Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y
rot F = ∂Q/∂x − ∂P/∂y (en 2D)
div(∇φ) = Δφ (laplaciano)La divergencia y el rotacional son las dos formas de derivar un campo vectorial. La divergencia es un escalar que mide el flujo neto que sale de un entorno del punto: positiva indica fuente, negativa sumidero, nula indica que lo que entra sale. El rotacional mide la tendencia del campo a hacer girar un objeto colocado en ese punto.
Ambos aparecen en las ecuaciones de Maxwell y en la mecánica de fluidos, y su combinación da los teoremas integrales —Green, Gauss, Stokes— que relacionan lo que ocurre en el interior de una región con lo que ocurre en su frontera.
La divergencia del gradiente es el laplaciano, Δφ = div(∇φ), que es la traza del Hessiano. Ese operador aparece en la ecuación del calor, en la de ondas y —lo que importa aquí— en el Laplaciano de un grafo (clase 336), que es su análogo discreto y es la base del clustering espectral y de las GNN.
El teorema clave para esta parte es que el rotacional de un gradiente es siempre cero. Por tanto, un campo con rotacional no nulo no puede ser un campo de gradientes, y ese es el criterio para detectar dinámicas que no derivan de ninguna función objetivo.
Divergencia y rotacional de F = (x², xy).
F(x,y) = (x², xy) en el punto (1,2)
div F = ∂(x²)/∂x + ∂(xy)/∂y = 2x + x = 3x
analítica en (1,2): 3
numérica: 3.000000 ✓
rot F = ∂(xy)/∂x − ∂(x²)/∂y = y − 0 = y
analítica en (1,2): 2
numérica: 2.000000 ✓
rot ≠ 0 → F NO es un campo de gradientesDivergencia y rotacional calculados numéricamente.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/176-divergencia-y-rotacional/lab.py
compmath run 176campopuntodivergencia_numericadivergencia_analitica_2x+xrotacional_numericorotacional_analitico_ydivergencia_miderotacional_mide{
"campo": "F(x,y) = (x², xy)",
"punto": [
1.0,
2.0
],
"divergencia_numerica": 3.0,
"divergencia_analitica_2x+x": 3.0,
"rotacional_numerico": 2.0,
"rotacional_analitico_y": 2.0
}Mecánica de fluidos, electromagnetismo, laplaciano de grafos, difusión y detección de dinámicas no conservativas en entrenamiento adversarial.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).