Inicio · Parte 09 — Probabilidad y procesos aleatorios
x̄ₙ ≈ Normal(μ, σ²/n) para n grande
(x̄ₙ − μ)/(σ/√n) → Normal(0,1)
error estándar = σ/√nEl teorema central del límite es el resultado más sorprendente de la probabilidad elemental: la distribución de la media muestral tiende a una normal sin importar de qué distribución vengan los datos, siempre que tengan media y varianza finitas y sean independientes. La forma original se olvida; solo sobreviven su media y su varianza.
Mientras la ley de los grandes números dice hacia dónde converge la media, el TCL dice cómo se distribuye alrededor de ese límite. Esa información es lo que permite construir intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: sin TCL no habría estadística inferencial práctica.
El error estándar σ/√n es la desviación de la media muestral, no de los datos. Confundir σ con σ/√n es el error más frecuente al reportar resultados: la primera describe cuánto varían las observaciones, la segunda cuánto varía la estimación. Sus valores difieren por un factor √n, que con n = 10 000 es cien.
La regla de «con n ≥ 30 basta» es una guía burda. La velocidad de convergencia depende de la asimetría de la distribución de origen: para una exponencial n = 30 ya es razonable, para una distribución muy sesgada o con valores extremos puede hacer falta mucho más. Y si la varianza es infinita, el TCL directamente no aplica.
Medias de muestras de tamaño 30 de una exponencial claramente asimétrica.
población: Exponencial(1) media 1, varianza 1
fuertemente asimétrica, nada normal
8 000 réplicas de muestras de tamaño n = 30:
media de las medias = 0,997036 teórico 1,0 ✓
varianza de las medias = 0,032656 teórico 1/30 = 0,0333 ✓
desviación = 0,1807 teórico 1/√30 = 0,1826 ✓
La distribución de las medias es casi simétrica y acampanada
aunque la población de origen no tenga nada de normal.
error estándar frente a desviación de los datos:
σ = 1,0 cuánto varía una observación
σ/√30 = 0,183 cuánto varía la mediaEl TCL en acción sobre una distribución claramente no normal.
python classes/part-09-probabilidad-y-procesos-aleatorios/197-teorema-central-del-limite/lab.py
compmath run 197poblaciontamaño_de_muestrareplicasmedia_de_las_mediasmedia_teoricavarianza_de_las_mediasvarianza_teorica_σ²/nerror_estandarla_distribucion_de_medias_es_casi_normal{
"poblacion": "Exponencial(1): asimétrica, media 1, varianza 1",
"tamaño_de_muestra": 30,
"replicas": 8000,
"media_de_las_medias": 0.997036,
"media_teorica": 1.0,
"varianza_de_las_medias": 0.032656
}Intervalos de confianza, contrastes de hipótesis, barras de error en experimentos y justificación del ruido gaussiano en modelos de medición.
Un modelo de lenguaje es una distribución condicional sobre el siguiente token; la difusión es un proceso estocástico con reverso aprendido.
9780387217369 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).