Inicio · Parte 08 — Cálculo multivariable, matricial y autodiferenciación
∂f/∂x = derivada tratando y como constante
teorema de Schwarz: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂xLa derivada parcial respecto a x se calcula tratando todas las demás variables como constantes. Operativamente, es la derivada de una variable de la clase 144 aplicada al corte de la función. La notación ∂ en lugar de d recuerda que hay otras variables congeladas.
El teorema de Schwarz garantiza que las derivadas cruzadas coinciden —∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x— si son continuas. Ese resultado es el que hace que el Hessiano sea simétrico (clase 169), y la simetría del Hessiano es lo que permite aplicarle el teorema espectral de la clase 126.
La limitación conceptual de las parciales es que solo miran en direcciones de eje. Una función puede tener ambas parciales definidas en un punto y no ser diferenciable allí, porque el comportamiento en direcciones oblicuas es distinto. La diferenciabilidad exige más: que exista una buena aproximación lineal en todas las direcciones (clase 166).
En machine learning, cada componente del gradiente es una derivada parcial: cuánto cambia la pérdida al mover un parámetro dejando el resto fijo. Con millones de parámetros, calcularlas una a una por diferencias finitas costaría millones de evaluaciones; la autodiferenciación las obtiene todas de una vez, y esa es su razón de ser.
Parciales de x²y + 3xy² en (2,3).
∂f/∂x = 2xy + 3y²
= 2·2·3 + 3·9 = 12 + 27 = 39
numérica: 39.000000 ✓
∂f/∂y = x² + 6xy
= 4 + 6·2·3 = 4 + 36 = 40
numérica: 40.000000 ✓
Cruzadas (Schwarz):
∂²f/∂x∂y = 2x + 6y
∂²f/∂y∂x = 2x + 6y ✓ coincidenDerivadas parciales: mover una variable congelando el resto.
python classes/part-08-calculo-multivariable-matricial-y-autodiferenciacion/163-derivadas-parciales/lab.py
compmath run 163punto∂f/∂x_analitica∂f/∂x_numerica∂f/∂y_analitica∂f/∂y_numericacoincidencruzadas_iguales_(Schwarz){
"punto": [
2.0,
3.0
],
"∂f/∂x_analitica": 39.0,
"∂f/∂x_numerica": 39.0,
"∂f/∂y_analitica": 40.0,
"∂f/∂y_numerica": 40.0,
"coinciden": true
}Componentes del gradiente, análisis de sensibilidad respecto a un parámetro, elasticidades en economía y ecuaciones en derivadas parciales.
Autograd de PyTorch y JAX es exactamente el modo reverso del grafo de cómputo que se construye en esta parte a mano.
9781285740621 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).9780201002881 verificado en International ISBN Agency (2026-08-19).