comprueba precisamente esa identidad, y en punto flotante se cumple solo dentro de una tolerancia, porque cada potencia fraccionaria introduce redondeo.

El dominio sigue las reglas de la clase 009: con denominador par, la base debe ser no negativa en los reales. Y hay una trampa de implementación que conviene conocer: (-8) (1/3) en Python devuelve un complejo o nan según el tipo, porque 1/3 es un float que no es exactamente un tercio. Para raíces cúbicas de negativos hay que calcular -(8 (1/3)) explícitamente, como hace el motor.

Extender aún más —a exponentes reales arbitrarios— exige definir a^x = e^(x ln a), que es la ruta que toma el análisis y la que usa la implementación de pow. Ese es el puente hacia las funciones exponencial y logarítmica de las clases 055 y 056.

Ejemplo trabajado

Exponentes fraccionarios con base 8.

8^(1/3)  = 2.0            (raíz cúbica)
8^(2/3)  = 4.0            (raíz cúbica al cuadrado)
8^(−1)   = 0.125
8^(−1/3) = 0.5

Ley del producto:
  8^(1/3) · 8^(2/3) = 2.0 · 4.0 = 8.0 = 8¹   ✓

Dominio:
  (−8)^(1/3) en ℝ  →  −2   (raíz impar, existe)
  (−8)^(1/2) en ℝ  →  no existe
  En Python: (-8) ** (1/3) NO devuelve −2; hay que escribir −(8 ** (1/3))

Qué ejecuta el laboratorio

Exponentes negativos, fraccionarios y su dominio.

compmath run 050

Errores conceptuales frecuentes

1. Escribir (-8) ** (1/3) esperando −2.
2. Aplicar exponentes fraccionarios a bases negativas sin comprobar la paridad del denominador.
3. Comparar identidades de exponentes con == en lugar de con tolerancia.

Dónde se usa

Normas Lp con p no entero (clase 104), transformaciones de potencia en estadística (Box-Cox) y escalado de leyes de potencia en las leyes de escala (clase 359).

Bibliografía de la clase

• Python: math.pow y el operador ** — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Gelfand & Shen. Algebra. Birkhäuser, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0335-5, pendiente de resolver.

051 · Logaritmos y sus propiedades

Parte 02 · clase 11 de 20 · demostración logarithm_laws

El logaritmo convierte productos en sumas, y por eso toda verosimilitud se calcula en escala logarítmica.

log(ab) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b
log(aⁿ) = n log a
log_b(a) = ln a / ln b

Fundamentos

El logaritmo se inventó, literalmente, para convertir multiplicaciones en sumas. Napier publicó sus tablas en 1614 con ese propósito explícito: antes de las calculadoras, multiplicar dos números de seis cifras era costoso y sumar sus logaritmos no. Esa misma propiedad, cuatro siglos después, es la razón por la que el logaritmo está en el centro de la estadística y del machine learning.

El motivo es de precisión, no de velocidad. Multiplicar diez mil probabilidades —cada una menor que 1— produce un número tan pequeño que hace underflow a cero en float64 (clase 033). Sumar diez mil logaritmos no tiene ese problema. Por eso la verosimilitud se maximiza siempre como log-verosimilitud (clase 215) y por eso la pérdida de un clasificador es cross-entropy, que es una suma de logaritmos (clase 263).

Las tres leyes se deducen directamente de las de exponentes, porque el logaritmo es su función inversa. log(ab) = log a + log b es exactamente aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ leído al revés. El cambio de base, log_b(a) = ln a / ln b, permite calcular cualquier logaritmo con uno solo implementado.

Numéricamente hay dos precauciones. El dominio es x > 0, y log(0) es −inf: por eso toda implementación de cross-entropy añade un epsilon. Y log(1 + x) para x pequeño sufre cancelación, de ahí que exista log1p (clase 040).

Ejemplo trabajado

Las tres leyes verificadas con a = 12, b = 5.

log(12·5) = log(60) = 4.094345
log 12 + log 5 = 2.484907 + 1.609438 = 4.094345    ✓

log(12/5) = log(2.4) = 0.875469
log 12 − log 5 = 2.484907 − 1.609438 = 0.875469    ✓

log(12³) = log(1728) = 7.454720
3·log 12 = 3 · 2.484907 = 7.454720                 ✓

Cambio de base:
  log₂(12) = ln 12 / ln 2 = 2.484907/0.693147 = 3.584963
  math.log2(12) = 3.584963                          ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Las tres leyes del logaritmo verificadas numéricamente.

compmath run 051

Errores conceptuales frecuentes

1. Aplicar log a valores no positivos sin proteger el dominio.
2. Escribir log(a + b) = log a + log b: la ley es para el producto, no para la suma.
3. Multiplicar muchas probabilidades en lugar de sumar sus logaritmos.

Dónde se usa

Log-verosimilitud, cross-entropy, entropía, escalas logarítmicas (decibelios, pH, magnitud sísmica), perplejidad de un modelo de lenguaje y leyes de escala.

Bibliografía de la clase

• Napier, J. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614 — contexto histórico — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en University of St Andrews (2026-08-19).
• Python: math.log, math.log1p, math.log2 — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

052 · Funciones: dominio y rango

Parte 02 · clase 12 de 20 · demostración domain_range

El dominio forma parte de la definición de una función: cambiarlo cambia la función.

f(x) = 1/(x−2),  dominio ℝ \ {2},  imagen ℝ \ {0}
asíntota vertical en x = 2, horizontal en y = 0

Fundamentos

Una función es una terna: dominio, codominio y regla de asignación. Dos funciones con la misma fórmula y distinto dominio son funciones distintas. Esa precisión, que parece pedante, es la que evita evaluar una expresión fuera de donde tiene sentido —el error de modelado más común— y la que hace que preguntas como «¿es invertible?» tengan respuesta.

Determinar el dominio consiste en excluir lo que no está definido: denominadores nulos, raíces pares de negativos, logaritmos de valores no positivos. La imagen es más difícil: exige razonar sobre qué valores alcanza realmente la función, no solo cuáles son plausibles.

Las asíntotas describen el comportamiento en las fronteras del dominio y en el infinito. 1/(x−2) tiene una asíntota vertical en 2 —donde el dominio se rompe— y una horizontal en 0 —el valor al que tiende cuando x crece—. Ambas son, en el fondo, límites, y la parte 07 las formalizará.

En implementación esto se traduce en una regla simple: toda función debe declarar y validar su dominio. Un modelo que recibe una entrada fuera de su rango de validez no falla ruidosamente: devuelve un número, y ese número no significa nada. La validación de entradas es el equivalente en ingeniería de declarar el dominio.

Ejemplo trabajado

Analizar f(x) = 1/(x−2).

Dominio: ℝ \ {2}         (el denominador se anula en x = 2)
Imagen:  ℝ \ {0}         (nunca vale 0: 1/algo ≠ 0)

valores:
  f(0)   = −0.5
  f(1.9) = −10.0         se dispara al acercarse por la izquierda
  f(2.1) =  10.0         y por la derecha, con signo opuesto
  f(5)   =  0.333

asíntota vertical:   x = 2
asíntota horizontal: y = 0
¿f(2) definido?      No

Qué ejecuta el laboratorio

El dominio forma parte de la definición de la función.

compmath run 052

Errores conceptuales frecuentes

1. Evaluar una función fuera de su dominio y aceptar el resultado.
2. Confundir codominio (donde puede caer) con imagen (donde realmente cae).
3. Suponer que una función continua en su dominio no tiene asíntotas.

Dónde se usa

Validación de entradas, rango de validez de un modelo, dominio de una activación y detección de valores fuera de distribución en inferencia.

Bibliografía de la clase

• Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 3 — Análisis matemático y Cálculo: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Gelfand, Glagoleva & Shnol. Functions and Graphs. Dover, 2002 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · ISBN-13 9780486425641 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

053 · Funciones lineales y pendiente

Parte 02 · clase 13 de 20 · demostración linear_function

Una función lineal tiene razón de cambio constante; la pendiente es esa razón.

y = mx + b
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Fundamentos

La función lineal es el modelo más simple que no es constante, y por eso es la primera hipótesis razonable ante cualquier conjunto de datos. Su propiedad definitoria es que la razón de cambio es constante: aumentar x en una unidad siempre cambia y en m, independientemente de dónde se esté.

Comprobar linealidad es directo: calcular la pendiente con dos puntos y verificar que predice correctamente un tercero. Si no lo hace, la relación no es lineal, y conviene saberlo antes de ajustar una recta. Esa comprobación es la versión elemental del análisis de residuos que la parte 10 formaliza.

La pendiente es un peso en el sentido del machine learning: dice cuánto contribuye la entrada a la salida. La generalización a varias entradas, y = w₁x₁ + ... + wₙxₙ + b, es exactamente una capa lineal, y cada wᵢ es la pendiente parcial respecto a xᵢ —lo que la parte 08 llamará derivada parcial—.

Una advertencia que el programa repetirá: casi ninguna relación real es lineal en todo su rango. La linealidad es una aproximación local, y la parte 07 explicará por qué: la derivada es precisamente la pendiente de la mejor recta que aproxima la función cerca de un punto.

Ejemplo trabajado

Comprobar linealidad con tres puntos.

puntos: (1, 5), (3, 11), (7, 23)

pendiente con los dos primeros:
  m = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3

intercepto:
  b = 5 − 3·1 = 2

modelo: y = 3x + 2

predicción del tercer punto:
  3·7 + 2 = 23     observado: 23     ✓  es lineal

Si el tercer punto hubiera sido (7, 30), el modelo lineal quedaría descartado con una sola comprobación.

Qué ejecuta el laboratorio

Pendiente como razón de cambio constante.

compmath run 053

Errores conceptuales frecuentes

1. Ajustar una recta sin comprobar antes que la relación es aproximadamente lineal.
2. Confundir pendiente con correlación: la pendiente tiene unidades, la correlación no.
3. Extrapolar un modelo lineal fuera del rango de los datos observados.

Dónde se usa

Regresión lineal (clase 282), capas densas (clase 110), tasas de cambio y cualquier aproximación de primer orden. La derivada es la pendiente de la recta tangente.

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023 — Álgebra lineal: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

054 · Funciones cuadráticas y parábolas

Parte 02 · clase 14 de 20 · demostración quadratic_function

El signo del coeficiente principal decide la concavidad, y el vértice es el extremo.

f(x) = ax² + bx + c
xᵥ = −b/2a;  a > 0 ⟹ mínimo,  a < 0 ⟹ máximo

Fundamentos

La función cuadrática es el primer modelo con un extremo, y por eso es el ejemplo canónico de optimización. Todo lo que la parte 12 hace con funciones complicadas se puede visualizar aquí: hay un punto donde la derivada se anula, y el signo de la curvatura decide si es mínimo o máximo.

La concavidad la determina a: positivo abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; negativo abre hacia abajo y es un máximo. En la parte 08 ese a se convertirá en el Hessiano, y «positivo» en «definido positivo», pero la lógica es idéntica.

La simetría respecto al eje vertical x = xᵥ es una propiedad estructural: f(xᵥ − h) y f(xᵥ + h) valen lo mismo para cualquier h. Comprobarlo numéricamente es una verificación barata de que el vértice se calculó bien.

Las cuadráticas son además el problema modelo de la optimización numérica porque su mínimo se conoce en forma cerrada. Toda la parte 12 usa f(x,y) = x² + 20y² como banco de pruebas precisamente por eso: se puede medir exactamente cuánto se aleja cada optimizador del óptimo conocido.

Ejemplo trabajado

Analizar f(x) = −x² + 6x − 5.

a = −1 < 0  →  abre hacia abajo, el vértice es un MÁXIMO

xᵥ = −6/(2·(−1)) = 3
yᵥ = −9 + 18 − 5 = 4

Simetría (h = 2):
  f(1) = −1 + 6 − 5 = 0
  f(5) = −25 + 30 − 5 = 0     ✓  iguales

raíces: −x² + 6x − 5 = 0 → x = 1, x = 5
punto medio: (1+5)/2 = 3 = xᵥ   ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Vértice, eje de simetría y concavidad.

compmath run 054

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que el vértice es siempre un mínimo.
2. Calcular xᵥ como b/2a en lugar de −b/2a.
3. Confundir el vértice (punto) con el valor extremo (ordenada del vértice).

Dónde se usa

Optimización cuadrática, ajuste por mínimos cuadrados, trayectorias balísticas y aproximación de segundo orden de cualquier función suave (Taylor, clase 151).

Bibliografía de la clase

• Nocedal & Wright. Numerical Optimization, 2ª ed., Springer, 2006, cap. 2 — Métodos numéricos y Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

055 · Funciones exponenciales

Parte 02 · clase 15 de 20 · demostración exponential_function

El crecimiento exponencial tiene razón constante, no diferencia constante.

P(t) = P₀·bᵗ
tiempo de duplicación = ln 2 / ln b
regla del 72: t ≈ 72 / (porcentaje anual)

Fundamentos

La diferencia entre crecimiento lineal y exponencial es la diferencia entre sumar y multiplicar una cantidad fija en cada periodo. Es fácil de enunciar y difícil de intuir: la intuición humana es lineal, y por eso las predicciones sobre procesos exponenciales —epidemias, interés compuesto, capacidad de cómputo— fallan sistemáticamente por defecto.

El indicador más útil es el tiempo de duplicación: cuánto tarda la cantidad en multiplicarse por dos. Se obtiene de ln 2 / ln b y no depende del valor inicial, lo que lo convierte en una propiedad del proceso. La «regla del 72» es su aproximación mental: dividir 72 entre el porcentaje anual da los años aproximados.

Todo crecimiento exponencial real termina saturándose, porque los recursos son finitos. El modelo exponencial es válido en la fase inicial y deja de serlo después; el modelo logístico describe la transición. Aplicar un exponencial fuera de su fase de validez produce predicciones absurdas, y ese es el error de modelado más citado en divulgación científica.

En machine learning el crecimiento exponencial aparece en el decaimiento del learning rate, en las medias móviles exponenciales de Adam (clase 250) y en el término e^z de la softmax, cuyo desbordamiento obliga a restar el máximo (clase 321).

Ejemplo trabajado

Población que crece un 8 % anual desde un millón.

P(t) = 10⁶ · 1.08ᵗ

t = 0     1 000 000
t = 5     1 469 328
t = 10    2 158 925
t = 20    4 660 957

razón entre años consecutivos: P(6)/P(5) = 1.08   (constante) ✓

tiempo de duplicación: ln 2 / ln 1.08 = 0.6931/0.07696 = 9.006 años
regla del 72:          72/8 = 9 años                      ✓ aproximación

Qué ejecuta el laboratorio

Crecimiento exponencial: razón constante, no diferencia constante.

compmath run 055

Errores conceptuales frecuentes

1. Modelar como lineal un proceso con razón constante.
2. Extrapolar un exponencial más allá de su fase de validez.
3. Confundir la razón (multiplicativa) con la diferencia (aditiva) entre periodos.

Dónde se usa

Interés compuesto, crecimiento de usuarios, propagación epidémica, decaimiento del learning rate y medias móviles exponenciales de los optimizadores.

Bibliografía de la clase

• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Bartlett, A. Arithmetic, Population and Energy (conferencia sobre crecimiento exponencial) — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.albartlett.org (2026-08-19).

056 · Funciones logarítmicas

Parte 02 · clase 16 de 20 · demostración logarithmic_function

El logaritmo es la inversa de la exponencial y convierte factores en distancias iguales.

y = log_b(x)  ⟺  x = bʸ
escala logarítmica: distancias iguales ⟹ factores iguales

Fundamentos

La función logarítmica deshace la exponencial, y esa relación de inversa es lo que la hace útil: convierte una pregunta sobre crecimiento («¿cuánto tarda en multiplicarse por 10?») en una pregunta sobre suma. Su crecimiento es extraordinariamente lento —de 10³ a 10⁶ el logaritmo decimal solo sube 3— y por eso comprime rangos enormes.

La escala logarítmica es la aplicación práctica más visible. En un eje logarítmico, una exponencial se ve como una recta, lo que permite identificar el modelo a simple vista y leer la tasa como pendiente. Los decibelios, el pH, la escala de magnitud sísmica y las curvas de aprendizaje de los modelos usan esa propiedad.

El dominio es x > 0, sin excepciones: no hay ningún exponente al que elevar una base positiva para obtener un número negativo. log(0) tiende a −inf, y ese es el motivo técnico por el que toda implementación de entropía o cross-entropy protege el argumento con un epsilon (clase 263).

En las leyes de escala de los modelos de lenguaje (clase 359), la relación entre pérdida y número de parámetros es una ley de potencia, que en escala log-log es una recta cuya pendiente es el exponente. Leer esas gráficas exige entender esta clase.

Ejemplo trabajado

Logaritmo como inversa y como escala.

log₁₀(1000) = 3       porque 10³ = 1000
10^log₁₀(1000) = 1000                    ✓ inversa verificada

Escala: de 10³ a 10⁶ hay un factor 1000
  log₁₀(10⁶) − log₁₀(10³) = 6 − 3 = 3
  tres unidades en el eje = tres órdenes de magnitud

Decibelios: 10·log₁₀(10⁻³) = −30 dB

Dominio: x > 0.  log(0) → −inf,  log(−1) no existe en ℝ

Qué ejecuta el laboratorio

El logaritmo como inversa de la exponencial y como escala.

compmath run 056

Errores conceptuales frecuentes

1. Aplicar logaritmo a cero o a valores negativos sin protección.
2. Leer una gráfica logarítmica como si fuera lineal.
3. Confundir log natural, log₁₀ y log₂ al comparar resultados (entropía en nats vs bits).

Dónde se usa

Escalas de medida, visualización de rangos amplios, log-verosimilitud, entropía, perplejidad y lectura de leyes de escala en log-log.

Bibliografía de la clase

• Python: math.log y variantes — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Cover & Thomas. Elements of Information Theory, 2ª ed., Wiley, 2006 — Teoría de la información: el tema de esta clase · DOI 10.1002/047174882x verificado en Crossref (2026-08-19).

057 · Composición de funciones

Parte 02 · clase 17 de 20 · demostración function_composition

La composición aplica funciones en cadena y no es conmutativa: (g∘f) ≠ (f∘g).

(g∘f)(x) = g(f(x))
dominio de g∘f: {x ∈ dom f : f(x) ∈ dom g}

Fundamentos

Componer es encadenar: la salida de una función entra en la siguiente. El orden importa y casi nunca conmuta, hecho que se comprueba con un solo ejemplo numérico. Leer (g∘f)(x) correctamente —primero f, luego g, aunque g esté escrita a la izquierda— es una de las causas frecuentes de error al trasladar fórmulas.

El dominio de la composición no es el dominio de f: hay que exigir además que f(x) caiga dentro del dominio de g. Si g es un logaritmo, hay que garantizar que f(x) > 0. Este detalle es la fuente de los NaN que aparecen cuando una activación produce valores fuera del dominio de la siguiente capa.

Y aquí está la idea que conecta esta parte con todo el resto del programa: una red neuronal es una composición de funciones parametrizadas. f(x) = f_L(...f_2(f_1(x))), donde cada f_i es «transformación lineal seguida de no linealidad». Nada más. La profundidad de una red es la longitud de esa cadena.

