Inicio · Parte 12 — Optimización matemática y computacional
L(x,λ) = f(x) − λ·(g(x) − c)
en el óptimo: ∇f = λ·∇g
λ = ∂f*/∂c (precio sombra)Con una restricción de igualdad, el mínimo ya no está donde el gradiente se anula sino donde el gradiente del objetivo es paralelo al de la restricción. La razón geométrica es clara: si tuvieran una componente distinta, se podría avanzar a lo largo de la restricción reduciendo el objetivo.
El Lagrangiano convierte esa condición en un sistema de ecuaciones. Se construye restando la restricción multiplicada por una incógnita nueva λ, y se anulan todas las derivadas parciales, incluida la de λ, que reproduce la restricción original. El problema restringido se transforma en uno irrestricto con una variable más.
El multiplicador tiene un significado económico preciso y muy útil: es el precio sombra de la restricción, la derivada del óptimo respecto del nivel c. Si λ = 3, relajar la restricción una unidad mejora el óptimo en 3 unidades. Eso convierte a λ en la respuesta cuantitativa a «¿cuánto pagaría por más presupuesto?».
En aprendizaje automático el Lagrangiano aparece en la formulación dual de las SVM, en la derivación de la distribución de máxima entropía —de donde sale softmax—, y en el entrenamiento con restricciones de equidad o de presupuesto. La versión con desigualdades es la clase siguiente.
Punto de la recta x + y = 4 más cercano al origen.
minimizar f(x,y) = x² + y²
sujeto a x + y = 4
L = x² + y² − λ(x + y − 4)
∂L/∂x = 2x − λ = 0 → 2x = λ
∂L/∂y = 2y − λ = 0 → 2y = λ
∂L/∂λ = x + y − 4 = 0
De las dos primeras: x = y. Sustituyendo: 2x = 4, x = 2.
solución = (2, 2) valor óptimo = 8,0
λ = 4
Interpretación de λ: si la restricción pasara a x+y = 5,
el óptimo subiría aproximadamente en 4 unidades.Restricción de igualdad resuelta con el Lagrangiano.
python classes/part-12-optimizacion-matematica-y-computacional/256-restricciones-y-lagrangianos/lab.py
compmath run 256objetivorestriccionlagrangianocondicionessolucionvalor_optimolambdaverificacion_alternativases_el_minimointerpretacion_de_lambda{
"objetivo": "min x² + y²",
"restriccion": "x + y = 4",
"lagrangiano": "L = x² + y² - λ(x + y - 4)",
"condiciones": [
"2x = λ",
"2y = λ",
"x + y = 4"
],
"solucion": [
2.0,
2.0
],
"valor_optimo": 8.0
}SVM en su forma dual, distribución de máxima entropía, asignación óptima de recursos y entrenamiento con restricciones.
AdamW es el optimizador por defecto del entrenamiento moderno; entender su actualización explica el weight decay, el warmup y el gradient clipping.
9780511804441 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780387400655 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).