🧮 Computational Mathematics

Inicio · Parte 17 — Frontera matemática para IA e investigación

360 — Capstone final: reproducir una idea matemática de un paper

frontera-investigacion clase 20 de 20 4 horas demostración capstone_reproduce_paper_idea

Reproducir un resultado publicado con datos donde el óptimo se conoce por fuerza bruta.

Fórmulas

coste de Sinkhorn → transporte óptimo cuando ε → 0
óptimo exacto verificado por barrido de todos los planes
reportar semilla, protocolo y discrepancia

Desarrollo

El capstone final del programa reproduce el núcleo matemático de un resultado publicado: el estimador de Sinkhorn converge al transporte óptimo verdadero cuando la regularización entrópica tiende a cero, según Cuturi en 2013. No es una implementación decorativa: es una verificación.

El diseño experimental es lo que hace la verificación válida. Se elige un problema suficientemente pequeño para que el óptimo se pueda calcular por fuerza bruta —barriendo todos los planes de transporte posibles— de modo que exista una referencia exacta contra la que comparar. Sin esa referencia, «el algoritmo converge» sería una afirmación no verificable.

Después se ejecuta Sinkhorn con ε decreciente y se comprueba que el coste se aproxima monótonamente al óptimo conocido. Lo que se está verificando no es que el código funcione, sino que el enunciado del artículo es cierto en un caso donde se puede comprobar.

Esa es la habilidad que el programa entero ha construido, clase a clase: leer un enunciado matemático, traducirlo a código, diseñar un caso donde la respuesta se conoce, comparar, y reportar el protocolo completo con semilla y discrepancias. Trescientas sesenta clases después de contar con los dedos en la parte 00, esa es la diferencia entre creer un resultado y saberlo.

Ejemplo trabajado

Verificación del resultado de Cuturi sobre un caso exacto.

resultado reproducido:
  el coste de Sinkhorn converge al transporte óptimo
  cuando la regularización entrópica tiende a cero

fuente: Cuturi, M. Sinkhorn Distances, NIPS 2013

protocolo:
  dos masas uniformes de 2 átomos en ℝ
  coste cuadrático (x − y)²

matriz de coste:
  [0,0   9,0]
  [1,0   4,0]

óptimo exacto por barrido: 2,0
plan óptimo:
  [0,5  0,0]
  [0,0  0,5]

Sinkhorn con ε decreciente se acerca a 2,0
monótonamente: el enunciado se sostiene.       ✓

Qué calcula el laboratorio

Capstone: reproducir el núcleo matemático de un resultado publicado.

python classes/part-17-frontera-matematica-para-ia-e-investigacion/360-capstone-final-reproducir-una-idea-matematica-de-un-paper/lab.py
compmath run 360

Salidas del laboratorio (22)

Muestra de la ejecución real

{
  "resultado_reproducido": "el coste de Sinkhorn converge al transporte óptimo cuando la regularización entrópica ε tiende a cero",
  "fuente": "Cuturi, M. *Sinkhorn Distances: Lightspeed Computation of Optimal Transport*. NIPS, 2013",
  "protocolo": {
    "distribuciones": "dos masas uniformes de 2 átomos en ℝ",
    "posiciones_origen": [
      0.0,
      1.0
    ],
    "posiciones_destino": [
      0.0,
      3.0
    ],
    "coste": "(x - y)²",
    "iteraciones_de_escalado": 3000,
    "implementacion": "Python estándar, sin dependencias"
  },
  "matriz_de_coste": [
    [
      0.0,
      9.0
    ],
    [
      1.0,
      4.0
    ]
  ],
  "optimo_exacto_por_barrido": 2.0,
  "plan_optimo": [
    [
      0.5,
      0.0
    ],
    [
      0.0,
      0.5
    ]
  ]
}

Errores comunes

Dónde se usa

Reproducción de artículos, validación de implementaciones, investigación aplicada, revisión por pares y verificación de resultados antes de construir sobre ellos.

Idea rectora de la parte

Las cotas PAC acotan el error esperado, no garantizan el error observado.

Error a evitar

Invertir una matriz de covarianza sin jitter numérico.

Conexión con IA

Score matching fundamenta los modelos de difusión; el transporte óptimo aparece en flow matching; la teoría estadística del aprendizaje explica el scaling.

Bibliografía de la clase

Archivos de la clase

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