La consecuencia inmediata, que la clase 302 hará explícita: si todas las f_i fueran lineales, su composición sería lineal, y apilar capas no aportaría nada. La no linealidad entre capas es lo que hace que la composición sea más expresiva que sus partes. Y derivar una composición es exactamente la regla de la cadena (clase 147).

Ejemplo trabajado

Componer f(x) = 2x + 1 con g(x) = x².

(g∘f)(3) = g(f(3)) = g(7)  = 49
(f∘g)(3) = f(g(3)) = f(9)  = 19
¿conmutan?  No     49 ≠ 19

Cadena de tres:
  f(g(f(3))) = f(g(7)) = f(49) = 99

Analogía directa:
  red neuronal = f_L(...f_2(f_1(x)))
  cada f_i = no_linealidad(W_i · entrada + b_i)

Qué ejecuta el laboratorio

(g∘f) no es (f∘g): la composición no conmuta.

compmath run 057

Errores conceptuales frecuentes

1. Leer (g∘f) como «primero g»: se aplica f primero.
2. Olvidar restringir el dominio para que f(x) caiga en el dominio de g.
3. Suponer que la composición conmuta.

Dónde se usa

Arquitectura de redes neuronales, pipelines de transformación de datos, cambio de variable en integración (clase 157) y la regla de la cadena.

Bibliografía de la clase

• Goodfellow, Bengio & Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016, cap. 6 — Deep learning y Machine learning: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780262337373 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

058 · Funciones inversas

Parte 02 · clase 18 de 20 · demostración inverse_function

La inversa deshace la función y existe solo si es inyectiva; no es el recíproco 1/f.

f⁻¹(f(x)) = x  para todo x del dominio
f inyectiva ⟺ f(a) = f(b) ⟹ a = b

Fundamentos

La función inversa deshace lo que la original hizo. Para que exista, la función debe ser inyectiva: dos entradas distintas no pueden dar la misma salida, porque de lo contrario la inversa no sabría a cuál volver. f(x) = x² no es invertible en todo ℝ —2 y −2 dan lo mismo— pero sí lo es restringida a x ≥ 0, y esa restricción es la que define la raíz cuadrada.

La notación f⁻¹ es desafortunada porque se parece a f⁻¹ = 1/f, y no lo es. Para f(x) = 3x − 4, la inversa es (y+4)/3 y el recíproco es 1/(3x−4). Son funciones completamente distintas y confundirlas es un error clásico.

Gráficamente, la inversa es la reflexión respecto a la recta y = x, lo que da una forma visual de comprobar si existe: si alguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez, la función no es inyectiva y no tiene inversa global.

En machine learning las inversas aparecen en los normalizing flows, que exigen transformaciones invertibles con jacobiano calculable, y en toda transformación de datos que deba deshacerse para interpretar una predicción en las unidades originales (desestandarizar).

Ejemplo trabajado

Inversa de f(x) = 3x − 4 y contraste con el recíproco.

Despejar:  y = 3x − 4  →  x = (y + 4)/3
f⁻¹(y) = (y + 4)/3

Comprobación en x = 5:
  f(5) = 11
  f⁻¹(11) = (11 + 4)/3 = 5      ✓ roundtrip

Recíproco (COSA DISTINTA):
  1/f(5) = 1/11 = 0.0909

¿f⁻¹ = 1/f?   No.

Condición: f debe ser inyectiva. 3x − 4 lo es en todo ℝ.

Qué ejecuta el laboratorio

Inversa frente a recíproco: dos objetos distintos.

compmath run 058

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir la inversa f⁻¹ con el recíproco 1/f.
2. Invertir una función sin comprobar que es inyectiva.
3. Olvidar restringir el dominio para que la inversa exista (raíz cuadrada).

Dónde se usa

Desestandarizar predicciones, normalizing flows, cambio de variable en probabilidad (con su jacobiano) y la relación entre exponencial y logaritmo.

Bibliografía de la clase

• Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 12 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Papamakarios, G. et al. Normalizing Flows for Probabilistic Modeling and Inference. JMLR, 2021 — Deep learning y Modelos generativos y Probabilidad: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en Journal of Machine Learning Research (2026-08-19).

059 · Funciones por tramos

Parte 02 · clase 19 de 20 · demostración piecewise_function

Una función por tramos se define con reglas distintas en subconjuntos del dominio; ReLU es el ejemplo dominante en IA.

ReLU(x) = max(0, x)
continuidad en el corte: límite por la izquierda = límite por la derecha = valor

Fundamentos

Definir una función por tramos es lo natural cuando el fenómeno cambia de régimen: una tarifa con tramos, un impuesto progresivo, una penalización que solo actúa por encima de un umbral. La única pregunta técnica es qué ocurre en los puntos de corte, y ahí hay que comprobar dos cosas: si la función es continua (los límites laterales coinciden con el valor) y si es derivable (las pendientes laterales coinciden).

Continua y derivable no son lo mismo. ReLU es continua en 0 —ambos lados tienden a 0— pero no derivable, porque la pendiente salta de 0 a 1. En la práctica, los frameworks definen la derivada en 0 por convenio (habitualmente 0), y eso funciona porque el punto exacto tiene medida nula.

ReLU es la activación más usada en deep learning y es literalmente una función por tramos. Su éxito frente a la sigmoide tiene una explicación directa que la clase 303 desarrolla: su derivada vale exactamente 1 en el semieje positivo, así que el gradiente no se atenúa al propagarse por muchas capas. La sigmoide, cuya derivada máxima es 0.25, hace que el gradiente se desvanezca (clase 314).

La contrapartida también es visible aquí: para x < 0 la derivada de ReLU es 0, así que una neurona que caiga en esa región deja de recibir gradiente y «muere». Leaky ReLU —otro tramo, con pendiente pequeña en lugar de nula— existe para evitarlo.

Ejemplo trabajado

Analizar una función de tres tramos.

f(x) = |x|    si x < 0
       x²     si 0 ≤ x < 2
       4      si x ≥ 2

f(−3)    = 3
f(0)     = 0
f(1.999) = 3.996
f(2)     = 4

Continuidad en x = 0:  lím⁻ = 0,  lím⁺ = 0,  f(0) = 0     ✓
Continuidad en x = 2:  lím⁻ = 4,  lím⁺ = 4,  f(2) = 4     ✓

Derivabilidad en x = 0:
  pendiente por la izquierda: −1
  pendiente por la derecha:    0        ✗ no derivable

Qué ejecuta el laboratorio

Una función por tramos y su continuidad en el punto de corte.

compmath run 059

Errores conceptuales frecuentes

1. Comprobar continuidad y dar por hecha la derivabilidad.
2. Olvidar definir el valor en el punto de corte.
3. Suponer que ReLU es derivable en 0: no lo es; su derivada allí es un convenio.

Dónde se usa

Activaciones ReLU y Leaky ReLU, funciones de pérdida robustas como Huber (clase 304), tarifas por tramos e impuestos progresivos.

Bibliografía de la clase

• Glorot, Bordes & Bengio. Deep Sparse Rectifier Neural Networks. AISTATS, 2011 — Deep learning: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Proceedings of Machine Learning Research (2026-08-19).
• Goodfellow, Bengio & Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016, cap. 6 — Deep learning: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262337373 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

060 · Capstone: construir y comparar modelos funcionales

Parte 02 · clase 20 de 20 · demostración capstone_model_fitting

Elegir modelo es comparar residuos sobre los mismos datos, no elegir la familia que parece más elegante.

SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)²
linealizar exponencial: ln y = ln a + b·x

Fundamentos

El capstone plantea la pregunta que cierra la parte: dados unos datos, ¿qué familia de funciones los describe? La respuesta no se decide mirando la gráfica ni por preferencia estética: se decide comparando el error de cada candidato sobre los mismos datos, con la misma métrica.

La suma de residuos al cuadrado (SSE) es el criterio más simple. Penaliza más los errores grandes que los pequeños, lo que la hace sensible a valores atípicos —tema de la clase 304— pero la convierte en el objetivo de mínimos cuadrados, que tiene solución cerrada (clase 131).

El truco central para ajustar un exponencial es linealizarlo: tomando logaritmos, y = a·e^(bx) se convierte en ln y = ln a + b·x, que es una recta. Ajustar por mínimos cuadrados en el espacio logarítmico y volver da los parámetros. Conviene saber que esto minimiza el error relativo, no el absoluto, lo que a veces es preferible y a veces no.

La honestidad del procedimiento exige dos advertencias. Primera: un SSE menor no demuestra que el modelo sea correcto, solo que ajusta mejor esos datos; un polinomio de grado suficiente ajusta cualquier cosa (clase 298). Segunda: la comparación solo es válida si ambos modelos se evalúan en la misma escala; comparar un SSE calculado en escala logarítmica con otro en escala lineal no significa nada.

Ejemplo trabajado

Decidir entre lineal y exponencial con seis puntos.

x:  1     2     3      4      5      6
y:  2.1   4.4   8.9   17.5   35.2   70.8

Pista: cada y es aproximadamente el doble del anterior
       → razón ≈ 2 constante → exponencial

Linealización: ln y contra x
  ln y:  0.74  1.48  2.19  2.86  3.56  4.26
  diferencias: ~0.70 constantes → recta ✓

Ajuste:  y = 1.055 · e^(0.702x)
         razón de crecimiento: e^0.702 = 2.018

SSE lineal:      ~1010
SSE exponencial: ~1.5
Modelo elegido: exponencial

Qué ejecuta el laboratorio

Capstone: ¿lineal, cuadrático o exponencial? Decidir con residuos.

compmath run 060

Errores conceptuales frecuentes

1. Elegir modelo por inspección visual sin medir residuos.
2. Comparar SSE calculados en escalas distintas (lineal frente a logarítmica).
3. Concluir que el modelo con menor SSE es «el correcto» en lugar de «el que mejor ajusta estos datos».

Dónde se usa

Selección de modelos, ajuste de curvas de crecimiento, análisis de escalabilidad y la lectura de leyes de escala. Es el precursor directo de la regresión de la parte 14.

Bibliografía de la clase

• Hastie, Tibshirani & Friedman. The Elements of Statistical Learning, 2ª ed., Springer, 2009 — Estadística e inferencia y Machine learning: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780387848570 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

061 · Puntos, segmentos y distancias

Parte 03 · clase 1 de 20 · demostración distances

La distancia euclídea es una de varias métricas posibles; cuál se elige cambia qué está cerca.

L2: d(p,q) = √Σ(pᵢ−qᵢ)²
L1: d(p,q) = Σ|pᵢ−qᵢ|
L∞: d(p,q) = máx|pᵢ−qᵢ|

Fundamentos

Una distancia no es «la» distancia: es cualquier función que cumpla tres condiciones —no negatividad con d(p,q)=0 solo si p=q, simetría y desigualdad triangular—. Bajo esa definición, la euclídea es una entre muchas, y elegir una u otra cambia qué puntos se consideran cercanos.

Las tres más usadas tienen interpretación directa. La euclídea (L2) es la línea recta: la que mediría una regla. La Manhattan (L1) es la distancia por calles en cuadrícula, y su nombre viene de ahí. La Chebyshev (L∞) es el máximo de las diferencias por coordenada: el movimiento del rey en ajedrez.

Siempre se cumple L∞ ≤ L2 ≤ L1, hecho que conviene comprobar numéricamente porque da una intuición útil: L1 penaliza más el total de desviaciones, L∞ solo mira la peor. Esa diferencia reaparece en la parte 14 como la diferencia entre regularización Lasso (L1) y Ridge (L2), y en la 15 entre pérdida MAE y MSE.

En alta dimensión la intuición euclídea falla. Todas las distancias entre puntos aleatorios se concentran alrededor de un valor común, y la noción de «vecino más cercano» pierde significado. Es la maldición de la dimensionalidad, y es la razón por la que en embeddings se usa similitud coseno en lugar de distancia euclídea.

Ejemplo trabajado

Tres distancias entre p = (1,2) y q = (4,6).

diferencias: (3, 4)

L2 (euclídea):  √(9 + 16) = √25 = 5.0
L1 (Manhattan): |3| + |4|       = 7.0
L∞ (Chebyshev): máx(3, 4)       = 4.0

Orden:  L∞ (4) ≤ L2 (5) ≤ L1 (7)      ✓

Punto medio: ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2.5, 4.0)

El triángulo (3,4,5) no es casual: es la terna pitagórica más simple, tema de la clase 064.

Qué ejecuta el laboratorio

Distancia euclídea, Manhattan y Chebyshev sobre los mismos puntos.

compmath run 061

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que «distancia» siempre significa euclídea.
2. Comparar distancias entre variables de escalas distintas sin estandarizar.
3. Confiar en la intuición euclídea de 2D o 3D al trabajar en dimensión 768.

Dónde se usa

k-NN y k-means (parte 14), detección de anomalías, búsqueda de vecinos en embeddings y elección de norma en regularización.

Bibliografía de la clase

• Aggarwal, Hinneburg & Keim. On the Surprising Behavior of Distance Metrics in High Dimensional Space. ICDT, 2001 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en bib.dbvis.de (2026-08-19).
• Python: math.dist — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

062 · Ángulos y radianes

Parte 03 · clase 2 de 20 · demostración angles_radians

El radián es la unidad natural del ángulo: en ella, la derivada del seno es el coseno sin factores de conversión.

θ(rad) = θ(grados) · π/180
vuelta completa = 2π rad = 360°
d(sin x)/dx = cos x   solo si x está en radianes

Fundamentos

Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Esa definición hace que la longitud de arco sea simplemente s = rθ, sin constantes, y es el primer indicio de por qué el radián es «natural»: elimina factores arbitrarios.

El motivo profundo aparece en cálculo. La derivada de sin x es cos x únicamente si x está en radianes; en grados, la derivada es (π/180)·cos x. Ese factor contaminaría cada derivada, cada serie de Taylor y cada ecuación diferencial. Por eso todas las bibliotecas matemáticas trabajan internamente en radianes, y math.sin(90) no devuelve 1 sino el seno de 90 radianes.

El error de unidad angular es de los más frecuentes y de los más silenciosos: el resultado no lanza excepción, simplemente es incorrecto por un factor. La defensa es la misma que la clase 012 propuso: declarar la unidad en el nombre de la variable (angulo_rad, angulo_deg) y convertir explícitamente en las fronteras.

La comprobación numérica que hace el laboratorio es directa: calcular la derivada de sin por diferencias finitas en un ángulo dado en radianes y verificar que coincide con el coseno de ese ángulo. Si se hiciera en grados, la discrepancia sería de un factor 57.3.

Ejemplo trabajado

Verificar que d(sin)/dx = cos solo en radianes.

30° = 30 · π/180 = 0.5236 rad = π/6

Derivada numérica en x = 0.5236 rad:
  (sin(x+h) − sin(x−h)) / 2h   con h = 1e−7
  = 0.8660254

cos(0.5236) = 0.8660254                      ✓ coinciden

Si el ángulo se pasara en grados (x = 30):
  d(sin)/dx en grados = (π/180)·cos(30°) = 0.01511
  factor de discrepancia: 180/π = 57.3

Qué ejecuta el laboratorio

Grados y radianes: por qué el radián es la unidad natural.

compmath run 062

Errores conceptuales frecuentes

1. Pasar grados a una función trigonométrica que espera radianes.
2. Convertir con 180/π donde correspondía π/180.
3. No declarar la unidad angular en el nombre de la variable.

Dónde se usa

Toda la trigonometría computacional, rotaciones en gráficos y robótica, positional encoding de los Transformers (clase 323) y análisis de Fourier (parte 13).

Bibliografía de la clase

• Python: math.radians y math.degrees — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Spivak, M. Calculus, 4ª ed., 2008, cap. 15 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9780914098911 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

063 · Triángulos y semejanza

Parte 03 · clase 3 de 20 · demostración similar_triangles

En figuras semejantes los ángulos se conservan, las longitudes escalan con k y las áreas con k².

longitudes: L' = k·L
áreas: A' = k²·A
volúmenes: V' = k³·V

Fundamentos

Dos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales. La consecuencia que sorprende es la ley de escalado: al multiplicar las longitudes por k, las áreas se multiplican por k² y los volúmenes por k³. Duplicar el tamaño de una figura cuadruplica su área y octuplica su volumen.

Esta ley explica fenómenos aparentemente inconexos. Por qué los animales grandes tienen extremidades proporcionalmente más gruesas (el peso crece con el volumen, la resistencia del hueso con la sección); por qué una pizza de 40 cm tiene cuatro veces más superficie que una de 20; por qué duplicar la resolución de una imagen cuadruplica los píxeles y, con ellos, el coste de procesarla.

En computación la ley de escalado es la que convierte una decisión aparentemente menor en un factor de coste. Pasar de imágenes de 224×224 a 448×448 no duplica el cómputo de una CNN: lo cuadruplica. Y en la atención de un Transformer, la memoria crece con el cuadrado de la longitud de secuencia, que es la razón de casi toda la investigación en atención eficiente.

El criterio de semejanza AA —dos ángulos iguales bastan— es el que hace útil el concepto: permite deducir proporcionalidad de lados sin medirlos, y es la base de la trigonometría, donde las razones seno y coseno dependen solo del ángulo precisamente porque todos los triángulos rectángulos con ese ángulo son semejantes.

Ejemplo trabajado

Escalar un triángulo 3-4-5 por k = 2.5.

original:   catetos 3 y 4, hipotenusa 5
            perímetro 12,  área 6

escalado:   catetos 7.5 y 10, hipotenusa 12.5
            perímetro 30,  área 37.5

razón de perímetros: 30/12  = 2.5  = k     ✓
razón de áreas:      37.5/6 = 6.25 = k²    ✓

Los ángulos no cambian: 36.87°, 53.13°, 90°

Qué ejecuta el laboratorio

Semejanza: los ángulos se conservan, las longitudes escalan.

compmath run 063

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que al duplicar las dimensiones se duplica el área.
2. Comparar densidades o costes entre figuras de escalas distintas sin normalizar.
3. Olvidar que la semejanza exige ángulos iguales, no solo proporción de algunos lados.

Dónde se usa

Coste de procesar imágenes según resolución, memoria cuadrática de la atención, escalado de mallas en gráficos y análisis dimensional en ingeniería.

Bibliografía de la clase

• Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2ª ed., Wiley, 1989 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780471504580 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Haldane, J. B. S. On Being the Right Size, 1926 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

064 · Teorema de Pitágoras

Parte 03 · clase 4 de 20 · demostración pythagoras

El teorema de Pitágoras y su recíproco caracterizan el ángulo recto; las ternas se generan sistemáticamente.

a² + b² = c²  ⟺  el triángulo es rectángulo
generador: a = m²−n²,  b = 2mn,  c = m²+n²  (m > n > 0)

Fundamentos

El teorema de Pitágoras es la relación métrica más usada de toda la matemática computacional, aunque casi nunca se la llame por su nombre: cada vez que se calcula una norma euclídea, se está aplicando. Su recíproco es igual de útil: si a² + b² = c², el triángulo es rectángulo, lo que da una prueba de perpendicularidad sin medir ángulos.

