Inicio · Parte 17 — Frontera matemática para IA e investigación

351 — Stochastic differential equations

frontera-investigacion clase 11 de 20 4 horas demostración stochastic_differential_equations

En una SDE el ruido escala como √dt, no como dt: esa raíz lo cambia todo.

Fórmulas

dX = f(X,t)dt + g(X,t)dW
Euler-Maruyama: X ← X + f·dt + g·√dt·ξ
Ornstein-Uhlenbeck: dX = θ(μ − X)dt + σ dW

Desarrollo

Una ecuación diferencial estocástica añade a la dinámica determinista un término de ruido continuo. El primer término, la deriva, describe hacia dónde tiende el sistema; el segundo, la difusión, describe la magnitud de las fluctuaciones aleatorias.

El detalle que hay que interiorizar es el escalado del ruido. El movimiento browniano tiene incrementos de varianza proporcional al tiempo, así que la desviación escala como √dt. En el integrador de Euler-Maruyama eso significa multiplicar el ruido por √dt y no por dt. Usar dt produce una simulación con la magnitud de ruido completamente equivocada, y es el error más frecuente al implementar SDE.

Ese mismo hecho tiene una consecuencia teórica: las trayectorias brownianas son continuas pero no derivables en ningún punto, y por eso el cálculo ordinario no sirve. El cálculo de Itô y su lema son la herramienta correcta, y son la razón de que la fórmula de Black-Scholes tenga el término adicional que tiene.

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck del ejemplo es el prototipo con reversión a la media: la deriva empuja hacia μ con fuerza proporcional a la distancia, mientras el ruido lo aparta. Su distribución estacionaria es normal, y aparece en modelos de tipos de interés, en física y en la formulación en tiempo continuo de los modelos de difusión de la clase 334.

Ejemplo trabajado

Ornstein-Uhlenbeck simulado con Euler-Maruyama.

SDE: dX = θ(μ − X)dt + σ dW
θ = 1,5    μ = 2,0    σ = 0,8
dt = 0,01     400 réplicas

paso    t       x
  1    0,01   0,014091
101    1,01   1,xxxxxx
  …             → oscila alrededor de μ = 2,0

Escalado del ruido:
  correcto:    σ·√dt·ξ = 0,8·0,1·ξ = 0,08·ξ
  incorrecto:  σ·dt·ξ  = 0,8·0,01·ξ = 0,008·ξ
  factor 10 de diferencia

Con el escalado incorrecto la simulación parecería
casi determinista.

Qué calcula el laboratorio

SDE: proceso de Ornstein-Uhlenbeck simulado con Euler-Maruyama.

python classes/part-17-frontera-matematica-para-ia-e-investigacion/351-stochastic-differential-equations/lab.py
compmath run 351

Salidas del laboratorio (13)

SDE
parametros
integrador
dt
trayectoria_de_ejemplo
replicas
media_estacionaria_empirica
media_estacionaria_teorica
varianza_estacionaria_empirica
varianza_estacionaria_teorica_σ²/(2θ)
el_termino_de_ruido_escala_como_√dt
conexion_con_difusion
semilla

Muestra de la ejecución real

{
  "SDE": "dX = θ(μ - X)dt + σ dW",
  "parametros": {
    "theta": 1.5,
    "mu": 2.0,
    "sigma": 0.8
  },
  "integrador": "Euler-Maruyama",
  "dt": 0.01,
  "trayectoria_de_ejemplo": [
    {
      "paso": 1,
      "t": 0.01,
      "x": 0.014091
    },
    {
      "paso": 101,
      "t": 1.01,
      "x": 1.369182
    },
    {
      "paso": 1001,
      "t": 10.01,
      "x": 1.66169
    },
    {
      "paso": 3000,
      "t": 30.0,
      "x": 1.855888
    }
  ],
  "replicas": 400
}

Errores comunes

Escalar el ruido con dt en vez de con √dt.
Aplicar cálculo ordinario a trayectorias brownianas.
Usar pasos grandes y perder la estructura estadística del proceso.

Dónde se usa

Modelos de difusión en tiempo continuo, finanzas cuantitativas, física estadística, dinámica de Langevin y modelado de ruido en sistemas.

Idea rectora de la parte

Un proceso gaussiano define una distribución sobre funciones, no sobre parámetros.

Error a evitar

Invertir una matriz de covarianza sin jitter numérico.

Conexión con IA

Score matching fundamenta los modelos de difusión; el transporte óptimo aparece en flow matching; la teoría estadística del aprendizaje explica el scaling.

Bibliografía de la clase

Øksendal, B. Stochastic Differential Equations, 6ª ed., Springer, 2003 — Procesos estocásticos: el tema de esta clase · ISBN-13 9783642143946 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).
Song, Y. et al. Score-Based Generative Modeling through SDEs, ICLR, 2021 — Modelos generativos y Procesos estocásticos: el tema de esta clase · DOI 10.48550/arxiv.2011.13456 verificado en DataCite (2026-08-19).

Archivos de la clase

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