Inicio · Parte 11 — Métodos numéricos y computación científica
ecuación del calor: u_t = u_xx
esquema explícito: u_i^(n+1) = u_i^n + α(u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n)
α = Δt/Δx² ≤ 0,5 para estabilidadUna ecuación en derivadas parciales involucra derivadas respecto de varias variables, y describe fenómenos distribuidos en espacio y tiempo: calor, ondas, fluidos, difusión. El método de diferencias finitas las discretiza sustituyendo cada derivada por un cociente de diferencias sobre una malla.
Para la ecuación del calor en una dimensión, la derivada temporal se aproxima con diferencia adelantada y la espacial de segundo orden con la fórmula central de la clase 227. El resultado es un esquema explícito donde cada valor nuevo se calcula directamente a partir de tres valores viejos, sin resolver ningún sistema.
La sorpresa está en la restricción. El parámetro α = Δt/Δx² debe cumplir α ≤ 0,5, y esa condición de tipo Courant tiene una consecuencia brutal: refinar la malla espacial a la mitad obliga a dividir el paso temporal por cuatro. El coste total se multiplica por ocho, y por eso las simulaciones explícitas de difusión se vuelven caras muy deprisa.
Violar la condición no produce imprecisión sino divergencia: la solución numérica oscila con amplitud creciente hasta desbordar, y lo hace en pocos pasos. Los esquemas implícitos como Crank-Nicolson son incondicionalmente estables y permiten pasos temporales mucho mayores a cambio de resolver un sistema tridiagonal en cada paso, que es barato.
Calor en una barra con extremos fríos, esquema explícito.
u_t = u_xx u(0,t) = u(1,t) = 0
nodos = 21 Δx = 0,05 Δt = 0,001
α = Δt / Δx² = 0,001 / 0,0025 = 0,4
α = 0,4 ≤ 0,5 → esquema estable ✓
La solución decae suavemente hacia cero, como debe.
Si se subiera a Δt = 0,002:
α = 0,8 > 0,5 → oscilaciones que crecen
en 20 pasos los valores desbordan.
Coste de refinar: Δx a la mitad (41 nodos)
exige Δt / 4 → 4× más pasos × 2× más nodos = 8× coste.Discretización de la ecuación del calor en 1D (esquema explícito).
python classes/part-11-metodos-numericos-y-computacion-cientifica/238-introduccion-a-pde-y-discretizacion/lab.py
compmath run 238ecuacionnodosdxdtnumero_de_courant_alphaestable_si_alpha<=0.5pico_inicialpico_final_numericopico_final_analiticoerror_maximo{
"ecuacion": "u_t = u_xx con u(0,t)=u(1,t)=0",
"nodos": 21,
"dx": 0.05,
"dt": 0.001,
"numero_de_courant_alpha": 0.4,
"estable_si_alpha<=0.5": true
}Simulación térmica, dinámica de fluidos, propagación de ondas, modelos financieros de tipo Black-Scholes y difusión en visión por computador.
Los Neural ODE, los samplers de difusión y los optimizadores de segundo orden son métodos numéricos con parámetros aprendidos.
9780898717839 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).10.1007/bf01448839 verificado en Crossref (2026-08-19).