Las ternas pitagóricas —tríos de enteros que lo cumplen— se generan con la fórmula de Euclides a partir de dos enteros m > n: (m²−n², 2mn, m²+n²). Con m=2, n=1 sale la (3,4,5); con m=3, n=2 la (5,12,13). Que exista una parametrización completa es un resultado clásico de teoría de números, y conecta esta clase con la parte 04.

La generalización a n dimensiones es directa: ‖v‖² = Σvᵢ². Y la generalización conceptual es aún más importante: en cualquier espacio con producto interno, si dos vectores son ortogonales entonces ‖u+v‖² = ‖u‖² + ‖v‖². Ese es el teorema de Pitágoras abstracto, y es lo que hace que la descomposición de la varianza en estadística funcione (clase 214) y que la proyección ortogonal sea la mejor aproximación (clase 119).

Una precaución numérica: calcular √(a² + b²) directamente puede desbordar si a o b son grandes, aunque el resultado quepa. Por eso existe math.hypot, que reescala antes de elevar al cuadrado.

Ejemplo trabajado

Generar una terna y verificar el recíproco.

Generador con m = 3, n = 2:
  a = 9 − 4 = 5
  b = 2·3·2 = 12
  c = 9 + 4 = 13

Verificación:  25 + 144 = 169 = 13²      ✓ rectángulo

Contraejemplo:  triángulo 5-5-7
  25 + 25 = 50 ≠ 49 = 7²                 ✗ no es rectángulo

Precaución numérica:
  √(1e200² + 1e200²) desborda
  math.hypot(1e200, 1e200) = 1.414e200    ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Pitágoras, su recíproco y una terna pitagórica generada.

compmath run 064

Errores conceptuales frecuentes

1. Aplicar el teorema a un triángulo que no es rectángulo.
2. Calcular √(a²+b²) directamente con valores grandes en lugar de usar hypot.
3. Confundir el teorema (rectángulo ⟹ relación) con su recíproco (relación ⟹ rectángulo); ambos son ciertos, pero son afirmaciones distintas.

Dónde se usa

Norma euclídea, cálculo de distancias, verificación de ortogonalidad, descomposición de la varianza y el teorema de Pitágoras en espacios de Hilbert.

Bibliografía de la clase

• Python: math.hypot — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Maor, E. The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, 2007 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780691196886 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

065 · Seno, coseno y tangente

Parte 03 · clase 5 de 20 · demostración trig_ratios

Seno, coseno y tangente son razones que dependen solo del ángulo, por semejanza de triángulos.

sin θ = opuesto/hipotenusa,  cos θ = adyacente/hipotenusa
tan θ = sin θ / cos θ
atan2(y, x) devuelve el ángulo en el cuadrante correcto

Fundamentos

Las razones trigonométricas están bien definidas gracias a la semejanza (clase 063): todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes, así que la razón entre dos de sus lados no depende del tamaño del triángulo, solo del ángulo. Sin ese hecho, «el seno de 30°» no significaría nada.

La tangente es el cociente de las otras dos, y por eso no está definida donde el coseno se anula: en 90° y 270° la tangente diverge. Esa singularidad es real y hay que manejarla; en implementaciones se evita la tangente siempre que se pueda, usando directamente seno y coseno.

Para recuperar el ángulo a partir de las coordenadas, la función correcta es atan2, no atan. atan(y/x) pierde la información del cuadrante —el cociente es el mismo para (1,1) y (−1,−1)— y además falla si x es cero. atan2(y, x) recibe los dos argumentos por separado, devuelve el ángulo en el rango (−π, π] y maneja los cuatro cuadrantes. Usar atan donde correspondía atan2 es un error clásico en robótica y gráficos.

El programa usa estas razones en la clase 076 (coordenadas polares), en la 323 (positional encoding, construido con senos y cosenos de frecuencias distintas) y en cualquier cálculo de ángulo entre vectores.

Ejemplo trabajado

Triángulo con catetos 3 y 4.

opuesto = 3,  adyacente = 4
hipotenusa = √(9+16) = 5

θ = atan2(3, 4) = 0.6435 rad = 36.87°

sin θ = 3/5 = 0.6
cos θ = 4/5 = 0.8
tan θ = 3/4 = 0.75

Comprobación: tan θ = sin θ / cos θ = 0.6/0.8 = 0.75    ✓

Por qué atan2 y no atan:
  atan(3/4)   = 0.6435   (cuadrante I)
  atan(-3/-4) = 0.6435   ← ¡mismo valor, cuadrante III!
  atan2(-3,-4) = -2.498  ✓ correcto

Qué ejecuta el laboratorio

Seno, coseno y tangente sobre un triángulo rectángulo concreto.

compmath run 065

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar atan(y/x) en lugar de atan2(y, x) y perder el cuadrante.
2. Evaluar la tangente cerca de 90° sin controlar la singularidad.
3. Confundir cateto opuesto con adyacente al identificar el ángulo.

Dónde se usa

Cálculo de ángulos en robótica y gráficos, conversión a coordenadas polares, positional encoding y análisis de fase en señales.

Bibliografía de la clase

• Python: math.atan2 — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Lengyel, E. Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, 3ª ed., 2011 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

066 · Identidades trigonométricas básicas

Parte 03 · clase 6 de 20 · demostración trig_identities

La identidad pitagórica es el teorema de Pitágoras sobre el círculo unitario; de ella se derivan las demás.

sin²θ + cos²θ = 1
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
cos(2θ) = cos²θ − sin²θ

Fundamentos

La identidad fundamental sin²θ + cos²θ = 1 no es una fórmula que memorizar: es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo que forma un punto del círculo unitario con los ejes. La hipotenusa es el radio, que vale 1, y los catetos son el coseno y el seno. Verla así hace innecesario recordarla.

De ella se derivan las demás mediante las fórmulas de suma de ángulos. La del ángulo doble, sin(2θ) = 2 sin θ cos θ, es el caso particular de sin(a+b) con a = b, y su utilidad es de eficiencia: permite calcular una función de 2θ sin evaluar la función trigonométrica de nuevo.

Las identidades cumplen además un papel de verificación: comprobar que sin²θ + cos²θ da 1 en varios ángulos es una prueba barata de que una implementación trigonométrica funciona. En punto flotante el resultado no será exactamente 1, y esa desviación —del orden del epsilon de máquina— es una medida de la calidad de la biblioteca.

En procesamiento de señales estas identidades permiten reescribir productos de senoidales como sumas, que es lo que hace la modulación y lo que subyace al análisis de Fourier de la parte 13. Y en el positional encoding de los Transformers, la fórmula de suma de ángulos es la que garantiza que un desplazamiento de posición sea una transformación lineal de la codificación.

Ejemplo trabajado

Verificar las identidades en cinco ángulos.

θ       sin²+cos²    sin(2θ)      2·sin·cos    coinciden
0°      1.000000     0.000000     0.000000     ✓
30°     1.000000     0.866025     0.866025     ✓
45°     1.000000     1.000000     1.000000     ✓
60°     1.000000     0.866025     0.866025     ✓
90°     1.000000     0.000000     0.000000     ✓

Nota numérica: sin²+cos² da 1.0 con error < 1e−16
(es una prueba de calidad de la implementación)

Qué ejecuta el laboratorio

Identidades fundamentales verificadas en varios ángulos.

compmath run 066

Errores conceptuales frecuentes

1. Memorizar las identidades en lugar de derivarlas del círculo unitario.
2. Comparar identidades con == en punto flotante en lugar de con tolerancia.
3. Confundir sin²θ con sin(θ²).

Dónde se usa

Simplificación de expresiones trigonométricas, modulación de señales, verificación de bibliotecas matemáticas y la construcción del positional encoding.

Bibliografía de la clase

• Gelfand, I. M.; Saul, M. Trigonometry. Birkhäuser, 2001 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0149-8, pendiente de resolver.
• Vaswani, A. et al. Attention Is All You Need. NeurIPS, 2017 (sección 3.5) — Deep learning y Modelos de lenguaje: conexión declarada de esta parte · DOI 10.48550/arxiv.1706.03762 verificado en DataCite (2026-08-19).

067 · Círculo unitario

Parte 03 · clase 7 de 20 · demostración unit_circle

El círculo unitario extiende seno y coseno a cualquier ángulo real y muestra su periodicidad y paridad.

punto del círculo: (cos θ, sin θ)
periodo: sin(θ + 2π) = sin θ
paridad: sin(−θ) = −sin θ,  cos(−θ) = cos θ

Fundamentos

El triángulo rectángulo solo define las razones trigonométricas para ángulos entre 0 y 90°. El círculo unitario las extiende a cualquier número real: el punto que resulta de recorrer un arco de longitud θ desde (1,0) tiene coordenadas (cos θ, sin θ), y esa definición funciona para ángulos negativos, mayores que una vuelta o irracionales.

De esa definición se leen dos propiedades sin cálculo. La periodicidad: dar una vuelta completa devuelve al mismo punto, así que sin(θ + 2π) = sin θ. Y la paridad: reflejar respecto al eje x cambia el signo de la ordenada pero no de la abscisa, así que el seno es impar y el coseno es par.

La periodicidad tiene una consecuencia práctica que conviene tener presente: los ángulos no son comparables directamente. La diferencia entre 359° y 1° es de 2°, no de 358°. Calcular diferencias angulares exige normalizar al rango (−π, π], y olvidarlo produce saltos bruscos en robótica y en seguimiento de orientación.

La tabla de valores notables —0, 90, 180, 270, 360— conviene poder reconstruirla mirando el círculo en lugar de memorizarla: en 90° el punto es (0,1), así que el coseno es 0 y el seno 1. Numéricamente hay un detalle: cos(π/2) no da exactamente 0 sino 6.1e−17, porque π/2 no es representable exactamente.

Ejemplo trabajado

Coordenadas en los ángulos notables.

ángulo    (cos, sin)
  0°      ( 1,  0)
 90°      ( 0,  1)
180°      (−1,  0)
270°      ( 0, −1)
360°      ( 1,  0)      ← igual que 0°: periodo 2π

Paridad:
  sin(−1) = −0.841471 = −sin(1)     ✓ impar
  cos(−1) =  0.540302 =  cos(1)     ✓ par

Detalle numérico: cos(π/2) = 6.12e−17, no exactamente 0
(π/2 no es representable en float64)

Qué ejecuta el laboratorio

El círculo unitario como diccionario de ángulos notables.

compmath run 067

Errores conceptuales frecuentes

1. Restar ángulos sin normalizar el resultado al rango (−π, π].
2. Esperar que cos(π/2) sea exactamente 0.
3. Limitar la definición de seno y coseno a ángulos agudos.

Dónde se usa

Orientación en robótica, ángulos de fase en señales, animación cíclica y cualquier fenómeno periódico. La periodicidad es la propiedad que explota Fourier.

Bibliografía de la clase

• Gelfand, I. M.; Saul, M. Trigonometry. Birkhäuser, 2001 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · DOI 10.1007/978-1-4612-0149-8, pendiente de resolver.
• Python: math.fmod y normalización de ángulos — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

068 · Coordenadas cartesianas

Parte 03 · clase 8 de 20 · demostración cartesian_coordinates

Las coordenadas convierten preguntas geométricas en preguntas algebraicas.

simetría respecto a x: (a, b) → (a, −b)
simetría respecto a y: (a, b) → (−a, b)
simetría respecto al origen: (a, b) → (−a, −b)

Fundamentos

La idea de Descartes —identificar el plano con ℝ²— es probablemente la más productiva de la matemática moderna. Convierte la geometría en álgebra: una recta es una ecuación, una circunferencia es otra, y la intersección de dos figuras es la solución de un sistema. Sin ella no habría gráficos por computador ni análisis de datos.

Los cuatro cuadrantes se numeran en sentido antihorario empezando por el de coordenadas positivas. Esa convención importa al interpretar atan2, cuyo signo depende del cuadrante, y al leer gráficas donde el eje y crece hacia abajo —convención habitual en pantallas e imágenes, que invierte el sentido de las rotaciones.

Las simetrías se expresan como cambios de signo, y ese es el primer ejemplo de que una transformación geométrica es una operación algebraica sobre coordenadas. La reflexión respecto al eje x es la matriz diag(1, −1), y su determinante negativo indica que invierte la orientación (clase 075).

En machine learning el «espacio de features» es literalmente un espacio de coordenadas, y cada observación es un punto. Toda la intuición geométrica de esta parte —distancia, proyección, frontera— se traslada directamente allí, con la advertencia de la clase 061 sobre la alta dimensión.

Ejemplo trabajado

Los cuatro cuadrantes y las simetrías.

punto      cuadrante
( 3,  2)       I
(−3,  2)       II
(−3, −2)       III
( 3, −2)       IV

Simetrías de (3, 2):
  respecto al eje x:  ( 3, −2)
  respecto al eje y:  (−3,  2)
  respecto al origen: (−3, −2)

Traslación (+1, −1): (3,2) → (4,1)

Qué ejecuta el laboratorio

Cuadrantes, simetrías y traslación de origen.

compmath run 068

Errores conceptuales frecuentes

1. Olvidar que en pantallas e imágenes el eje y suele crecer hacia abajo.
2. Numerar los cuadrantes en sentido horario.
3. Confundir traslación (sumar) con escala (multiplicar).

Dónde se usa

Espacios de features, sistemas de coordenadas de pantalla frente a mundo, visualización de datos y transformaciones geométricas.

Bibliografía de la clase

• Descartes, R. La Géométrie, 1637 — contexto histórico — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en University of St Andrews (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

069 · Pendiente y ecuación de la recta

Parte 03 · clase 9 de 20 · demostración line_equation

La forma general Ax + By + C = 0 es la misma expresión que la frontera de decisión de un clasificador lineal.

explícita: y = mx + b
general: Ax + By + C = 0
perpendicular: m⊥ = −1/m

Fundamentos

Una recta admite varias escrituras y cada una sirve para algo distinto. La forma explícita y = mx + b es cómoda para evaluar y graficar, pero no puede representar rectas verticales (pendiente infinita). La forma general Ax + By + C = 0 no tiene esa limitación y es la que se usa en geometría computacional.

La forma general tiene además una lectura vectorial importante: el vector (A, B) es normal a la recta, es decir, perpendicular a ella. Y esa observación es la que conecta esta clase con machine learning: la frontera de decisión de un clasificador lineal es wᵀx + b = 0, exactamente la misma ecuación, donde w es el vector normal. El signo de wᵀx + b dice de qué lado cae un punto, que es literalmente la predicción.

La condición de perpendicularidad m·m⊥ = −1 se deduce de que los vectores directores deben tener producto punto nulo. Es un caso particular de ortogonalidad, concepto que la parte 05 generaliza a cualquier dimensión.

Calcular la pendiente entre dos puntos exige cuidado numérico: si las abscisas son casi iguales, la resta del denominador sufre cancelación (clase 032) y la pendiente resultante es ruido. En geometría computacional se prefiere la forma general precisamente por eso.

Ejemplo trabajado

Recta por (1,2) y (5,10).

pendiente:  m = (10 − 2)/(5 − 1) = 2
intercepto: b = 2 − 2·1 = 0

explícita: y = 2x
general:   2x − y + 0 = 0        →  A = 2, B = −1, C = 0

Verificación en (1,2):  2·1 − 1·2 + 0 = 0    ✓

Vector normal: (2, −1)
Pendiente perpendicular: −1/2

Lectura en ML:
  w = (2, −1),  b = 0
  clasificador: signo(wᵀx + b)

Qué ejecuta el laboratorio

Recta en forma pendiente-intercepto y en forma general.

compmath run 069

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar la forma explícita para rectas verticales.
2. Calcular la pendiente con abscisas casi iguales sin considerar la cancelación.
3. Confundir el vector normal (A,B) con el vector director (B,−A).

Dónde se usa

Fronteras de decisión lineales, detección de colisiones, ajuste de rectas y geometría computacional en general.

Bibliografía de la clase

• Hastie, Tibshirani & Friedman. The Elements of Statistical Learning, 2ª ed., 2009, cap. 4 — Estadística e inferencia y Machine learning: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780387848570 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Stewart, J. Precalculus, 7ª ed., Cengage, 2015 — Álgebra y funciones: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

070 · Distancia punto-recta

Parte 03 · clase 10 de 20 · demostración point_line_distance

La distancia de un punto a una recta es la misma fórmula que define el margen de una SVM.

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
pie de perpendicular: p − ((Ap₁+Bp₂+C)/(A²+B²))·(A,B)

Fundamentos

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que los une, y esa longitud tiene fórmula cerrada. El numerador |Ax₀ + By₀ + C| mide cuánto «falla» el punto la ecuación de la recta; el denominador √(A²+B²) normaliza por la longitud del vector normal, para que el resultado sea una distancia y no dependa de cómo se escaló la ecuación.

Esa normalización es exactamente lo que ocurre en una SVM. El margen geométrico de un punto respecto al hiperplano wᵀx + b = 0 es |wᵀx + b| / ‖w‖, la misma expresión. Maximizar el margen equivale entonces a minimizar ‖w‖ sujeto a que todos los puntos queden bien clasificados, que es precisamente el problema de la clase 289.

El pie de perpendicular es el punto de la recta más cercano, y calcularlo es proyectar. La comprobación es doble: el pie debe satisfacer la ecuación de la recta, y la distancia del punto al pie debe coincidir con la fórmula. El laboratorio verifica ambas cosas.

La generalización a un hiperplano en ℝⁿ es inmediata y no requiere ideas nuevas: la fórmula es idéntica con más términos. Esa es la ventaja de haber escrito la recta en forma general en lugar de explícita.

Ejemplo trabajado

Distancia del punto (2,7) a la recta 3x − 4y + 5 = 0.

numerador:   |3·2 − 4·7 + 5| = |6 − 28 + 5| = 17
denominador: √(9 + 16) = 5
distancia:   17/5 = 3.4

Pie de perpendicular:
  t = (3·2 − 4·7 + 5)/(9+16) = −17/25 = −0.68
  pie = (2 − 3·(−0.68), 7 − (−4)·(−0.68)) = (4.04, 4.28)

Verificaciones:
  3·4.04 − 4·4.28 + 5 = 0        ✓ el pie está en la recta
  dist((2,7), (4.04,4.28)) = 3.4  ✓ coincide con la fórmula

Qué ejecuta el laboratorio

Distancia de un punto a una recta y su proyección.

compmath run 070

Errores conceptuales frecuentes

1. Olvidar el valor absoluto en el numerador y obtener distancias negativas.
2. No normalizar por √(A²+B²): el resultado deja de ser una distancia.
3. Suponer que la fórmula solo vale en 2D: se generaliza sin cambios.

Dónde se usa

Margen de una SVM, detección de colisiones, clustering basado en distancia a fronteras y métricas de separabilidad.

Bibliografía de la clase

• Cortes, C.; Vapnik, V. Support-Vector Networks. Machine Learning, 1995 — Machine learning y Métodos de kernel: conexión declarada de esta parte · DOI 10.1007/bf00994018 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Hartley & Zisserman. Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., Cambridge, 2004 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

071 · Circunferencias y cónicas

Parte 03 · clase 11 de 20 · demostración conics

La excentricidad clasifica las cónicas en una única familia continua.

circunferencia: x² + y² = r²
elipse: x²/a² + y²/b² = 1,  c = √(a²−b²),  e = c/a
parábola y = x²: foco en (0, 1/4)

Fundamentos

Las cónicas —circunferencia, elipse, parábola e hipérbola— son las curvas que resultan de cortar un cono con un plano, y ese origen común explica que compartan una descripción unificada. La excentricidad e es el parámetro que las distingue: 0 para la circunferencia, entre 0 y 1 para la elipse, exactamente 1 para la parábola y mayor que 1 para la hipérbola.

No son una curiosidad clásica. Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco (primera ley de Kepler); las antenas parabólicas concentran las señales paralelas en el foco; las curvas de nivel de una forma cuadrática definida positiva son elipses, hecho central en la parte 06 y en la parte 12, donde la forma de esas elipses determina lo rápido que converge el descenso de gradiente.

Esa última conexión merece énfasis. Cuando la función objetivo tiene curvas de nivel muy alargadas —elipses de excentricidad alta—, el gradiente apunta casi perpendicular a la dirección del mínimo y el descenso zigzaguea. El cociente entre los semiejes es precisamente el número de condición del Hessiano.

La propiedad focal de la parábola —todos los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco— es la que la hace útil en antenas y faros, y se demuestra con geometría elemental.

Ejemplo trabajado

Tres cónicas y sus parámetros.

Circunferencia x² + y² = 9
  radio 3,  área = π·9 = 28.27,  e = 0

Elipse x²/25 + y²/9 = 1
  a = 5 (semieje mayor), b = 3 (semieje menor)
  c = √(25 − 9) = 4        (distancia focal)
  e = c/a = 0.8            (bastante alargada)

Parábola y = x²
  foco en (0, 0.25),  e = 1

Lectura en optimización:
  curvas de nivel de x² + 20y² → elipse con e alta
  → el descenso de gradiente zigzaguea

Qué ejecuta el laboratorio

Circunferencia, elipse y parábola desde su ecuación.

compmath run 071

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir el semieje mayor con el menor al calcular la distancia focal.
2. Suponer que las órbitas planetarias son circulares.
3. Olvidar que la excentricidad de una elipse informa sobre el condicionamiento del problema asociado.

Dónde se usa

Órbitas, óptica, curvas de nivel de formas cuadráticas y diagnóstico de convergencia en optimización.

Bibliografía de la clase

• Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2ª ed., Wiley, 1989 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780471504580 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Nocedal & Wright. Numerical Optimization, 2ª ed., Springer, 2006 — Métodos numéricos y Optimización: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

072 · Vectores geométricos 2D

Parte 03 · clase 12 de 20 · demostración vectors_2d

El producto punto mide alineación; la norma mide magnitud; juntos dan el ángulo.

u·v = Σuᵢvᵢ = ‖u‖‖v‖cos θ
‖u‖ = √(u·u)
u ⊥ v  ⟺  u·v = 0

Fundamentos

Un vector admite dos lecturas que conviene mantener a la vez: es una lista de números y es una flecha con dirección y magnitud. El producto punto conecta ambas: definido algebraicamente como suma de productos componente a componente, resulta ser geométricamente ‖u‖‖v‖cos θ. Esa identidad es la que convierte el álgebra en geometría.

De ella se lee todo lo demás. Si el producto punto es positivo, los vectores apuntan hacia el mismo semiespacio; si es cero, son ortogonales; si es negativo, se oponen. La ortogonalidad como «producto punto nulo» es la definición que se generaliza a cualquier dimensión, donde el concepto de «ángulo recto» ya no es visualizable.

Normalizar un vector —dividirlo por su norma— separa dirección de magnitud. Comparar direcciones exige normalizar primero, y esa operación es exactamente la que define la similitud coseno, la métrica estándar entre embeddings (clase 322). Comparar sin normalizar mezcla «de qué habla» con «cuánto texto es», que casi nunca es lo que se quiere.

Este es el punto donde la parte 03 entrega el testigo a la parte 05: todo lo dicho aquí en dos dimensiones vale sin cambios en 768, con la salvedad de que la intuición visual deja de funcionar y hay que confiar en el álgebra.

Ejemplo trabajado

Dos vectores perpendiculares.

u = (3, 4),  v = (−4, 3)

‖u‖ = √(9+16) = 5
‖v‖ = √(16+9) = 5

u·v = 3·(−4) + 4·3 = −12 + 12 = 0     → ortogonales ✓

cos θ = 0/(5·5) = 0  →  θ = 90°

u normalizado: (0.6, 0.8),  norma = 1.0    ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Vector como dirección y magnitud; ángulo entre vectores.

compmath run 072

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar direcciones sin normalizar los vectores.
2. Confundir el producto punto (escalar) con el producto componente a componente (vector).
3. Calcular el ángulo con acos sin acotar el argumento a [−1,1]: el redondeo puede sacarlo del dominio.

Dónde se usa

Similitud coseno entre embeddings, proyecciones, detección de ortogonalidad, iluminación en gráficos (producto punto entre normal y dirección de luz) y capas densas.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 1 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• 3Blue1Brown. Essence of Linear Algebra — Álgebra lineal: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.3blue1brown.com (2026-08-19).

073 · Transformaciones: traslación y escala

Parte 03 · clase 13 de 20 · demostración translation_scale

Las coordenadas homogéneas convierten la traslación —que no es lineal— en una multiplicación de matrices.

punto homogéneo: (x, y, 1)
traslación: [[1,0,tx],[0,1,ty],[0,0,1]]
escala: [[sx,0,0],[0,sy,0],[0,0,1]]

Fundamentos

La traslación tiene un problema estructural: no es una transformación lineal. Una transformación lineal debe mandar el origen al origen, y trasladar precisamente lo mueve. Eso impide componerla con rotaciones y escalas usando un único producto de matrices, que es lo que la hace incómoda.

Las coordenadas homogéneas resuelven el problema con un truco elegante: se añade una coordenada extra fija a 1, de modo que un punto del plano se representa como (x, y, 1) en ℝ³. En ese espacio ampliado, la traslación sí es lineal, y se escribe como una matriz 3×3 cuya última columna contiene el desplazamiento.

La ganancia es enorme en la práctica. Toda la cadena de transformaciones de un vértice —modelo, mundo, vista, proyección— se compone en una única matriz que se calcula una vez y se aplica a millones de vértices con un solo producto. Es la razón por la que las GPU están optimizadas para multiplicar matrices 4×4.

El orden de composición importa y es la fuente de errores más común: T·S escala y luego traslada; S·T traslada y luego escala, con lo que el desplazamiento también se escala. El laboratorio comprueba que ambos productos dan resultados distintos, que es la forma más directa de recordarlo.

Ejemplo trabajado

Trasladar y escalar el punto (2,3), en los dos órdenes.

punto homogéneo: (2, 3, 1)

T (traslación +5, −2)     S (escala ×2, ×0.5)
[1 0  5]                  [2   0 0]
[0 1 −2]                  [0 0.5 0]
[0 0  1]                  [0   0 1]

T·(2,3,1) = (7, 1, 1)
S·(2,3,1) = (4, 1.5, 1)

T·S aplicado a (2,3,1) = (9, −0.5, 1)     escala y luego traslada
S·T aplicado a (2,3,1) = (14, −0.5, 1)    traslada y luego escala

¿iguales?  No.  El orden importa.

Qué ejecuta el laboratorio

Traslación y escala en coordenadas homogéneas.

compmath run 073

Errores conceptuales frecuentes

1. Componer transformaciones en el orden equivocado.
2. Olvidar la coordenada homogénea 1 al construir el punto.
3. Suponer que la traslación es una transformación lineal en coordenadas normales.

Dónde se usa

Pipeline gráfico, robótica (matrices de transformación homogénea entre articulaciones), visión artificial y cualquier composición de transformaciones afines.

Bibliografía de la clase

• Hartley & Zisserman. Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., 2004, cap. 2 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Lengyel, E. Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, 3ª ed., 2011 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

074 · Rotaciones 2D

Parte 03 · clase 14 de 20 · demostración rotation_2d

Una matriz de rotación es ortogonal y de determinante 1: preserva normas, ángulos y orientación.

R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]
RᵀR = I,  det R = 1
R(α)·R(β) = R(α+β)

Fundamentos

La matriz de rotación se construye viendo a dónde van los vectores de la base: (1,0) va a (cos θ, sin θ) y (0,1) va a (−sin θ, cos θ). Esas dos imágenes son las columnas de la matriz. Este método —las columnas de una matriz son las imágenes de la base— es general y es la forma correcta de leer cualquier matriz de transformación (clase 123).

Dos propiedades la caracterizan. Es ortogonal, RᵀR = I, lo que significa que su inversa es su transpuesta: deshacer una rotación es transponer, sin necesidad de invertir. Y su determinante es 1, lo que indica que preserva áreas y orientación (una reflexión tendría determinante −1).

La consecuencia numérica es importante: las transformaciones ortogonales no amplifican el error. Su número de condición es 1, el mejor posible. Por eso los algoritmos numéricamente estables se construyen con rotaciones y reflexiones (Givens, Householder) en lugar de con transformaciones generales, y por eso la factorización QR es preferible a las ecuaciones normales (clase 234).

La composición de rotaciones suma ángulos, R(α)R(β) = R(α+β), lo que se demuestra con las fórmulas de suma de la clase 066. En 2D las rotaciones conmutan; en 3D no, y esa es una de las diferencias más importantes entre ambos casos.

Ejemplo trabajado

Rotar (1,0) noventa grados.

R(90°) = [[cos 90, −sin 90], [sin 90, cos 90]]
       = [[0, −1], [1, 0]]

R·(1,0) = (0, 1)          ✓ el eje x va al eje y

det R = 0·0 − (−1)·1 = 1            ✓ preserva área y orientación
RᵀR   = [[1,0],[0,1]] = I           ✓ ortogonal

‖(1,0)‖ = 1,  ‖R(1,0)‖ = 1          ✓ preserva la norma

Cuatro rotaciones de 90° = identidad

Qué ejecuta el laboratorio

Matriz de rotación: ortogonal y de determinante 1.

compmath run 074

Errores conceptuales frecuentes

1. Colocar el signo negativo en la posición equivocada de la matriz.
2. Invertir una matriz de rotación en lugar de transponerla.
3. Suponer que las rotaciones en 3D conmutan.

Dónde se usa

Gráficos, robótica, aumento de datos por rotación, factorizaciones QR estables y transformaciones ortogonales en general.

Bibliografía de la clase

• Trefethen & Bau. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, lecc. 10 — Álgebra lineal y Álgebra lineal numérica: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780898719574 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Lengyel, E. Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, 3ª ed., 2011 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.

075 · Matrices de transformación

Parte 03 · clase 15 de 20 · demostración transform_matrices

El valor absoluto del determinante es el factor por el que la transformación multiplica las áreas; su signo indica si invierte la orientación.

área transformada = |det M| · área original
det R = 1 (rotación),  det S = sx·sy (escala),  det F = −1 (reflexión)

Fundamentos

El determinante de una matriz 2×2 tiene una interpretación geométrica precisa: es el área con signo del paralelogramo que forman sus columnas. Como las columnas son las imágenes de los vectores de la base —que forman un cuadrado de área 1—, el determinante es exactamente el factor por el que la transformación escala las áreas.

El signo aporta información adicional: si es negativo, la transformación invierte la orientación, es decir, convierte un recorrido antihorario en horario. Las reflexiones tienen determinante negativo; las rotaciones, positivo. Un determinante nulo significa que la transformación aplasta el plano sobre una recta o un punto: pierde información y no es invertible.

Esta lectura hace comprensible por qué det(AB) = det(A)·det(B): aplicar dos transformaciones escala el área por el producto de sus factores. Y por qué una matriz con determinante cero no tiene inversa: no se puede recuperar un área a partir de algo que quedó aplastado.

La generalización a n dimensiones es directa: el determinante es el factor de escalado del volumen n-dimensional. Ese hecho es el que aparece en el cambio de variable de una integral múltiple (clase 173) y en el jacobiano de una transformación de variables aleatorias, donde el determinante corrige la densidad.

Ejemplo trabajado

Tres transformaciones y su determinante.

Rotación 45°:   det = 1        preserva área, mantiene orientación
Escala ×2:      det = 4        cuadruplica el área (2·2)
Reflexión en x: det = −1       preserva área, INVIERTE orientación

Composición R·S aplicada a (1,1):
  primero escala ×2 → (2,2)
  luego rota 45°    → (0, 2.83)

det(R·S) = det(R)·det(S) = 1·4 = 4     ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Composición de rotación, escala y reflexión.

compmath run 075

Errores conceptuales frecuentes

1. Ignorar el signo del determinante y perder la información de orientación.
2. Suponer que determinante cero significa «error» en lugar de «transformación no invertible».
3. Confundir el determinante con la traza.

Dónde se usa

Cambio de variable en integrales múltiples, jacobiano en transformaciones de distribuciones, detección de degeneración en geometría computacional y normalizing flows.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 5 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• 3Blue1Brown. The determinant — Álgebra lineal: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en www.3blue1brown.com (2026-08-19).

076 · Coordenadas polares

Parte 03 · clase 16 de 20 · demostración polar_coordinates

Las coordenadas polares describen un punto por distancia y ángulo; atan2 hace la conversión inversa correctamente.

r = √(x²+y²),  θ = atan2(y, x)
x = r·cos θ,  y = r·sin θ

Fundamentos

Elegir el sistema de coordenadas adecuado puede convertir un problema difícil en uno trivial. Una circunferencia en cartesianas es x² + y² = r²; en polares es simplemente r = constante. Los problemas con simetría radial —campos centrales, difusión desde un punto, patrones de radiación— se simplifican radicalmente al cambiar de coordenadas.

La conversión de cartesianas a polares exige atan2 por la razón de la clase 065: el cociente y/x no distingue cuadrantes opuestos. Con atan2(y, x) el ángulo sale correcto en los cuatro cuadrantes y en los ejes, incluido el caso x = 0 que rompería la división.

La conversión no es biyectiva sin restricciones: el ángulo está determinado salvo múltiplos de 2π, y el origen (r = 0) no tiene ángulo definido. Al implementar hay que decidir el rango del ángulo —habitualmente (−π, π]— y documentarlo, porque comparar ángulos de rangos distintos produce discrepancias.

En dimensiones superiores el análogo son las coordenadas esféricas, y en la parte 09 aparece el mismo cambio de variable al deducir la distribución normal multivariante. El jacobiano de la transformación —r en polares— es el factor que la clase 075 explicó.

Ejemplo trabajado

Convertir (−3, 4) a polares y volver.

r = √(9 + 16) = 5
θ = atan2(4, −3) = 2.2143 rad = 126.87°     (cuadrante II) ✓

Vuelta a cartesianas:
  x = 5·cos(2.2143) = −3.0
  y = 5·sin(2.2143) =  4.0                  ✓ roundtrip exacto

Con atan(4/−3) se habría obtenido −0.9273 rad = −53.13°,
que es el cuadrante IV: incorrecto.

Qué ejecuta el laboratorio

Conversión cartesiana ↔ polar y su ida y vuelta.

compmath run 076

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar atan en lugar de atan2 y perder el cuadrante.
2. No declarar el rango del ángulo devuelto.
3. Intentar definir el ángulo del origen.

Dónde se usa

Problemas con simetría radial, patrones de radiación, transformadas en coordenadas polares, robótica y representación de fase y magnitud en señales complejas.

Bibliografía de la clase

• Python: math.atan2 y cmath.polar — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Stewart, J. Calculus, 8ª ed., Cengage, 2015, cap. 10 — Cálculo: el tema de esta clase · ISBN-13 9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

077 · Geometría 3D y planos

Parte 03 · clase 17 de 20 · demostración planes_3d

El producto cruz da un vector ortogonal a dos dados, y su norma es el área del paralelogramo que forman.

a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)
‖a × b‖ = ‖a‖‖b‖ sin θ = área del paralelogramo
plano: n·(x − p₀) = 0

Fundamentos

En tres dimensiones aparece una operación sin análogo en 2D: el producto cruz, que a dos vectores les asocia un tercero perpendicular a ambos. Su norma es el área del paralelogramo que forman, y su sentido lo da la regla de la mano derecha. Es una operación específica de ℝ³ —no se generaliza a dimensión arbitraria sin cambiar de formalismo—, y por eso es tan característica de la geometría espacial.

Un plano queda determinado por un punto y un vector normal: la ecuación n·(x − p₀) = 0 dice que el vector que va de p₀ a x es perpendicular a n. Como el producto cruz de dos vectores del plano da su normal, dos direcciones bastan para definir un plano.

La distancia de un punto a un plano se calcula con la misma estructura que la distancia punto-recta de la clase 070: producto punto con la normal, dividido por la norma de la normal. Cambia la dimensión, no la idea, y esa es la ventaja de haber entendido la versión 2D correctamente.

En gráficos por computador las normales son omnipresentes: determinan la iluminación (el brillo depende del producto punto entre la normal y la dirección de la luz), la orientación de una cara y si un polígono mira hacia la cámara o hacia el lado opuesto (backface culling).

Ejemplo trabajado

Normal al plano z = 0 y distancia de un punto.

a = (1,0,0),  b = (0,1,0)

a × b = (0·0 − 0·1, 0·0 − 1·0, 1·1 − 0·0) = (0, 0, 1)

Verificaciones:
  (a×b)·a = 0        ✓ ortogonal a a
  (a×b)·b = 0        ✓ ortogonal a b
  ‖a×b‖ = 1          = área del cuadrado unitario ✓

Distancia de (2,3,5) al plano z = 0:
  |(0,0,1)·(2,3,5)| / ‖(0,0,1)‖ = 5/1 = 5

Qué ejecuta el laboratorio

Plano por su normal, distancia de un punto y producto cruz.

compmath run 077

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que el producto cruz es conmutativo: a×b = −(b×a).
2. Usar el producto cruz en dimensiones distintas de 3.
3. Olvidar normalizar la normal antes de usarla en cálculos de iluminación.

Dónde se usa

Iluminación y sombreado, orientación de superficies, detección de caras traseras, cinemática de sólidos rígidos y momento de fuerzas en física.

Bibliografía de la clase

• Lengyel, E. Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, 3ª ed., 2011 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023 — Álgebra lineal: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

078 · Proyecciones y perspectiva

Parte 03 · clase 18 de 20 · demostración projection

La perspectiva divide por la profundidad, y esa división es lo que hace que los objetos lejanos se vean pequeños.

proyección ortogonal sobre u: proj_u(x) = (x·u/u·u)·u
perspectiva: x' = f·x/z,  y' = f·y/z

Fundamentos

Hay dos proyecciones distintas y conviene no mezclarlas. La proyección ortogonal sobre una dirección es una operación lineal que descompone un vector en una componente paralela y otra perpendicular. Es la base de PCA (clase 135), de mínimos cuadrados (clase 119) y de cualquier «cuánto de esta dirección hay en este vector».

La proyección en perspectiva es otra cosa: divide las coordenadas por la profundidad, y por eso no es lineal. Es la que reproduce cómo vemos: dos objetos del mismo tamaño a distancias distintas ocupan ángulos distintos en la retina. La división por z es exactamente lo que hace que las vías del tren converjan en el horizonte.

La proyección ortogonal viene acompañada de un teorema de Pitágoras: si x = p + r con p la proyección y r el residuo ortogonal, entonces ‖x‖² = ‖p‖² + ‖r‖². Comprobar esa identidad es la verificación estándar de que una proyección se calculó bien, y el laboratorio la incluye.

Que la perspectiva no sea lineal explica por qué las coordenadas homogéneas de la clase 073 son imprescindibles en gráficos: la división por z se difiere hasta el final (la «división de perspectiva») y todo lo anterior se mantiene como productos de matrices.

Ejemplo trabajado

Proyección ortogonal y perspectiva.

Ortogonal de v = (4,3) sobre u = (1,0):
  coef = (v·u)/(u·u) = 4/1 = 4
  proyección = (4, 0)
  residuo    = (0, 3)
  residuo·u  = 0                    ✓ ortogonal
  Pitágoras: 25 = 16 + 9            ✓

Perspectiva con f = 2, z = 5:
  x' = 2·4/5 = 1.6
  el mismo punto a z = 10 daría 0.8
  → al doblar la distancia, el tamaño se reduce a la mitad

Qué ejecuta el laboratorio

Proyección ortogonal de un vector y proyección en perspectiva.

compmath run 078

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir proyección ortogonal (lineal) con perspectiva (no lineal).
2. Olvidar dividir por (u·u) cuando u no es unitario.
3. Dividir por z sin comprobar que es no nulo (plano de recorte cercano).

Dónde se usa

Pipeline gráfico, calibración de cámaras, PCA, mínimos cuadrados y descomposición ortogonal en general.

Bibliografía de la clase

• Hartley & Zisserman. Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., 2004 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 4 — Álgebra lineal: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

079 · Aplicaciones en visión, robótica y videojuegos

Parte 03 · clase 19 de 20 · demostración applications_pipeline

El pipeline geométrico encadena modelo, mundo, cámara y pantalla como una composición de transformaciones.

x_pantalla = Proyección · Vista · Modelo · x_local
perspectiva final: (f·x/z, f·y/z)

Fundamentos

Todo sistema que dibuja o interpreta escenas tridimensionales ejecuta la misma secuencia de cambios de coordenadas. El objeto se define en su espacio local; una matriz de modelo lo coloca en el mundo; una matriz de vista lo lleva al sistema de la cámara; y una proyección lo pasa a pantalla. Cada etapa es una transformación, y componerlas es multiplicar sus matrices.

La ventaja de esta arquitectura es de reutilización: un mismo modelo 3D se puede colocar cien veces en la escena cambiando solo la matriz de modelo, sin tocar sus vértices. Y la composición se calcula una vez por objeto, no una vez por vértice.

El orden de multiplicación es la fuente inagotable de errores, y no hay atajo: hay que fijar una convención (fila o columna, premultiplicar o posmultiplicar) y respetarla en todo el sistema. Las bibliotecas difieren entre sí, y mezclar dos convenciones produce escenas que se ven «casi bien».

El mismo pipeline, recorrido al revés, es el problema de la visión artificial: dada una imagen, recuperar la geometría de la escena. Ahí la división por z se convierte en la ambigüedad fundamental —no se puede distinguir un objeto pequeño y cercano de uno grande y lejano sin información adicional— y de ahí nacen la estereovisión y la estructura a partir del movimiento.

Ejemplo trabajado

Un punto recorriendo las cuatro etapas.

1. espacio modelo:   (1, 1, 1)

2. rotación 30° en Z → mundo:
   (0.366, 1.366, 1.0)

3. cámara desplazada 4 en Z:
   (0.366, 1.366, 5.0)

4. proyección con f = 1.5:
   x' = 1.5·0.366/5 = 0.1098
   y' = 1.5·1.366/5 = 0.4098

Etapas: modelo → mundo → cámara → proyección → pantalla

Qué ejecuta el laboratorio

Pipeline geométrico típico: modelo → mundo → cámara → pantalla.

compmath run 079

Errores conceptuales frecuentes

1. Mezclar convenciones de fila y columna entre bibliotecas.
2. Aplicar la proyección antes que la transformación de vista.
3. Olvidar el plano de recorte cercano y dividir por z ≈ 0.

Dónde se usa

Motores de videojuegos, realidad aumentada, calibración de cámaras, robótica y reconstrucción 3D.

Bibliografía de la clase

• Hartley & Zisserman. Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., 2004 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780511186189 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Akenine-Möller, Haines & Hoffman. Real-Time Rendering, 4ª ed., CRC Press, 2018 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9780429225406 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

080 · Capstone: motor geométrico 2D

Parte 03 · clase 20 de 20 · demostración capstone_geometry_engine

El área de un polígono transformado es la original multiplicada por el valor absoluto del determinante.

fórmula del cordón: A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|
A' = |det M| · A

Fundamentos

El capstone reúne las tres ideas centrales de la parte: una matriz es una transformación, componerlas es multiplicarlas, y el determinante mide cómo cambian las áreas. Se construye un motor mínimo que aplica una transformación compuesta a un polígono y comprueba la relación entre áreas.

El área se calcula con la fórmula del cordón (o de Gauss), que suma productos cruzados de vértices consecutivos. Es un resultado notable: el área de un polígono arbitrario se obtiene recorriendo su frontera, sin necesidad de triangularlo. El signo de la suma indica además el sentido del recorrido, información que se usa para detectar orientación en geometría computacional.

La verificación central es que área_transformada = |det M| · área_original. Que se cumpla para un cuadrado rotado y escalado no es sorprendente; que se cumpla para cualquier polígono es el contenido geométrico del determinante, y comprobarlo numéricamente cierra la parte con una relación que se usará en integración múltiple y en transformación de densidades.

Un motor así, con unas pocas decenas de líneas, es el núcleo de cualquier sistema de gráficos 2D. Lo que añaden las bibliotecas reales es rendimiento, antialiasing y gestión de recursos; la matemática es exactamente esta.

Ejemplo trabajado

Cuadrado unitario rotado 45° y escalado ×2.

polígono original: (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
área (cordón): 1.0

M = R(45°) · S(2)
  = [[1.414, −1.414], [1.414, 1.414]]

polígono transformado:
  (0,0), (1.414, 1.414), (0, 2.828), (−1.414, 1.414)

área transformada: 4.0
det M = 1.414² + 1.414² = 4.0

Verificación: 1.0 × |4.0| = 4.0     ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Capstone: motor 2D que compone transformaciones sobre un polígono.

compmath run 080

Errores conceptuales frecuentes

1. Recorrer los vértices del polígono en orden no consecutivo al aplicar la fórmula del cordón.
2. Olvidar el valor absoluto y obtener áreas negativas.
3. Aplicar las transformaciones en el orden equivocado al componerlas.

Dónde se usa

Motores gráficos 2D, cálculo de áreas en SIG, detección de orientación de polígonos y cambio de variable en integrales.

Bibliografía de la clase

• Shoelace formula — Wolfram MathWorld — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en Wolfram Research (2026-08-19).
• de Berg, M. et al. Computational Geometry, 3ª ed., Springer, 2008 — Geometría y trigonometría: el tema de esta clase · ISBN-13 9783540779742 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

081 · Lógica proposicional

Parte 04 · clase 1 de 20 · demostración propositional_logic

Una implicación equivale a su contrarrecíproca, nunca a su recíproca.

p → q ≡ ¬p ∨ q
p → q ≡ ¬q → ¬p   (contrarrecíproca)
p → q ≢ q → p     (recíproca)

Fundamentos

La lógica proposicional asigna un valor de verdad a cada enunciado y define cómo se combinan. El conector que causa más problemas es la implicación, porque su definición formal no coincide con el uso coloquial: p → q es falsa únicamente cuando p es verdadera y q falsa. Si p es falsa, la implicación es verdadera sea cual sea q, lo que se llama verdad vacua.

Esa definición tiene una consecuencia práctica inmediata: «todos los elementos de la lista vacía cumplen la condición» es cierto, y por eso all([]) devuelve True en Python. No es una rareza del lenguaje: es la lógica correcta.

La equivalencia con la contrarrecíproca es la herramienta de demostración más útil de toda la matemática. Probar «si n² es par entonces n es par» directamente es incómodo; probar «si n es impar entonces n² es impar» es inmediato. Ambas afirmaciones son la misma, y elegir la más fácil es legítimo.

Confundir una implicación con su recíproca es la falacia más extendida. «Si llueve, el suelo está mojado» no permite concluir «si el suelo está mojado, llovió». En estadística la misma confusión es la falacia del fiscal: P(evidencia | inocente) pequeña no implica P(inocente | evidencia) pequeña, tema de la clase 186.

Ejemplo trabajado

Tabla de verdad de las tres formas.

p      q      p→q    q→p (recíproca)   ¬q→¬p (contrarrecíproca)
V      V       V           V                    V
V      F       F           V                    F
F      V       V           F                    V
F      F       V           V                    V

¿p→q ≡ contrarrecíproca?  Sí, columnas idénticas      ✓
¿p→q ≡ recíproca?         No, difieren en 2 filas     ✗

Verdad vacua: si p es falsa, p→q es verdadera siempre.
Por eso all([]) == True.

Qué ejecuta el laboratorio

Implicación, contrarrecíproca y recíproca no son lo mismo.

compmath run 081

Errores conceptuales frecuentes

1. Concluir la recíproca a partir de una implicación demostrada.
2. Interpretar la verdad vacua como un error del sistema formal.
3. Leer «si p entonces q» como «p si y solo si q».

Dónde se usa

Demostración por contrarrecíproca, diseño de condiciones en código, especificación de contratos y la lógica de las pruebas de hipótesis (parte 10).

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., McGraw-Hill, 2019, cap. 1 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Velleman, D. How to Prove It, 3ª ed., Cambridge, 2019 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9781108539890 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

082 · Tablas de verdad y equivalencias

Parte 04 · clase 2 de 20 · demostración truth_tables

Las leyes de De Morgan rigen cómo se niega una condición compuesta.

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p ⊕ q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

Fundamentos

Una tabla de verdad decide cualquier equivalencia proposicional por fuerza bruta: se evalúan las dos fórmulas en las 2ⁿ asignaciones posibles y se comparan. Es un método completo —siempre da respuesta— y de coste exponencial, lo que anticipa por qué SAT es un problema difícil (clase 097).

Las leyes de De Morgan son las que más se usan sin nombrarlas. Al negar una condición compuesta, la conjunción se convierte en disyunción y viceversa, y cada término se niega. En código: la negación de edad >= 18 and tiene_permiso es edad < 18 or not tiene_permiso, no edad < 18 and not tiene_permiso. Ese error produce condiciones que parecen razonables y filtran mal.

Una tautología es verdadera bajo toda asignación; una contradicción, falsa bajo todas. Detectarlas importa porque señalan código muerto: una condición tautológica siempre se cumple y su rama alternativa nunca se ejecuta.

El XOR merece mención aparte: es verdadero cuando los operandos difieren, y tiene la propiedad de ser su propia inversa, (a ⊕ b) ⊕ b = a. Esa propiedad lo hace omnipresente en criptografía, en sumas de comprobación y en el intercambio de variables sin memoria auxiliar.

Ejemplo trabajado

Verificar De Morgan exhaustivamente.

4 casos evaluados (2² asignaciones)

p  q  | ¬(p∧q)  ¬p∨¬q  | ¬(p∨q)  ¬p∧¬q
V  V  |   F       F    |   F       F
V  F  |   V       V    |   F       F
F  V  |   V       V    |   F       F
F  F  |   V       V    |   V       V

Ambas leyes: columnas idénticas    ✓

Tautología:    p ∨ ¬p  → V en las 4 filas
Contradicción: p ∧ ¬p  → F en las 4 filas

XOR: (V,V)→F  (V,F)→V  (F,V)→V  (F,F)→F

Qué ejecuta el laboratorio

Leyes de De Morgan verificadas exhaustivamente.

compmath run 082

Errores conceptuales frecuentes

1. Negar una conjunción sin cambiarla por disyunción.
2. Olvidar negar todos los términos al aplicar De Morgan.
3. Usar & y | (bit a bit) donde correspondía and y or (lógicos) en Python.

Dónde se usa

Simplificación de condiciones, optimización de consultas SQL, diseño de circuitos digitales y refactorización de código con lógica compleja.

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Knuth, D. The Art of Computer Programming, vol. 4A, 2011 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta y Teoría de números: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

083 · Lógica de predicados y cuantificadores

Parte 04 · clase 3 de 20 · demostración predicate_logic

Intercambiar dos cuantificadores cambia el significado de la afirmación.

¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
∀x ∃y Q(x,y)   ≢   ∃y ∀x Q(x,y)

Fundamentos

La lógica de predicados añade a la proposicional la capacidad de hablar sobre objetos de un universo. ∀x P(x) afirma que P vale para todos; ∃x P(x), que vale para al menos uno. La negación intercambia los cuantificadores y niega el predicado, que es la forma general de la regla que la clase 019 aplicó al contraejemplo.

El punto delicado es el orden. ∀x ∃y (y > x) dice que para cada x existe alguien mayor —cierto en los naturales—. ∃y ∀x (y > x) dice que existe un número mayor que todos —falso—. Las mismas palabras en distinto orden afirman cosas distintas, y en un conjunto finito la segunda puede ser cierta mientras que en uno infinito no.

Esta distinción no es académica. La definición de límite —«para todo ε existe un δ»— tiene ese orden y no el contrario: δ puede depender de ε. La convergencia uniforme exige el orden inverso —«existe un δ que sirve para todo ε»— y por eso es una condición más fuerte. Toda la parte 07 se apoya en leer esos cuantificadores correctamente.

En teoría del aprendizaje (parte 17) los enunciados PAC tienen la misma estructura: para todo ε y δ, existe un tamaño muestral m tal que... Leer mal el orden convierte una garantía útil en una afirmación trivial o imposible.

Ejemplo trabajado

El orden de los cuantificadores en {1,...,6}.

Universo: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∀x par(x)   → Falso  (1 no es par)
∃x par(x)   → Verdadero

Negación: ¬(∀x par(x)) ≡ ∃x ¬par(x)  → Verdadero  ✓

∀x ∃y (y > x):  ¿para cada x hay alguien mayor?
  x=6 → no hay ninguno mayor en el universo → Falso

∃y ∀x (y > x):  ¿hay uno mayor que todos?
  ningún y supera a sí mismo → Falso

En ℕ (infinito): el primero sería Verdadero y el segundo Falso.
El orden importa.

Qué ejecuta el laboratorio

Cuantificadores: el orden cambia el significado.

compmath run 083

Errores conceptuales frecuentes

1. Intercambiar cuantificadores al reescribir una definición.
2. Negar un cuantificador sin cambiarlo por el otro.
3. Olvidar declarar el universo sobre el que se cuantifica.

Dónde se usa

Definiciones de límite y continuidad, especificación formal de sistemas, cotas de aprendizaje PAC y verificación de programas.

Bibliografía de la clase

• Velleman, D. How to Prove It, 3ª ed., Cambridge, 2019 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9781108539890 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Shalev-Shwartz & Ben-David. Understanding Machine Learning. Cambridge, 2014 — Machine learning y Teoría del aprendizaje: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9781139950619 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

084 · Conjuntos y operaciones

Parte 04 · clase 4 de 20 · demostración sets

Inclusión-exclusión corrige el doble conteo al unir conjuntos que se solapan.

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|P(A)| = 2^|A|

Fundamentos

Un conjunto es una colección sin orden y sin repeticiones. Esa doble propiedad lo distingue de una lista y determina qué operaciones tienen sentido: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, todas con implementación directa y eficiente en Python mediante set.

El principio de inclusión-exclusión responde a una pregunta que la suma ingenua contesta mal: al contar los elementos de una unión, los que están en ambos conjuntos se cuentan dos veces, y hay que restarlos una. Con tres conjuntos la fórmula alterna signos —se suman los individuales, se restan las intersecciones dos a dos y se suma la triple—, patrón que generaliza a n conjuntos.

El conjunto de partes de un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ elementos, porque cada elemento está o no está: es la regla del producto aplicada n veces. Esa cifra explica por qué la búsqueda exhaustiva sobre subconjuntos es inviable salvo para n pequeño, y por qué la selección de características es un problema difícil.

En probabilidad (parte 09), inclusión-exclusión reaparece intacta como la regla de la suma: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Los conjuntos se convierten en eventos y los cardinales en probabilidades, pero la estructura es la misma.

Ejemplo trabajado

Operaciones e inclusión-exclusión con dos conjuntos.

A = {1,2,3,4,5}       |A| = 5
B = {4,5,6,7}         |B| = 4

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7}    |A∪B| = 7
A ∩ B = {4,5}              |A∩B| = 2
A − B = {1,2,3}
A △ B = {1,2,3,6,7}        (diferencia simétrica)

Inclusión-exclusión: 5 + 4 − 2 = 7 = |A∪B|      ✓
Suma ingenua:        5 + 4     = 9              ✗ cuenta 4 y 5 dos veces

Partes de A: 2⁵ = 32 subconjuntos

Qué ejecuta el laboratorio

Operaciones de conjuntos e inclusión-exclusión.

compmath run 084

Errores conceptuales frecuentes

1. Sumar cardinales de conjuntos que se solapan sin restar la intersección.
2. Tratar un conjunto como una lista y esperar orden o repeticiones.
3. Olvidar el conjunto vacío y el total al contar subconjuntos.

Dónde se usa

Consultas con condiciones múltiples, deduplicación, conteo de casos favorables en probabilidad y análisis de solapamiento entre poblaciones.

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019, cap. 2 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Python: tipo set — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

085 · Relaciones y propiedades

Parte 04 · clase 5 de 20 · demostración relations

Reflexiva, simétrica y transitiva son las tres condiciones que hacen de una relación una equivalencia, y toda equivalencia particiona el conjunto.

reflexiva: ∀a, aRa
simétrica: aRb ⟹ bRa
transitiva: aRb ∧ bRc ⟹ aRc

Fundamentos

Una relación es un conjunto de pares. Las tres propiedades clásicas se comprueban por separado y su combinación tiene consecuencias muy fuertes: si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva, particiona el conjunto en clases disjuntas cuya unión es el total. No hay que demostrar la partición: se sigue de las tres propiedades.

El ejemplo canónico es la congruencia módulo n: x ≡ y (mod 3) si x − y es múltiplo de 3. Sus clases de equivalencia son los restos {0,1,2}, y esa partición es exactamente la estructura sobre la que se define la aritmética modular de la clase 098.

La utilidad práctica es de modelado. Cuando se decide que dos objetos son «el mismo» a efectos de un sistema —dos URLs que apuntan al mismo recurso, dos registros del mismo cliente, dos representaciones del mismo número racional—, se está definiendo una relación de equivalencia, y conviene comprobar que cumple las tres propiedades. Una relación de «similitud» que no es transitiva produce agrupamientos inconsistentes.

Ese fallo es real y frecuente: la deduplicación por umbral de similitud no es transitiva —A parecido a B y B parecido a C no implica A parecido a C— y por eso los algoritmos de agrupamiento por similitud necesitan una definición explícita de transitividad, como el cierre transitivo o el enlace completo.

Ejemplo trabajado

Congruencia módulo 3 sobre {0,...,5}.

Relación: x ~ y  si  (x − y) mod 3 == 0

reflexiva:  (x−x) mod 3 = 0                    ✓
simétrica:  si (x−y)≡0 entonces (y−x)≡0        ✓
transitiva: (x−y)≡0 y (y−z)≡0 ⟹ (x−z)≡0        ✓

→ es una relación de equivalencia

Clases de equivalencia:
  [0] = {0, 3}
  [1] = {1, 4}
  [2] = {2, 5}

Disjuntas y su unión es todo el conjunto        ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Reflexiva, simétrica y transitiva: la receta de una relación de equivalencia.

compmath run 085

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer transitividad en relaciones de similitud por umbral.
2. Comprobar solo una o dos de las tres propiedades.
3. Confundir relación de equivalencia con relación de orden (que es antisimétrica, no simétrica).

Dónde se usa

Deduplicación de registros, normalización de datos, particiones de un conjunto, aritmética modular y clases de equivalencia de fracciones.

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019, cap. 9 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Halmos, P. Naive Set Theory. Springer, 1974 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9781475716450 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

086 · Funciones discretas

Parte 04 · clase 6 de 20 · demostración discrete_functions

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva describen qué información conserva una función.

funciones totales de A a B: |B|^|A|
biyecciones de A en A: |A|!

Fundamentos

Sobre conjuntos finitos, las tres propiedades se cuentan. Una función es inyectiva si no repite salidas, sobreyectiva si alcanza todo el codominio y biyectiva si ambas. Entre conjuntos del mismo tamaño finito, inyectiva y sobreyectiva son equivalentes —hecho que falla en conjuntos infinitos y da lugar a las paradojas de Hilbert—.

El conteo de funciones ilustra la regla del producto: cada uno de los |A| elementos puede ir a cualquiera de los |B| destinos, luego hay |B|^|A| funciones. Las biyecciones de un conjunto en sí mismo son |A|!, que es el conteo de permutaciones de la clase 088.

La inyectividad es la condición que hace invertible una función (clase 058) y la que define una función hash perfecta. Como una función hash mapea un dominio enorme en un rango pequeño, no puede ser inyectiva, y de ahí las colisiones que el palomar garantiza en la clase 090.

En machine learning, la pérdida de inyectividad es lo que hace que una capa no sea invertible: si la dimensión de salida es menor que la de entrada, información se pierde irremediablemente. Los normalizing flows se construyen precisamente con capas biyectivas para poder invertirlas y calcular densidades exactas.

Ejemplo trabajado

Dos funciones sobre un dominio de tres elementos.

dominio = {1,2,3},  codominio = {a,b,c}

f = {1→a, 2→b, 3→c}
  inyectiva:   3 salidas distintas         ✓
  sobreyectiva: alcanza a, b y c           ✓
  biyectiva                                ✓

g = {1→a, 2→a, 3→b}
  inyectiva:   1 y 2 comparten salida      ✗
  sobreyectiva: no alcanza c               ✗

Conteo:
  funciones totales posibles: 3³ = 27
  biyecciones posibles:       3! = 6

Qué ejecuta el laboratorio

Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva sobre conjuntos finitos.

compmath run 086

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que inyectiva implica sobreyectiva en conjuntos de distinto tamaño.
2. Extender a conjuntos infinitos la equivalencia entre inyectiva y sobreyectiva.
3. Esperar que una función hash sea inyectiva.

Dónde se usa

Funciones hash y colisiones, invertibilidad de capas, codificación sin pérdida y normalizing flows.

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Papamakarios, G. et al. Normalizing Flows for Probabilistic Modeling and Inference. JMLR, 2021 — Deep learning y Modelos generativos y Probabilidad: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en Journal of Machine Learning Research (2026-08-19).

087 · Principios de conteo

Parte 04 · clase 7 de 20 · demostración counting_principles

La regla del producto multiplica opciones independientes; la de la suma las suma cuando son excluyentes.

producto: |A × B| = |A| · |B|
suma (excluyentes): |A ∪ B| = |A| + |B|
entropía de una contraseña: log₂(espacio)

Fundamentos

Los dos principios básicos del conteo se distinguen por una palabra: si las decisiones son sucesivas (esto y aquello), se multiplican; si son alternativas excluyentes (esto o aquello), se suman. Casi todo error de conteo viene de aplicar uno donde correspondía el otro.

La aplicación más ilustrativa es el espacio de contraseñas. Con un alfabeto de 36 caracteres y longitud 8, hay 36⁸ ≈ 2.8·10¹² combinaciones; con solo 10 dígitos, 10⁸. La razón entre ambos es de más de 28 000, y ese factor es lo que separa una contraseña débil de una razonable frente a fuerza bruta.

Medir el espacio en bits de entropía —log₂ del número de combinaciones— es más informativo que dar el número, porque los bits se suman al añadir caracteres. Cada carácter adicional de un alfabeto de 36 símbolos añade log₂36 ≈ 5.17 bits. Esa es la cuenta que hace un estimador de fortaleza de contraseñas.

La misma regla es la que da 2ⁿ estados para n bits (clase 021), |B|^|A| funciones (clase 086) y el tamaño del espacio de búsqueda de cualquier problema combinatorio. En machine learning aparece al contar configuraciones de hiperparámetros: cinco parámetros con diez valores cada uno dan 10⁵ combinaciones, que es por lo que la búsqueda exhaustiva se abandona en favor de la aleatoria o bayesiana.

Ejemplo trabajado

Espacio de contraseñas de 8 caracteres.

Alfanumérico (26 letras + 10 dígitos = 36 símbolos):
  36⁸ = 2 821 109 907 456 ≈ 2.8·10¹²
  entropía = 8·log₂(36) = 41.4 bits

Solo dígitos (10 símbolos):
  10⁸ = 100 000 000 = 10⁸
  entropía = 8·log₂(10) = 26.6 bits

Factor de ventaja: 2.8·10¹² / 10⁸ = 28 211

Regla del producto:  3 camisas × 4 pantalones = 12 conjuntos
Regla de la suma:    3 camisas o 4 pantalones = 7 prendas

Qué ejecuta el laboratorio

Regla del producto, de la suma y conteo de contraseñas.

compmath run 087

Errores conceptuales frecuentes

1. Sumar cuando las decisiones son sucesivas o multiplicar cuando son excluyentes.
2. Contar dos veces casos que pertenecen a ambas alternativas.
3. Reportar el tamaño del espacio en lugar de su logaritmo al comparar órdenes de magnitud.

Dónde se usa

Estimación de fortaleza de contraseñas, tamaño de espacios de búsqueda, conteo de configuraciones de hiperparámetros y cardinalidad de esquemas de datos.

Bibliografía de la clase

• NIST SP 800-63B: Digital Identity Guidelines — Authentication — Criptografía y Ingeniería de software y fallos reales: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en National Institute of Standards and Technology (2026-08-19).
• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019, cap. 6 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

088 · Permutaciones

Parte 04 · clase 8 de 20 · demostración permutations_demo

Una permutación cuenta selecciones donde el orden importa.

P(n) = n!
P(n,k) = n!/(n−k)!
con repetición: nᵏ

Fundamentos

Permutar es ordenar. El número de ordenaciones completas de n objetos distintos es n!, y el argumento es la regla del producto: hay n opciones para la primera posición, n−1 para la segunda —ya se usó una— y así sucesivamente.

Las permutaciones parciales P(n,k) cuentan las formas de elegir k objetos en orden entre n disponibles: n!/(n−k)!. Si además se permite repetir, el conteo es nᵏ, porque cada posición vuelve a tener n opciones. Distinguir los tres casos —total, parcial sin repetición, parcial con repetición— es la mitad de la combinatoria elemental.

El factorial crece brutalmente: 10! ≈ 3.6·10⁶, 20! ≈ 2.4·10¹⁸, 70! ya supera el mayor float64 representable. Ese crecimiento es la razón por la que el problema del viajante no se resuelve por fuerza bruta y por la que cualquier algoritmo con coste factorial es inviable más allá de una veintena de elementos.

En deep learning las permutaciones aparecen de forma indirecta pero relevante: la atención es permutación-equivariante, es decir, permutar los tokens de entrada permuta la salida de la misma forma. Esa propiedad es la que hace necesario el positional encoding (clase 323), porque sin él el modelo no distinguiría el orden.

Ejemplo trabajado

Permutaciones de cuatro elementos.

elementos: A, B, C, D

permutaciones totales:  4! = 24
P(4,2) = 4!/2! = 12     (elegir 2 en orden)
  AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

con repetición: 4² = 16   (AA, AB, ..., DD)

Crecimiento del factorial:
  10! = 3 628 800
  20! = 2.43·10¹⁸
  70! > 1.8·10³⁰⁸ → desborda float64

Qué ejecuta el laboratorio

Permutaciones: el orden importa.

compmath run 088

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar permutaciones donde el orden no importa (corresponde combinación).
2. Olvidar si se permite repetición al elegir la fórmula.
3. Calcular factoriales grandes en float en lugar de en entero exacto.

Dónde se usa

Barajado y muestreo sin reemplazo, problemas de ordenación y planificación, y equivarianza a permutaciones en arquitecturas de atención y GNN.

Bibliografía de la clase

• Python: math.perm e itertools.permutations — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Graham, Knuth & Patashnik. Concrete Mathematics, 2ª ed., 1994 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9788131708415 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

089 · Combinaciones

Parte 04 · clase 9 de 20 · demostración combinations_demo

Una combinación cuenta selecciones donde el orden no importa; su simetría refleja que elegir k es descartar n−k.

C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
C(n,k) = C(n,n−k)
Σₖ C(n,k) = 2ⁿ

Fundamentos

Una combinación es una permutación a la que se le ha quitado el orden: hay k! ordenaciones de cada selección, así que C(n,k) = P(n,k)/k!. Esa deducción es la forma correcta de recordar la fórmula, en lugar de memorizarla.

La simetría C(n,k) = C(n,n−k) tiene una lectura inmediata: elegir k elementos es lo mismo que decidir cuáles n−k se descartan. Es un ejemplo de biyección como técnica de demostración: dos conteos coinciden porque existe una correspondencia uno a uno entre lo que cuentan.

La suma de toda una fila del triángulo de Pascal es 2ⁿ, y también tiene lectura combinatoria: sumar sobre todos los tamaños posibles de subconjunto es contar todos los subconjuntos, que son 2ⁿ. Este tipo de argumentos —contar lo mismo de dos formas— es la herramienta central de la combinatoria.

En probabilidad, C(n,k) es el coeficiente de la distribución binomial (clase 192): el número de secuencias con exactamente k éxitos en n ensayos. Y en machine learning aparece al contar particiones de un conjunto de datos y al calcular el número de comparaciones en un test estadístico múltiple.

Ejemplo trabajado

Combinaciones de 3 entre 5.

elementos: A B C D E

C(5,3) = 5!/(3!·2!) = 120/(6·2) = 10
  ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE

Simetría: C(5,3) = C(5,2) = 10          ✓
  (elegir 3 ≡ descartar 2)

Fila de Pascal para n=5:
  C(5,0..5) = 1, 5, 10, 10, 5, 1
  suma = 32 = 2⁵                        ✓

Qué ejecuta el laboratorio

Combinaciones: el orden no importa.

compmath run 089

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar combinaciones donde el orden sí importa.
2. Calcular el factorial completo en lugar de usar math.comb, que evita desbordar.
3. Confundir C(n,k) con P(n,k): difieren en el factor k!.

Dónde se usa

Distribución binomial, número de comparaciones en tests múltiples, muestreo de subconjuntos y conteo de particiones en validación cruzada.

Bibliografía de la clase

• Python: math.comb e itertools.combinations — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).
• Graham, Knuth & Patashnik. Concrete Mathematics, 2ª ed., 1994, cap. 5 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9788131708415 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

090 · Principio del palomar

Parte 04 · clase 10 de 20 · demostración pigeonhole

El principio del palomar demuestra que existe una colisión sin construir ninguna.

n objetos en m cajas con n > m ⟹ alguna caja tiene ≥ ⌈n/m⌉
colisión de hash garantizada si entradas > tamaño del espacio

Fundamentos

El principio del palomar es de una simplicidad desarmante: si se reparten n objetos en m cajas y n > m, alguna caja recibe al menos dos. Su potencia está en que demuestra una existencia sin ofrecer un método para encontrarla, y ese tipo de argumento —no constructivo— es habitual en matemáticas y muy útil en informática.

La aplicación directa es a las funciones hash. Una función que mapea un dominio infinito —o simplemente mayor— en un espacio de 2ⁿ valores tiene colisiones necesariamente. No es un defecto de la función: es una consecuencia lógica. Por eso la pregunta correcta sobre una función hash criptográfica no es «¿tiene colisiones?» sino «¿es computacionalmente factible encontrarlas?».

La forma generalizada da una cota más fina: alguna caja tiene al menos ⌈n/m⌉ objetos. Con 400 personas y 365 días del año, alguna fecha tiene al menos dos cumpleaños; con 800, al menos tres.

Conviene no confundirlo con la paradoja del cumpleaños, que es un resultado probabilístico distinto: con solo 23 personas la probabilidad de coincidencia supera el 50 %. El palomar da certeza con 366; la paradoja da probabilidad alta con 23. La segunda es la que determina la seguridad real de un hash frente a ataques de colisión, y aparece en la clase 090 como contraste.

Ejemplo trabajado

Cumpleaños y colisiones de hash.

400 personas, 365 días:
  400 > 365 → coincidencia GARANTIZADA
  mínimo de repeticiones: ⌈400/365⌉ = 2

Hash de 16 bits (65 536 valores), 100 000 entradas:
  100 000 > 65 536 → colisión GARANTIZADA

Contraste con la paradoja del cumpleaños:
  con 23 personas, P(coincidencia) > 0.5
  el palomar da certeza; la paradoja da probabilidad

Lección: no hace falta encontrar la colisión
         para demostrar que existe.

Qué ejecuta el laboratorio

Principio del palomar: colisiones garantizadas sin construirlas.

compmath run 090

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir el principio del palomar (certeza) con la paradoja del cumpleaños (probabilidad).
2. Suponer que una función hash bien diseñada no tiene colisiones.
3. Aplicar la cota ⌈n/m⌉ como si fuera el máximo en lugar del mínimo garantizado.

Dónde se usa

Análisis de funciones hash, límites de compresión sin pérdida, diseño de tablas hash y argumentos de existencia en teoría de la complejidad.

Bibliografía de la clase

• Rosen, K. Discrete Mathematics and Its Applications, 8ª ed., 2019, cap. 6 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).
• Stinson & Paterson. Cryptography: Theory and Practice, 4ª ed., CRC, 2018 — Teoría de números: el tema de esta clase · ISBN-13 9781138197015 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

091 · Inducción matemática

Parte 04 · clase 11 de 20 · demostración induction

La inducción demuestra infinitos casos con un caso base y un paso que hereda la propiedad.

base: P(1) es cierta
paso: P(k) ⟹ P(k+1)
conclusión: P(n) para todo n ≥ 1

Fundamentos

La inducción resuelve un problema que parece imposible: demostrar algo sobre infinitos números en dos pasos. El caso base establece que la propiedad vale en el primer valor; el paso inductivo demuestra que si vale en k, entonces vale en k+1. La combinación de ambos hace caer todas las fichas de dominó.

La analogía con un bucle es exacta: el caso base es la inicialización y el paso inductivo es el invariante que se mantiene en cada iteración. Demostrar la corrección de un bucle es demostrar por inducción que su invariante se preserva, y esa es la base de la verificación formal de programas.

El paso inductivo es donde vive la demostración, y su estructura es siempre la misma: escribir P(k+1), identificar dentro de ella la parte que es P(k), aplicar la hipótesis y simplificar. Para la suma de Gauss: S(k+1) = S(k) + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2, que es exactamente la fórmula con k+1.

Es importante no confundir inducción con verificación. Comprobar los primeros 50 casos no demuestra nada, como la clase 019 mostró con el polinomio de Euler. La verificación empírica es un control de sanidad previo a la demostración, no un sustituto.

Ejemplo trabajado

Demostrar la suma de Gauss por inducción.

Proposición: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Caso base (n=1):
  izquierda = 1
  derecha   = 1·2/2 = 1              ✓

Paso inductivo: suponemos S(k) = k(k+1)/2
  S(k+1) = S(k) + (k+1)
         = k(k+1)/2 + (k+1)
         = (k+1)(k/2 + 1)
         = (k+1)(k+2)/2              ✓ es la fórmula con k+1

Verificación empírica (control de sanidad):
  50 valores comprobados, 0 contraejemplos
  → NO es la demostración, es una comprobación previa

Qué ejecuta el laboratorio

Inducción: caso base, paso inductivo y verificación empírica.

compmath run 091

Errores conceptuales frecuentes

1. Omitir el caso base: sin él, el paso inductivo no arranca.
2. Usar la conclusión como hipótesis dentro del paso inductivo.
3. Confundir verificar los primeros n casos con demostrar.

Dónde se usa

Corrección de algoritmos recursivos, invariantes de bucle, análisis de estructuras de datos y demostración de cotas de complejidad.

Bibliografía de la clase

• Velleman, D. How to Prove It, 3ª ed., Cambridge, 2019, cap. 6 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9781108539890 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Gries, D. The Science of Programming. Springer, 1981 — Lógica y demostración: el tema de esta clase · ISBN-13 9781461259831 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

092 · Recurrencias

Parte 04 · clase 12 de 20 · demostración recurrences

Una recurrencia define cada término desde los anteriores; su coste depende radicalmente de si se memoiza.

F(n) = F(n−1) + F(n−2),  F(0)=0, F(1)=1
Binet: F(n) = (φⁿ − (−1/φ)ⁿ)/√5,  φ = (1+√5)/2

Fundamentos

Una recurrencia es una definición autorreferente con casos base. Fibonacci es el ejemplo canónico, y sirve para ilustrar la diferencia más importante del análisis de algoritmos: la implementación recursiva ingenua recalcula los mismos valores una y otra vez y tarda O(φⁿ); la iterativa —o la memoizada— tarda O(n).

La diferencia no es de constante: para n = 50, la ingenua hace del orden de 10¹⁰ llamadas y la iterativa 50 pasos. Es la demostración más clara de que la complejidad asintótica no es una abstracción académica.

Fibonacci tiene además una fórmula cerrada, la de Binet, que involucra la razón áurea φ. Que una recurrencia de enteros se exprese con irracionales es notable, y su deducción —resolver la ecuación característica x² = x + 1— es el método general para recurrencias lineales homogéneas, análogo al de las ecuaciones diferenciales lineales de la parte 11.

Una precaución numérica: la fórmula de Binet en punto flotante deja de dar el entero exacto para n grande, porque φⁿ crece y la precisión relativa se agota. Para n = 71 el redondeo ya falla. Es un buen recordatorio de que una fórmula cerrada no siempre es preferible a una iteración.

Ejemplo trabajado

Fibonacci por tres caminos.

F(30):
  iterativo:  832040        30 pasos
  Binet:      832040        1 evaluación
  coinciden                            ✓

recursivo ingenuo: 2 692 537 llamadas
  coste O(φⁿ) ≈ O(1.618ⁿ)

Razón entre consecutivos:
  F(31)/F(30) = 1.6180339...
  φ           = 1.6180339...           ✓ converge

Límite de Binet en float64: falla a partir de n ≈ 71

Qué ejecuta el laboratorio

Recurrencia lineal: iterativo, memoizado y forma cerrada.

compmath run 092

Errores conceptuales frecuentes

1. Implementar una recurrencia recursivamente sin memoización.
2. Confiar en la fórmula de Binet para n grande en punto flotante.
3. Olvidar los casos base al definir la recurrencia.

Dónde se usa

Análisis de algoritmos divide y vencerás, programación dinámica, modelos autorregresivos y recurrencias en RNN (clase 313).

Bibliografía de la clase

• Graham, Knuth & Patashnik. Concrete Mathematics, 2ª ed., 1994, cap. 6 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9788131708415 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Cormen, T. et al. Introduction to Algorithms, 4ª ed., MIT Press, 2022, cap. 4 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262046305 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

093 · Grafos: vértices y aristas

Parte 04 · clase 13 de 20 · demostración graphs

Un grafo modela relaciones; el lema del apretón de manos relaciona grados y aristas.

no dirigido: Σ grados = 2|E|
dirigido: Σ grados de salida = Σ grados de entrada = |E|
densidad = |E| / (|V|(|V|−1))

Fundamentos

Un grafo es un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que los conectan. Es la estructura más versátil de la computación porque casi cualquier relación se modela así: dependencias entre tareas, enlaces entre páginas, amistades, rutas, y —lo que importa en este programa— operaciones de un cálculo.

El lema del apretón de manos dice que la suma de los grados es el doble del número de aristas, porque cada arista contribuye 1 a cada uno de sus dos extremos. De ahí se deduce inmediatamente que el número de vértices de grado impar es par, resultado que parece anecdótico y aparece en problemas de emparejamiento.

La representación importa para el rendimiento. Una matriz de adyacencia ocupa O(V²) y responde «¿hay arista?» en tiempo constante; una lista de adyacencia ocupa O(V+E) y es preferible en grafos dispersos, que son la mayoría de los reales. Los grafos de redes sociales tienen densidad ínfima, y usar matriz sería inviable.

El grafo del laboratorio es un pipeline de machine learning —entrada, limpieza, features, split, entrenamiento, evaluación—, y ese ejemplo no es decorativo: la ejecución de un pipeline, de un sistema de construcción y de un grafo de cómputo de autodiferenciación son el mismo problema sobre la misma estructura.

Ejemplo trabajado

Grafo de un pipeline de ML.

entrada → limpieza → features    → entrenamiento → evaluacion
                  ↘ split       ↗

vértices: 6
aristas dirigidas: 6

grados de salida:
  entrada 1, limpieza 2, features 1,
  split 1, entrenamiento 1, evaluacion 0
suma = 6 = |E|                        ✓

densidad = 6/(6·5) = 0.2

Qué ejecuta el laboratorio

Grados, aristas y el lema del apretón de manos.

compmath run 093

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar matriz de adyacencia en grafos grandes y dispersos.
2. Aplicar el lema del apretón de manos (2|E|) a grafos dirigidos.
3. Olvidar si el grafo es dirigido al contar grados.

Dónde se usa

Grafos de cómputo y autodiferenciación, sistemas de construcción, redes sociales, rutas y GNN.

Bibliografía de la clase

• Cormen, T. et al. Introduction to Algorithms, 4ª ed., 2022, cap. 20 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262046305 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Newman, M. Networks, 2ª ed., Oxford University Press, 2018 — Grafos y redes: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780198805090 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

094 · Caminos, ciclos y conectividad

Parte 04 · clase 14 de 20 · demostración paths_connectivity

BFS recorre por niveles y encuentra el camino con menos aristas en tiempo O(V+E).

coste BFS: O(V + E)
distancia BFS = número mínimo de aristas
excentricidad = máxima distancia desde un vértice

Fundamentos

El recorrido en anchura visita primero todos los vecinos, luego los vecinos de los vecinos, y así sucesivamente. Esa disciplina por niveles garantiza que la primera vez que se alcanza un vértice se ha hecho por el camino con menos aristas, que es el camino más corto en un grafo no ponderado.

La implementación necesita una cola (FIFO) y un conjunto de visitados. Cambiar la cola por una pila convierte el algoritmo en DFS, con propiedades muy distintas: DFS no garantiza caminos mínimos pero sirve para detectar ciclos y para ordenar topológicamente. La estructura de datos determina el comportamiento.

El coste O(V + E) es óptimo: cada vértice y cada arista se procesan una vez. Con pesos en las aristas, BFS deja de servir y hace falta Dijkstra, cuyo coste sube a O((V+E) log V) por la cola de prioridad.

La excentricidad de un vértice —la mayor distancia a cualquier otro— y el diámetro del grafo se calculan con BFS desde cada vértice. En redes sociales esas métricas dan lugar al fenómeno de los «seis grados de separación», y en un pipeline indican cuántas etapas secuenciales hay como mínimo.

Ejemplo trabajado

BFS desde «entrada» en el pipeline.

orden de visita:
  entrada → limpieza → features → split → entrenamiento → evaluacion

distancias (en aristas):
  entrada       0
  limpieza      1
  features      2
  split         2
  entrenamiento 3
  evaluacion    4

todos alcanzables: 6/6                ✓
excentricidad de entrada: 4
coste: O(V + E) = O(6 + 6)

Qué ejecuta el laboratorio

Recorrido BFS: alcanzabilidad y distancia en aristas.

compmath run 094

Errores conceptuales frecuentes

1. Usar una pila en lugar de una cola y obtener DFS sin darse cuenta.
2. Aplicar BFS a un grafo con pesos esperando el camino de coste mínimo.
3. No marcar los vértices como visitados y entrar en bucle infinito.

Dónde se usa

Camino más corto en grafos no ponderados, detección de componentes conexas, análisis de alcance en redes y niveles de un pipeline.

Bibliografía de la clase

• Cormen, T. et al. Introduction to Algorithms, 4ª ed., 2022, cap. 20 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262046305 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Python: collections.deque — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

095 · Árboles y árboles de expansión

Parte 04 · clase 15 de 20 · demostración trees

Un árbol con n vértices tiene exactamente n−1 aristas; añadir una crea un ciclo.

|E| = |V| − 1
existe un único camino entre cada par de vértices

Fundamentos

Un árbol es un grafo conexo sin ciclos, y esa doble condición tiene una consecuencia numérica exacta: con n vértices tiene exactamente n−1 aristas. Ni una más —eso crearía un ciclo— ni una menos —eso lo desconectaría—. Es la estructura conexa mínima.

La unicidad del camino entre cualquier par de vértices se sigue de la ausencia de ciclos, y es la propiedad que hace útiles a los árboles: no hay ambigüedad sobre cómo llegar de un nodo a otro. De ahí que se usen para jerarquías, sistemas de archivos, índices de bases de datos y estructuras de decisión.

La altura de un árbol determina el coste de las operaciones. Un árbol binario equilibrado con n nodos tiene altura log₂ n, y por eso las búsquedas cuestan logarítmicamente; uno degenerado en lista tiene altura n y el coste se vuelve lineal. Todo el diseño de árboles balanceados (AVL, rojo-negro, B-tree) existe para garantizar esa altura logarítmica.

En machine learning, los árboles de decisión (clase 291) usan esta estructura para particionar el espacio de features, y su profundidad es el hiperparámetro que controla directamente el compromiso sesgo-varianza: más profundo, menos sesgo y más varianza.

Ejemplo trabajado

Verificar la relación en un árbol de seis nodos.

        raiz
       /    \
      a      b
     / \      \
    c   d      e

vértices: 6   (raiz, a, b, c, d, e)
aristas:  5
n − 1 = 5                              ✓ es un árbol

hojas: c, d, e
altura: 2

profundidades:
  raiz 0,  a 1,  b 1,  c 2,  d 2,  e 2

Qué ejecuta el laboratorio

Un árbol con n nodos tiene exactamente n-1 aristas.

compmath run 095

Errores conceptuales frecuentes

1. Llamar árbol a un grafo con ciclos.
2. Suponer que un árbol binario está equilibrado sin garantizarlo.
3. Confundir altura (aristas del camino más largo) con número de nodos.

Dónde se usa

Sistemas de archivos, índices de bases de datos, árboles de decisión, parseo sintáctico y árboles de expansión mínima.

Bibliografía de la clase

• Cormen, T. et al. Introduction to Algorithms, 4ª ed., 2022 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262046305 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Knuth, D. The Art of Computer Programming, vol. 1, 3ª ed., 1997, secc. 2.3 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta y Teoría de números: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio de la obra o de su editorial (2026-08-19).

096 · DAG y orden topológico

Parte 04 · clase 16 de 20 · demostración topological_order

El orden topológico existe si y solo si el grafo es acíclico; su ausencia localiza el ciclo.

algoritmo de Kahn: repetir «tomar vértice de grado de entrada 0»
si quedan vértices sin ordenar ⟹ hay ciclo

Fundamentos

Un orden topológico es una ordenación lineal de los vértices tal que toda arista va de un vértice anterior a uno posterior. Existe si y solo si el grafo es acíclico, y esa equivalencia convierte el algoritmo en un detector de ciclos: si al terminar quedan vértices sin ordenar, esos vértices forman —o dependen de— al menos un ciclo.

El algoritmo de Kahn es directo: se toman repetidamente los vértices con grado de entrada cero (los que no dependen de nada pendiente), se emiten y se decrementan los grados de sus sucesores. Coste O(V + E), el mismo que BFS.

Este algoritmo es el que ejecuta todo sistema de construcción —make, Bazel, un DAG de Airflow— para decidir en qué orden ejecutar tareas. El mensaje «dependencia circular detectada» que emiten esos sistemas es literalmente el caso en que Kahn no consigue ordenar todos los nodos.

Y aquí está la conexión que da sentido a esta clase dentro del programa: la autodiferenciación en modo reverso recorre el grafo de cómputo en orden topológico inverso. La clase 306 lo hace explícito, y la clase 179 lo implementa: backward() construye el orden topológico y luego lo recorre al revés propagando gradientes. Sin esta clase, esa implementación parecería magia.

Ejemplo trabajado

Orden topológico del pipeline y detección de ciclo.

Grafo (DAG):
  entrada → limpieza → {features, split} → entrenamiento → evaluacion

Grados de entrada iniciales:
  entrada 0, limpieza 1, features 1, split 1,
  entrenamiento 2, evaluacion 1

Orden de Kahn:
  entrada, limpieza, features, split, entrenamiento, evaluacion
6 de 6 vértices ordenados → es un DAG            ✓

Con una arista extra evaluacion → limpieza:
  ningún vértice queda con grado 0 tras entrada
  vértices ordenados: 1 de 6
  → hay un ciclo, y los 5 restantes están dentro o dependen de él

Qué ejecuta el laboratorio

Orden topológico y detección de ciclos por conteo de Kahn.

compmath run 096

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que un grafo de dependencias es acíclico sin comprobarlo.
2. Interpretar el fallo del orden topológico como un error del algoritmo en lugar de como un diagnóstico.
3. Olvidar que puede haber varios órdenes topológicos válidos.

Dónde se usa

Sistemas de construcción, planificadores de tareas, resolución de dependencias de paquetes, evaluación de hojas de cálculo y autodiferenciación en modo reverso.

Bibliografía de la clase

• Kahn, A. B. Topological sorting of large networks. CACM, 1962 — Algoritmos y complejidad: el tema de esta clase · DOI 10.1145/368996.369025 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Baydin, A. et al. Automatic Differentiation in Machine Learning: a Survey. JMLR, 2018 — Diferenciación automática y Deep learning: conexión declarada de esta parte · URL de la fuente primaria comprobada en Journal of Machine Learning Research (2026-08-19).

097 · Álgebra booleana

Parte 04 · clase 17 de 20 · demostración boolean_algebra

Simplificar una expresión booleana reduce puertas físicas sin cambiar su comportamiento.

absorción: a ∨ (a ∧ b) ≡ a
distributiva: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a∧b) ∨ (a∧c)
complemento: a ∨ ¬a ≡ 1,  a ∧ ¬a ≡ 0

Fundamentos

El álgebra de Boole, publicada en 1854, describió las leyes del razonamiento con símbolos. Ochenta años después, Claude Shannon mostró en su tesis de máster —una de las más influyentes de la historia— que esas mismas leyes describen los circuitos de conmutación. Ese puente es el fundamento del hardware digital.

Simplificar una expresión booleana tiene una consecuencia física directa: menos términos significan menos puertas lógicas, menos área de silicio, menos consumo y menor retardo de propagación. La expresión (a∧b) ∨ (a∧¬b) ∨ (a∧c) se reduce a a por absorción y complemento, eliminando cuatro puertas.

La verificación por tabla de verdad es exhaustiva y por tanto concluyente para pocas variables, pero su coste es 2ⁿ. Con veinte variables ya es un millón de filas, y ahí empieza el terreno del problema SAT, el primer problema que se demostró NP-completo (Cook, 1971). Que la verificación sea fácil y la búsqueda difícil es la esencia de esa clase de complejidad.

En machine learning el álgebra booleana aparece de forma menos visible pero real: las máscaras de atención son matrices booleanas, los filtros de datos son expresiones booleanas, y la cuantización binaria de redes (BNN) opera con estas mismas leyes.

Ejemplo trabajado

Simplificar una expresión de tres términos.

original:     (a∧b) ∨ (a∧¬b) ∨ (a∧c)

paso 1: (a∧b) ∨ (a∧¬b) = a∧(b ∨ ¬b) = a∧1 = a
paso 2: a ∨ (a∧c) = a                (absorción)

simplificada: a

Verificación exhaustiva: 8 casos (2³)
  todas las asignaciones coinciden               ✓

Puertas ahorradas: 4

Qué ejecuta el laboratorio

Álgebra booleana: simplificación y equivalencia funcional.

compmath run 097

Errores conceptuales frecuentes

1. Simplificar sin verificar con tabla de verdad.
2. Aplicar la distributiva de la conjunción como si fuera la de los números.
3. Suponer que la verificación exhaustiva escala a muchas variables.

Dónde se usa

Diseño de circuitos digitales, optimización de condiciones y consultas, máscaras de atención y verificación formal de propiedades.

Bibliografía de la clase

• Shannon, C. A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. MIT, 1937 — Lógica y demostración y Matemática discreta: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria, pendiente de resolver.
• Cook, S. The Complexity of Theorem-Proving Procedures. STOC, 1971 — Algoritmos y complejidad y Lógica y demostración: el tema de esta clase · DOI 10.1145/800157.805047 verificado en Crossref (2026-08-19).

098 · Aritmética modular

Parte 04 · clase 18 de 20 · demostración modular_arithmetic

La aritmética modular opera con restos y hace factible exponenciar números enormes.

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
pequeño teorema de Fermat: a^(p−1) ≡ 1 (mod p) si p es primo y p ∤ a
inverso modular: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), existe si mcd(a,n) = 1

Fundamentos

La aritmética modular trabaja con las clases de equivalencia que la clase 085 definió: dos números son «el mismo» si difieren en un múltiplo de n. Sobre esas clases, la suma y el producto están bien definidos, y esa buena definición es lo que permite reducir en cada paso en lugar de al final.

Esa reducción es lo que hace viable la exponenciación modular. Calcular 7¹²⁸ mod 13 sin reducir exigiría un número de 108 dígitos; con exponenciación binaria y reducción en cada paso, son siete multiplicaciones de números pequeños. pow(base, exp, mod) en Python implementa exactamente eso.

El pequeño teorema de Fermat —a^(p−1) ≡ 1 (mod p) para p primo— es la base de los tests de primalidad probabilísticos y de RSA. El inverso modular existe cuando mcd(a, n) = 1 y se calcula con el algoritmo de Euclides extendido; Python lo expone como pow(a, -1, n) desde la versión 3.8.

Estas operaciones sostienen buena parte de la infraestructura digital: RSA, Diffie- Hellman, curvas elípticas, funciones hash, sumas de comprobación y generadores congruenciales de números pseudoaleatorios. La seguridad de varios de esos sistemas descansa en que la operación inversa —el logaritmo discreto— es computacionalmente difícil.

Ejemplo trabajado

Exponenciación e inverso modular.

7¹²⁸ mod 13 = 3
  (sin reducir, 7¹²⁸ tendría 109 dígitos)

Pequeño teorema de Fermat (p = 13 primo):
  7¹² mod 13 = 1                        ✓

Inverso de 7 módulo 13:
  pow(7, -1, 13) = 2
  verificación: 7·2 = 14 ≡ 1 (mod 13)   ✓

Suma modular: (25 + 30) mod 13 = 55 mod 13 = 3

Qué ejecuta el laboratorio

Aritmética modular: exponenciación rápida e inverso modular.

compmath run 098

Errores conceptuales frecuentes

1. Calcular la potencia completa antes de reducir módulo n.
2. Buscar el inverso modular cuando mcd(a,n) ≠ 1: no existe.
3. Usar el operador % con negativos esperando el comportamiento de C: Python devuelve resto no negativo.

Dónde se usa

RSA y Diffie-Hellman, funciones hash, sumas de comprobación, generadores pseudoaleatorios y aritmética de campos finitos.

Bibliografía de la clase

• Hardy & Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6ª ed., 2008 — Teoría de números: el tema de esta clase · ISBN-13 9780199219865 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Python: pow con módulo e inverso — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

099 · Números primos y máximo común divisor

Parte 04 · clase 19 de 20 · demostración primes_gcd

La criba encuentra todos los primos hasta n, y mcd·mcm = a·b relaciona ambos conceptos.

criba: tachar múltiplos desde i² con i ≤ √n
mcd(a,b)·mcm(a,b) = a·b
Euclides: mcd(a,b) = mcd(b, a mod b)

Fundamentos

La criba de Eratóstenes, del siglo III a.C., sigue siendo el método práctico para listar todos los primos hasta n. Su eficiencia viene de dos optimizaciones: basta recorrer hasta √n, porque todo compuesto tiene un factor menor o igual a su raíz; y basta empezar a tachar desde i², porque los múltiplos menores ya fueron tachados por primos anteriores. El coste es O(n log log n), prácticamente lineal.

El algoritmo de Euclides para el máximo común divisor es aún más antiguo y es un candidato al algoritmo no trivial más antiguo que se sigue usando. Su idea —mcd(a,b) = mcd(b, a mod b)— reduce el problema en cada paso y termina en O(log min(a,b)).

La identidad mcd·mcm = a·b permite calcular el mínimo común múltiplo sin factorizar, que es importante porque factorizar es difícil mientras que calcular el mcd es fácil. Esa asimetría es la que sostiene RSA: multiplicar dos primos grandes es inmediato, recuperarlos del producto no se sabe hacer eficientemente.

El teorema fundamental de la aritmética —toda factorización en primos es única— es lo que da sentido a todo esto. Y el hecho de que los primos sean infinitos, demostrado por Euclides con un argumento por contradicción de tres líneas, garantiza que siempre hay primos suficientemente grandes para la criptografía.

Ejemplo trabajado

Criba hasta 50 y mcd de dos números.

Primos ≤ 50 (15 en total):
  2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

mcd(252, 198) por Euclides:
  252 = 1·198 + 54
  198 = 3·54  + 36
   54 = 1·36  + 18
   36 = 2·18  + 0     → mcd = 18

mcm = 252·198/18 = 2772

Verificación: 18 · 2772 = 49 896 = 252 · 198    ✓

Factorización de 252 = 2²·3²·7

Qué ejecuta el laboratorio

Criba, MCD por Euclides y su relación con el mínimo común múltiplo.

compmath run 099

Errores conceptuales frecuentes

1. Recorrer la criba hasta n en lugar de hasta √n.
2. Calcular el mcm factorizando en lugar de usar la identidad con el mcd.
3. Suponer que factorizar es tan fácil como multiplicar.

Dónde se usa

Generación de claves criptográficas, simplificación de fracciones, tests de primalidad y hashing con módulos primos.

Bibliografía de la clase

• Hardy & Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6ª ed., 2008 — Teoría de números: el tema de esta clase · ISBN-13 9780199219865 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Python: math.gcd y math.lcm — documentación de la herramienta que ejecuta el laboratorio · URL de la fuente primaria comprobada en Python Software Foundation (2026-08-19).

100 · Capstone: modelar dependencias con grafos

Parte 04 · clase 20 de 20 · demostración capstone_dependency_graph

Planificar dependencias es ordenar topológicamente y agrupar por niveles para paralelizar.

nivel(v) = 1 + máx(nivel(u)) sobre los predecesores u
pasos secuenciales mínimos = máximo nivel + 1

Fundamentos

El capstone monta el problema real que resuelve cualquier sistema de construcción o de orquestación: dado un grafo de dependencias, decidir en qué orden ejecutar las tareas, cuáles pueden ir en paralelo y qué hacer si hay un ciclo.

El orden topológico da la secuencia válida. Agrupar por niveles —donde el nivel de una tarea es uno más que el máximo de sus predecesores— da algo más útil: todas las tareas del mismo nivel son independientes entre sí y pueden ejecutarse simultáneamente. El número de niveles es el número mínimo de pasos secuenciales, sin importar cuántos trabajadores haya.

Ese número es el camino crítico, y es la cota que ninguna cantidad de paralelismo puede superar. Si un pipeline tiene cinco niveles, tardará al menos cinco pasos aunque se disponga de mil máquinas. Es la versión discreta de la ley de Amdahl.

La detección de ciclos completa la herramienta. Un grafo con ciclo no admite orden topológico, y el algoritmo lo detecta contando cuántos vértices consiguió emitir. Los vértices no emitidos son exactamente los que están en el ciclo o dependen de él, lo que convierte el fallo en un diagnóstico útil en lugar de en un error opaco.

Ejemplo trabajado

Planificar el pipeline y detectar un ciclo.

Orden de ejecución:
  entrada, limpieza, features, split, entrenamiento, evaluacion

Niveles paralelizables:
  nivel 0: entrada
  nivel 1: limpieza
  nivel 2: features, split      ← pueden ir en paralelo
  nivel 3: entrenamiento
  nivel 4: evaluacion

Tareas: 6
Pasos secuenciales mínimos: 5    (camino crítico)
Con 2 trabajadores: sigue siendo 5 pasos

Con arista evaluacion → limpieza:
  ciclo detectado, 5 nodos bloqueados

Qué ejecuta el laboratorio

Capstone: planificar un pipeline con grafos y detectar dependencias rotas.

compmath run 100

Errores conceptuales frecuentes

1. Suponer que más trabajadores reducen el tiempo por debajo del camino crítico.
2. No detectar ciclos antes de intentar ejecutar el plan.
3. Confundir el número de tareas con el número de pasos secuenciales.

Dónde se usa

Sistemas de construcción, orquestadores de flujos (Airflow, Dagster), resolución de dependencias de paquetes, planificación de proyectos y ejecución de grafos de cómputo.

Bibliografía de la clase

• Kahn, A. B. Topological sorting of large networks. CACM, 1962 — Algoritmos y complejidad: el tema de esta clase · DOI 10.1145/368996.369025 verificado en Crossref (2026-08-19).
• Cormen, T. et al. Introduction to Algorithms, 4ª ed., 2022, cap. 20 — Algoritmos y complejidad y Matemática discreta: el tema de esta clase · ISBN-13 9780262046305 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

101 · Escalares, vectores y matrices

Parte 05 · clase 1 de 20 · demostración scalars_vectors_matrices

Escalar, vector, matriz y tensor son el mismo objeto con distinto número de índices.

escalar: orden 0 · vector: orden 1 · matriz: orden 2
shape de una matriz m×n: (m, n)
(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

Fundamentos

La jerarquía escalar → vector → matriz → tensor no es una lista de objetos distintos: es el mismo objeto con distinto número de índices. Un escalar necesita cero índices para localizar su valor, un vector uno, una matriz dos y un tensor de orden n, n índices. Esa lectura unifica lo que en muchos cursos se presenta por separado.

El shape es el dato operativo: la tupla de tamaños de cada dimensión. La mayoría de los errores al programar con arrays son errores de shape, y la disciplina más rentable al escribir código numérico es anotar el shape esperado de cada variable. Un comentario # (batch, seq, d_model) ahorra horas de depuración.

Multiplicar un vector por un escalar escala su magnitud sin cambiar su dirección —salvo que el escalar sea negativo, que la invierte—. Es la operación más simple y ya contiene la idea central: las operaciones lineales respetan la estructura del espacio.

La transposición intercambia filas y columnas, y su efecto sobre el shape es invertir la tupla: una matriz (3,2) transpuesta es (2,3). En deep learning la transposición aparece constantemente al calcular gradientes, porque la derivada de Wx respecto a x involucra Wᵀ.

Ejemplo trabajado

Los cuatro objetos y sus shapes.

escalar   3.0                      shape ()      orden 0
vector    [1, 2, 3]                shape (3,)    orden 1
matriz    [[1,2],[3,4],[5,6]]      shape (3,2)   orden 2
tensor    imágenes de un lote      shape (N,C,H,W)  orden 4

escalar × vector:  3·[1,2,3] = [3,6,9]

transpuesta de la matriz (3,2) → shape (2,3)
  [[1,3,5],
   [2,4,6]]

Qué ejecuta el laboratorio

Escalar, vector y matriz como objetos con forma y significado.

compmath run 101

Errores conceptuales frecuentes

1. Confundir el orden del tensor con el tamaño de sus dimensiones.
2. No anotar el shape esperado de cada variable en código numérico.
3. Suponer que un vector es una matriz columna: en NumPy, (3,) y (3,1) no son lo mismo.

Dónde se usa

Toda representación de datos en machine learning: un lote de imágenes es un tensor de orden 4, un lote de secuencias uno de orden 3. Los errores de shape son la categoría de bug más frecuente al entrenar modelos.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 1 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Goodfellow, Bengio & Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016, cap. 2 — Deep learning y Machine learning: conexión declarada de esta parte · ISBN-13 9780262337373 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

102 · Operaciones con vectores

Parte 05 · clase 2 de 20 · demostración vector_operations

La suma de vectores es componente a componente, y la desigualdad triangular acota la norma del resultado.

(u + v)ᵢ = uᵢ + vᵢ
‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

Fundamentos

La suma de vectores tiene dos lecturas que conviene mantener a la vez. Algebraicamente se suman las componentes. Geométricamente se aplica la regla del paralelogramo: el resultado es la diagonal del paralelogramo que forman ambos vectores. Las dos describen la misma operación.

La desigualdad triangular —‖u+v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖— dice que el camino directo nunca es más largo que el rodeo, y es una de las tres condiciones que definen una norma. La igualdad se alcanza solo cuando los vectores son paralelos y del mismo sentido; en cualquier otro caso hay cancelación parcial.

Esa desigualdad no es un tecnicismo: es la que permite acotar errores acumulados. Si el error de cada paso está acotado, el error total lo está por la suma, y de ahí salen las cotas de estabilidad de los métodos iterativos (parte 11) y las cotas de generalización (parte 17).

Restar es sumar el opuesto, y u − v es el vector que va de v a u. Esa interpretación —la diferencia como desplazamiento— es la que convierte ‖u − v‖ en la distancia entre los dos puntos, conectando con la clase 061.

Ejemplo trabajado

Suma, resta y desigualdad triangular.

u = (1, 2),  v = (3, −1)

u + v = (4, 1)
u − v = (−2, 3)
2u − 3v = (2,4) − (9,−3) = (−7, 7)

‖u+v‖ = √17 = 4.123
‖u‖ + ‖v‖ = √5 + √10 = 2.236 + 3.162 = 5.398

4.123 ≤ 5.398      ✓ desigualdad triangular

La diferencia (5.398 − 4.123) mide cuánto se cancelan entre sí.

Qué ejecuta el laboratorio

Suma, resta y combinación lineal con interpretación geométrica.

compmath run 102

Errores conceptuales frecuentes

1. Sumar vectores de dimensiones distintas.
2. Suponer que ‖u+v‖ = ‖u‖ + ‖v‖ en general: solo si son paralelos y del mismo sentido.
3. Confundir u − v con v − u: son opuestos.

Dónde se usa

Composición de desplazamientos, acumulación de gradientes, cotas de error en métodos iterativos y agregación de vectores en sistemas de recomendación.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Axler, S. Linear Algebra Done Right, 4ª ed., Springer, 2024 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · URL de la fuente primaria comprobada en sitio oficial del autor (2026-08-19).

103 · Producto punto y similitud

Parte 05 · clase 3 de 20 · demostración dot_product

El producto punto mide alineación; su normalización es la similitud coseno de los embeddings.

u·v = Σuᵢvᵢ = ‖u‖‖v‖cos θ
cos θ = u·v / (‖u‖‖v‖)
u·u = ‖u‖²

Fundamentos

El producto punto es la operación más importante de esta parte y probablemente de todo el programa. Definido como suma de productos componente a componente, resulta ser ‖u‖‖v‖cos θ, lo que le da una interpretación geométrica: mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección, escalado por sus magnitudes.

Tres lecturas del signo: positivo significa ángulo agudo, cero significa ortogonalidad, negativo significa ángulo obtuso. La ortogonalidad definida como «producto punto nulo» es la que se generaliza a dimensión arbitraria, donde no se puede dibujar un ángulo recto.

La similitud coseno normaliza por las magnitudes y deja solo el ángulo. Es la métrica estándar entre embeddings porque la magnitud de un embedding suele codificar frecuencia o longitud del texto, no significado: dos documentos sobre el mismo tema, uno largo y otro corto, tienen coseno alto y distancia euclídea grande.

Computacionalmente, el producto punto es la operación que domina el coste de un modelo moderno. Una capa densa es un conjunto de productos punto; la atención calcula un producto punto por cada par consulta-clave. Los TFLOPS de una GPU miden, en esencia, cuántos productos punto por segundo puede hacer.

Ejemplo trabajado

Ángulos entre tres vectores.

u = (1, 0),  v = (1, 1),  w = (0, 1)

u·v = 1        cos = 1/(1·√2) = 0.7071   →  45°
u·w = 0        cos = 0                   →  90°  ortogonales
u·u = 1 = ‖u‖²                            ✓

Similitud coseno en embeddings:
  misma fórmula, dimensión 768 o 1536
  la magnitud se descarta a propósito

Qué ejecuta el laboratorio

Producto punto: proyección, ángulo y similitud.

compmath run 103

Errores conceptuales frecuentes

1. Comparar vectores por producto punto sin normalizar cuando importa solo la dirección.
2. Calcular acos sin acotar el argumento a [−1,1]: el redondeo puede sacarlo del dominio.
3. Confundir el producto punto con el producto componente a componente (Hadamard).

Dónde se usa

Similitud coseno en búsqueda semántica y RAG, capas densas, atención escalada, y cálculo de proyecciones e iluminación en gráficos.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023, cap. 1 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Vaswani, A. et al. Attention Is All You Need. NeurIPS, 2017 — Deep learning y Modelos de lenguaje: conexión declarada de esta parte · DOI 10.48550/arxiv.1706.03762 verificado en DataCite (2026-08-19).

104 · Normas y distancias

Parte 05 · clase 4 de 20 · demostración norms_distances

La norma elegida determina qué se penaliza: L1 induce dispersión, L2 penaliza los valores grandes.

L1 = Σ|xᵢ| · L2 = √Σxᵢ² · L∞ = máx|xᵢ|
L∞ ≤ L2 ≤ L1

Fundamentos

Una norma asigna una magnitud a un vector cumpliendo tres condiciones: es positiva salvo en el cero, escala con el valor absoluto del escalar y satisface la desigualdad triangular. Hay infinitas normas; las tres de la familia Lp son las que se usan en la práctica.

La elección no es estética: cambia qué se penaliza. La L2 eleva al cuadrado, así que castiga desproporcionadamente los componentes grandes y tiende a repartir el valor entre todos. La L1 trata todos los componentes por igual y, usada como penalización, empuja los pequeños exactamente a cero. Esa diferencia es la que separa Ridge de Lasso (clases 283 y 284) y es puramente geométrica: la bola L1 tiene vértices sobre los ejes y el óptimo tiende a caer en ellos.

La L∞ solo mira el peor componente. Es la norma adecuada cuando lo que importa es garantizar que ningún error individual supere un umbral, y aparece en robustez adversarial: un ataque «acotado en L∞» limita cuánto puede cambiar cada píxel.

El orden L∞ ≤ L2 ≤ L1 se cumple siempre y conviene verificarlo numéricamente una vez. Explica que la misma perturbación parezca grande o pequeña según la norma con la que se mida, y por qué comparar magnitudes exige declarar la norma.

Ejemplo trabajado

Tres normas del mismo vector.

v = (3, −4, 12)

L1  = 3 + 4 + 12 = 19
L2  = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
L∞  = máx(3, 4, 12) = 12

Orden: 12 ≤ 13 ≤ 19          ✓

Interpretación:
  L1  penaliza la suma total de desviaciones → dispersión
  L2  penaliza los componentes grandes      → reparto
  L∞  solo mira el peor componente          → garantía

Qué ejecuta el laboratorio

L1, L2 e L∞ sobre el mismo vector.

compmath run 104

Errores conceptuales frecuentes

1. Reportar una magnitud sin declarar la norma usada.
2. Suponer que Ridge (L2) produce coeficientes exactamente cero.
3. Comparar normas de vectores de dimensiones distintas sin normalizar por la dimensión.

Dónde se usa

Regularización Ridge y Lasso, funciones de pérdida MSE y MAE, robustez adversarial acotada en L∞ y criterios de convergencia.

Bibliografía de la clase

• Tibshirani, R. Regression Shrinkage and Selection via the Lasso. JRSS-B, 1996 — Estadística e inferencia y Machine learning: conexión declarada de esta parte · DOI 10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x verificado en Crossref (2026-08-19).
• Boyd & Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge, 2004, cap. 2 — Optimización: el tema de esta clase · ISBN-13 9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).

105 · Vectores unitarios

Parte 05 · clase 5 de 20 · demostración unit_vectors

Normalizar separa dirección de magnitud; el vector cero no tiene dirección definida.

û = v / ‖v‖,  ‖û‖ = 1
v = ‖v‖ · û   (reconstrucción)

Fundamentos

Un vector codifica dos informaciones: hacia dónde apunta y cuánto mide. Normalizar —dividir por la norma— conserva la primera y descarta la segunda. La reconstrucción es inmediata: v = ‖v‖·û, lo que muestra que la descomposición no pierde nada, solo separa.

La operación tiene una excepción que hay que tratar: el vector cero no se puede normalizar, porque no tiene dirección. En una implementación, dividir por su norma da NaN o inf (clase 033), así que hay que comprobar el caso explícitamente. El motor del programa devuelve el vector cero sin modificar, decisión que hay que declarar porque no es la única razonable.

Normalizar es lo que hace que la comparación entre embeddings sea justa. También es lo que hace la normalización de capa (clase 308), aunque allí se normaliza por media y desviación en lugar de solo por norma. En ambos casos el objetivo es el mismo: que la escala no domine la comparación.

Un detalle numérico: normalizar un vector de norma muy pequeña amplifica su error relativo, porque se divide por un número cercano a cero. En cálculos sensibles conviene comprobar que la norma supera un umbral antes de dividir.

Ejemplo trabajado

Normalizar y reconstruir.

v = (6, 8)
‖v‖ = √(36 + 64) = 10

û = (0.6, 0.8)
‖û‖ = √(0.36 + 0.64) = 1.0        ✓

Reconstrucción: 10 · (0.6, 0.8) = (6, 8)    ✓

Caso límite:
  normalizar (0, 0) → división por cero
  el motor devuelve (0, 0) y lo declara

Qué ejecuta el laboratorio

Normalizar separa dirección de magnitud.

compmath run 105

Errores conceptuales frecuentes

1. Normalizar sin comprobar que la norma es no nula.
2. Normalizar vectores de norma muy pequeña y amplificar su error relativo.
3. Suponer que normalizar conserva toda la información: descarta la magnitud a propósito.

Dónde se usa

Comparación de embeddings, normalización de gradientes (gradient clipping), vectores normales en gráficos y preparación de datos para similitud coseno.

Bibliografía de la clase

• Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 6ª ed., 2023 — Álgebra lineal: el tema de esta clase · ISBN-13 9781733146678 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
• Ba, Kiros & Hinton. Layer Normalization. arXiv, 2016 — Deep learning: conexión declarada de esta parte · DOI 10.48550/arxiv.1607.06450 verificado en DataCite (2026-08-19).

106 · Combinaciones lineales

Parte 05 · clase 6 de 20 · demostración linear_combinations

Una combinación lineal es la operación fundamental del álgebra lineal, y una capa densa es exactamente eso.

Σ αᵢvᵢ = α₁v₁ + ... + αₖvₖ
capa densa: y = Wx + b

Fundamentos

Una combinación lineal suma vectores multiplicados por escalares. Toda la estructura del álgebra lineal se construye sobre esta única operación: independencia, span, base, dimensión, transformación lineal y rango se definen en términos de combinaciones lineales.

Con la base canónica la combinación es trivial —los coeficientes son las propias coordenadas— y por eso las coordenadas de un vector son sus coeficientes en esa base. Con otra base, los coeficientes cambian aunque el vector sea el mismo, que es exactamente el contenido de la clase 121.

La conexión con machine learning es directa y merece enunciarse sin rodeos: una capa densa calcula combinaciones lineales. Cada neurona de salida toma los pesos de una fila de W como coeficientes y combina las entradas. y = Wx + b es un conjunto de combinaciones lineales más un desplazamiento.

El sesgo b es lo que impide que la capa sea estrictamente lineal: una transformación lineal manda el cero al cero, y sumar b lo mueve. Técnicamente Wx + b es una transformación afín, no lineal, y esa distinción es la misma que la clase 073 resolvió con coordenadas homogéneas.

Ejemplo trabajado

Combinación lineal en la base canónica.

e₁ = (1,0,0)   e₂ = (0,1,0)   e₃ = (0,0,1)
coeficientes: 2, −3, 5

2·e₁ + (−3)·e₂ + 5·e₃ = (2, −3, 5)

Los coeficientes SON las coordenadas       ✓
(esto solo ocurre en la base canónica)

Capa densa equivalente:
  y = Wx + b   con W de shape (salidas, entradas)
  cada fila de W son los coeficientes de una combinación